Esercizio 22blocchetto su piattaforma mobile tirato da un filo

Testo (primo compitino del 18 aprile 2024, problema 2, compito A). Un blocchetto di massa $m_1 = 0{,}3$ kg scorre con attrito su una piattaforma di massa $M = 1{,}5$ kg e lunghezza $\ell = 3$ m, a sua volta appoggiata su un piano inclinato. Il piano è scabro e la sua inclinazione è $\vartheta = 20°$; il coefficiente di attrito dinamico tra il piano e la piattaforma e tra la piattaforma e il blocchetto sono uguali, e valgono $\mu_D = 0{,}15$. Il blocchetto è collegato tramite un filo inestensibile che scorre su una carrucola di massa trascurabile ad un secondo blocchetto di massa $m_2 = 0{,}2$ kg, che si muove lungo la direzione verticale. Inizialmente il blocchetto $m_1$ si trova all'estremo inferiore $A$ della piattaforma, il filo è teso e i due blocchetti si muovono con velocità iniziale $v_0 = 0{,}5$ m/s come in figura; la piattaforma è inizialmente ferma. Determinare:

a) le accelerazioni assolute di $m_1$ e della piattaforma rispetto al piano, e la tensione del filo; b) l'accelerazione relativa di $m_1$ rispetto alla piattaforma ed il tempo impiegato da $m_1$ a raggiungere l'estremo superiore $B$ della piattaforma; c) il lavoro compiuto dalle forze d'attrito sulla piattaforma.

Figura. Il piano sale verso destra; la piattaforma $AB$ è appoggiata sul piano, con $A$ in basso e $B$ in alto. Il blocchetto $m_1$ parte da $A$ e sale lungo la piattaforma; il filo, parallelo al piano, passa su una carrucola fissata in cima al piano inclinato e scende verticalmente fino a $m_2$, che pende nel vuoto. Asse $x$ lungo il piano, positivo in salita.

Impostazione

Grandezze

Chi scivola su chi, e in che verso

Il punto delicato del problema sono i versi delle forze d'attrito: l'attrito dinamico si oppone sempre alla velocità relativa tra le due superfici a contatto (Forze di attrito radenteL'attrito radente è la componente della reazione vincolare parallela alla superficie. Statico: impedisce lo scivolamento e vale quanto serve, fino a μs N. Dinamico: agisce durante lo strisciamento, vale μd N ed è opposto alla velocità relativa.Forze di attrito radente →). Quindi bisogna prima capire come si muove ciascun corpo rispetto all'altro.

• $m_1$ sale lungo il piano (lo tira $m_2$, che scende). La piattaforma, come si vedrà, scivola in discesa. Quindi $m_1$ sale rispetto alla piattaforma: l'attrito che la piattaforma esercita su $m_1$ è diretto in discesa.
• Per il terzo principioA ogni forza che un corpo esercita su un altro corrisponde una forza uguale e opposta esercitata dal secondo sul primo.Leggi di Newton → il blocchetto esercita sulla piattaforma un attrito uguale e opposto, diretto in salita.
• La piattaforma scivola in discesa rispetto al piano fermo: l'attrito del piano sulla piattaforma è diretto in salita.

Le reazioni normali

Nessun corpo si stacca dalla sua superficie, quindi lungo la perpendicolare al piano le forze si bilanciano:

• su $m_1$: $N_1 = m_1 g\cos\vartheta = 0{,}3 \cdot 9{,}81 \cdot 0{,}940 = 2{,}77$ N;
• sulla piattaforma il piano deve reggere sia la piattaforma sia il blocchetto che le preme sopra: $N_M = (M + m_1)\,g\cos\vartheta = 1{,}8 \cdot 9{,}81 \cdot 0{,}940 = 16{,}6$ N.

Gli attriti dinamici valgono quindi $\mu_D N_1 = 0{,}415$ N (tra blocchetto e piattaforma) e $\mu_D N_M = 2{,}49$ N (tra piattaforma e piano).

a) Accelerazioni e tensione

I due blocchetti

Il filo è inestensibile, quindi $m_1$ (che sale lungo il piano) e $m_2$ (che scende in verticale) hanno accelerazioni di uguale modulo $a$ (Tensione dei fili e carrucoleUn filo ideale (massa nulla, inestensibile) tira con la stessa tensione T in tutti i suoi punti, anche passando su una carrucola ideale, e impone ai corpi collegati accelerazioni di uguale modulo. Si scrive F = m a per ogni corpo e si risolve il sistema in a e T (macchina di Atwood, blocco sul tavolo con massa appesa).Tensione dei fili e carrucole →). La carrucola ha massa trascurabile, quindi la tensione $T$ è la stessa ai due capi. Si scrive la seconda legge per ciascuno, prendendo positivo il verso del moto (in salita per $m_1$, in giù per $m_2$):

$$m_1: \quad T - m_1 g\sin\vartheta - \mu_D m_1 g\cos\vartheta = m_1 a$$

$$m_2: \quad m_2 g - T = m_2 a$$

Sommando membro a membro la tensione si elimina (è una forza interna al sistema dei due blocchetti):

$$a = g\,\frac{m_2 - m_1\sin\vartheta - \mu_D m_1\cos\vartheta}{m_1 + m_2} = 9{,}81 \cdot \frac{0{,}2 - 0{,}1026 - 0{,}0423}{0{,}5} = 1{,}08\ \text{m/s}^2$$

Positiva: i blocchetti accelerano nel verso in cui già si muovono ($m_1$ in salita). Dalla seconda equazione:

$$T = m_2\,(g - a) = 0{,}2 \cdot (9{,}81 - 1{,}08) = 1{,}75\ \text{N}$$

Controllo di buon senso: $T < m_2 g = 1{,}96$ N, come deve essere per un corpo appeso che accelera verso il basso.

La piattaforma

Sulla piattaforma agiscono, lungo $x$: la componente del peso $-Mg\sin\vartheta$ (in discesa), l'attrito del blocchetto $+\mu_D m_1 g\cos\vartheta$ (in salita) e l'attrito del piano $+\mu_D (M + m_1) g\cos\vartheta$ (in salita). La tensione del filo non agisce sulla piattaforma: il filo è attaccato a $m_1$ e la carrucola è fissata al piano.

$$M a_M = -M g\sin\vartheta + \mu_D m_1 g\cos\vartheta + \mu_D (M + m_1)\,g\cos\vartheta$$

Dividendo per $M$:

$$a_M = -g\sin\vartheta + \mu_D\left(\frac{2m_1}{M} + 1\right) g\cos\vartheta = -3{,}355 + 0{,}15 \cdot 1{,}4 \cdot 9{,}218 = -1{,}42\ \text{m/s}^2$$

Negativa: la piattaforma accelera in discesa, come avevamo supposto per fissare i versi degli attriti. Se fosse venuta positiva l'ipotesi sarebbe stata sbagliata e si sarebbe dovuto rifare il conto (una piattaforma ferma che "accelera in salita" spinta solo da attriti è impossibile).

Perché si mette in moto. All'istante iniziale è ferma: la spinta verso valle è $Mg\sin\vartheta - \mu_D N_1 = 5{,}03 - 0{,}41 = 4{,}62$ N, mentre l'attrito del piano vale al massimo circa $2{,}49$ N. La spinta vince e la piattaforma parte subito.

b) Moto relativo e tempo per arrivare in $B$

L'accelerazione relativa di $m_1$ rispetto alla piattaforma è la differenza tra le due accelerazioni assolute: la piattaforma trasla senza ruotare, quindi la sua accelerazione è l'accelerazione di trascinamentoIn un riferimento che trasla l'accelerazione assoluta è la somma di quella relativa e di quella del riferimento: a = a' + a_trascinamento.Moti relativi - velocità e accelerazione di trascinamento →:

$$a' = a - a_M = 1{,}08 - (-1{,}42) = 2{,}50\ \text{m/s}^2$$

Nel riferimento della piattaforma, $m_1$ parte da $A$ con velocità relativa $v_0' = v_0 - 0 = 0{,}5$ m/s (la piattaforma all'inizio è ferma) e accelera uniformemente con $a'$. Deve percorrere tutta la piattaforma, cioè $\ell = 3$ m:

$$\ell = v_0 t + \tfrac12 a' t^2 \quad\Longrightarrow\quad \tfrac12 a' t^2 + v_0 t - \ell = 0$$

Si tiene la radice positiva dell'equazione di secondo grado:

$$t = \frac{-v_0 + \sqrt{v_0^2 + 2\ell a'}}{a'} = \frac{-0{,}5 + \sqrt{0{,}25 + 15{,}0}}{2{,}50} = \frac{-0{,}5 + 3{,}905}{2{,}50} = 1{,}36\ \text{s}$$

Confronto con la soluzione ufficiale. Il foglio delle soluzioni riporta $a = 1{,}098$ m/s², $a_M = -1{,}398$ m/s², $a' = 2{,}496$ m/s² (piccole differenze di arrotondamento) e $t = 0{,}914$ s. Quest'ultimo valore corrisponde però a una piattaforma lunga $1{,}5$ m: con $\ell = 1{,}5$ m la formula dà proprio $0{,}913$ s. Con la lunghezza del testo, $\ell = 3$ m, il tempo è $1{,}36$ s.

c) Lavoro degli attriti sulla piattaforma

La piattaforma parte da ferma e accelera uniformemente con $a_M$, quindi in un tempo $t$ si sposta di

$$x_M = \tfrac12 a_M t^2 = \tfrac12 \cdot (-1{,}42) \cdot 1{,}36^2 = -1{,}32\ \text{m}$$

(in discesa). I due attriti sulla piattaforma sono entrambi diretti in salita, cioè opposti allo spostamento: compiono lavoro negativo. Sono forze costanti, quindi il lavoro è forza per spostamento (Lavoro e potenzaIl lavoro di una forza lungo uno spostamento è il prodotto scalare F·Δr (forza costante) o l'integrale di linea di F·dr (caso generale); si misura in joule e può essere positivo, negativo o nullo. La potenza è il lavoro per unità di tempo, P = F·v.Lavoro e potenza →):

$$W_M^{\text{attr}} = \big[\mu_D m_1 g\cos\vartheta + \mu_D (M + m_1) g\cos\vartheta\big]\, x_M = \mu_D (2m_1 + M)\,g\cos\vartheta\; x_M$$

$$W_M^{\text{attr}} = 0{,}15 \cdot 2{,}1 \cdot 9{,}218 \cdot (-1{,}32) = 2{,}90 \cdot (-1{,}32) = -3{,}82\ \text{J}$$

(Con il tempo $0{,}914$ s della soluzione ufficiale si otterrebbero $x_M = -0{,}59$ m e $W = -1{,}70$ J, che sono i valori del foglio.)

Attenzione al lavoro dell'attrito tra blocchetto e piattaforma. Qui si chiede il lavoro sulla piattaforma, quindi conta lo spostamento della piattaforma. L'attrito uguale e opposto che agisce sul blocchetto ha un lavoro diverso, perché il blocchetto si sposta di un'altra quantità: la somma dei due lavori è $-\mu_D N_1 \cdot (\text{spostamento relativo}) = -0{,}415 \cdot 3 = -1{,}24$ J, l'energia dissipata nello strisciamento.

Risultati

Errori comuni

• Mettere nella normale della piattaforma solo il suo peso: il blocchetto le preme sopra, quindi $N_M = (M + m_1) g\cos\vartheta$.
• Dimenticare l'attrito del blocchetto sulla piattaforma: è la reazione dell'attrito che frena il blocchetto, e spinge la piattaforma in salita.
• Usare la velocità assoluta al posto di quella relativa nel calcolo del tempo: lo spazio da percorrere ($\ell$) è misurato sulla piattaforma, quindi servono velocità e accelerazione relative.
• Mettere la tensione del filo tra le forze sulla piattaforma: il filo non la tocca.