Esercizio 21due blocchi su due piani inclinati collegati da un filo

Testo (tema d'esame del 22 giugno 2023, problema 1, prof. Gasparini). Due blocchi di massa $m_1 = 0{,}3$ kg e $m_2 = 0{,}4$ kg, poggiati su due piani inclinati come mostrato in figura, sono collegati da un filo inestensibile che scorre senza attrito su una rotellina di massa e dimensioni trascurabili. Il piano su cui è poggiato $m_1$ è scabro, con coefficiente di attrito dinamico $\mu_D = 0{,}25$ e inclinazione rispetto alla direzione orizzontale $\alpha = 20°$, mentre il piano su cui poggia $m_2$ è privo di attrito ed ha inclinazione $\beta = 30°$. Si osserva che il sistema rimane in equilibrio statico. Determinare:

a) la forza d'attrito statico ed il minimo valore del coefficiente d'attrito statico affinché l'equilibrio si verifichi.

Il sistema viene messo in moto imprimendo a $m_1$ la velocità iniziale $v_0 = -1{,}5$ m/s (con riferimento all'asse $x$ come orientato in figura). Determinare:

b) l'accelerazione $a$ dei due blocchi lungo i due piani inclinati e la tensione $T$ del filo; c) il tempo $t$ impiegato dal sistema a fermarsi ed il lavoro compiuto dalla forza d'attrito fino a quell'istante.

Figura: due piani inclinati formano un "tetto": a sinistra il piano di $m_1$ (inclinazione $\alpha$), a destra quello di $m_2$ (inclinazione $\beta$); sulla cima c'è la rotellina. L'asse $x$ è parallelo al piano di sinistra e punta in salita, verso la rotellina.

Impostazione

Le grandezze

Assi "che seguono il filo"

Il filo è ideale e inestensibileMassa nulla: la tensione è la stessa ai due capi, anche passando sulla rotellina. Inestensibile: i due blocchi hanno accelerazioni uguali in modulo lungo il filo.Tensione dei fili e carrucole →, quindi i due blocchi si muovono "insieme" lungo il filo. Si sceglie per ciascuno un asse lungo il suo piano in modo che quando $m_1$ va nel verso $+x$ (sale verso la rotellina) anche $m_2$ vada nel suo verso positivo, cioè scenda lungo il suo piano. Così entrambi hanno la stessa velocità $v$ e la stessa accelerazione $a$, con lo stesso segno.

Forze lungo i piani:

• su $m_1$: componente del peso $-m_1 g\sin\alpha$ (verso il basso del suo piano, cioè $-x$), tensione $+T$ (verso la rotellina), attrito;
• su $m_2$: componente del peso $+m_2 g\sin\beta$ (giù per il suo piano, verso positivo), tensione $-T$ (verso la rotellina, cioè in salita per $m_2$), nessun attrito.

a) Equilibrio statico

Il sistema è fermo: $a = 0$. L'attrito su $m_1$ è staticoSuperfici ferme: l'attrito vale quanto serve a tenerle ferme, fino a μS N.Forze di attrito radente → e non se ne conosce il verso: si scrive $+F_S$ (verso $+x$) e si lascia decidere al segno.

$$m_1: \quad -m_1 g\sin\alpha + T + F_S = 0 \qquad\qquad m_2: \quad m_2 g\sin\beta - T = 0$$

Dalla seconda $T = m_2 g\sin\beta = 0{,}4 \cdot 9{,}81 \cdot 0{,}5 = 1{,}96$ N: il blocco sul piano liscio è tenuto fermo solo dal filo. Sostituendo nella prima:

$$F_S = m_1 g\sin\alpha - m_2 g\sin\beta = g\,(m_1\sin\alpha - m_2\sin\beta) = 9{,}81\,(0{,}3 \cdot 0{,}342 - 0{,}4 \cdot 0{,}5) = -0{,}955\ \text{N}$$

Il segno meno dice che l'attrito statico punta nel verso $-x$, cioè in discesa lungo il piano di $m_1$. Ha senso: il peso di $m_2$ lungo il suo piano ($1{,}96$ N) è più grande di quello di $m_1$ lungo il suo ($1{,}01$ N), quindi $m_2$ tenderebbe a scendere tirando su $m_1$; l'attrito si oppone a questa tendenza.

Coefficiente minimo. La normale su $m_1$ è $N_1 = m_1 g\cos\alpha = 0{,}3 \cdot 9{,}81 \cdot 0{,}940 = 2{,}77$ N. Deve essere $|F_S| \le \mu_S N_1$:

$$\mu_S \ge \frac{|F_S|}{m_1 g\cos\alpha} = \frac{0{,}955}{2{,}77} = 0{,}345 \quad \Longrightarrow \quad \mu_{S,\min} = 0{,}345$$

b) Accelerazione e tensione con $v_0 < 0$

Ora $m_1$ ha velocità $v_0 = -1{,}5$ m/s: si muove in verso $-x$, cioè scende lungo il suo piano, mentre $m_2$ sale lungo il proprio. Il blocco $m_1$ striscia, quindi agisce l'attrito dinamico $\mu_D N_1$, opposto alla velocità di $m_1$: punta in verso $+x$ (in salita).

$$m_1: \quad -m_1 g\sin\alpha + T + \mu_D m_1 g\cos\alpha = m_1 a$$ $$m_2: \quad m_2 g\sin\beta - T = m_2 a$$

Sommando le due equazioni la tensione sparisce (è il trucco descritto in Tensione dei fili e carrucoleUn filo ideale (massa nulla, inestensibile) tira con la stessa tensione T in tutti i suoi punti, anche passando su una carrucola ideale, e impone ai corpi collegati accelerazioni di uguale modulo. Si scrive F = m a per ogni corpo e si risolve il sistema in a e T (macchina di Atwood, blocco sul tavolo con massa appesa).Tensione dei fili e carrucole →):

$$(m_1 + m_2)\,a = g\,(m_2\sin\beta - m_1\sin\alpha + \mu_D m_1\cos\alpha)$$

$$a = \frac{9{,}81\,(0{,}2 - 0{,}1026 + 0{,}0705)}{0{,}7} = \frac{9{,}81 \cdot 0{,}1679}{0{,}7} = 2{,}35\ \text{m/s}^2$$

Dalla seconda equazione:

$$T = m_2(g\sin\beta - a) = 0{,}4\,(4{,}905 - 2{,}353) = 1{,}02\ \text{N}$$

Interpretazione. L'accelerazione è positiva mentre la velocità è negativa: velocità e accelerazione discordi, quindi il sistema rallenta (tabella dei segniSe velocità e accelerazione hanno segni opposti il modulo della velocità diminuisce.Moto rettilineo - posizione, velocità e accelerazione →). Frenano il moto il peso di $m_2$ lungo il suo piano ($1{,}96$ N) e l'attrito su $m_1$ ($0{,}69$ N); lo favorisce solo il peso di $m_1$ lungo il suo piano ($1{,}01$ N), che è più piccolo. La tensione è minore del valore statico $1{,}96$ N: $m_2$, che sta salendo, viene frenato dal suo peso, e il filo deve tirarlo meno.

c) Tempo di arresto e lavoro dell'attrito

L'accelerazione è costante (le forze lo sono finché $m_1$ scende), quindi il moto è uniformemente acceleratov = v0 + a t e x = v0 t + a t²/2.Moto rettilineo uniforme e uniformemente accelerato →:

$$v(t) = v_0 + a t = 0 \quad \Longrightarrow \quad t = -\frac{v_0}{a} = \frac{1{,}5}{2{,}353} = 0{,}638\ \text{s}$$

(La soluzione ufficiale scrive $0{,}628$ s, ma $1{,}5 / 2{,}353 = 0{,}638$: piccolo refuso.)

Spostamento di $m_1$ fino all'arresto (con la formula senza il tempo, $0 = v_0^2 + 2a\,\Delta x$):

$$\Delta x = -\frac{v_0^2}{2a} = -\frac{2{,}25}{4{,}705} = -0{,}478\ \text{m}$$

cioè $m_1$ scende di $47{,}8$ cm lungo il suo piano.

Lavoro dell'attrito. La forza d'attrito è costante e diretta lungo $x$ ($F_x = +\mu_D m_1 g\cos\alpha = 0{,}692$ N), lo spostamento è $\Delta x$; per una forza costante parallela allo spostamento il lavoroPer una forza costante lungo lo spostamento il lavoro è forza per spostamento, con il segno: negativo se forza e spostamento sono opposti.Lavoro e potenza → è il prodotto:

$$W_{\text{attr}} = F_x\,\Delta x = 0{,}692 \cdot (-0{,}478) = -0{,}331\ \text{J}$$

Negativo, come sempre per l'attrito dinamico: la forza è opposta allo spostamento e sottrae energia al sistema.

Dopo l'arresto il sistema non riparte per forza: se il coefficiente statico è almeno $0{,}345$ (punto a) resta fermo.

Risultati

Errori comuni

• Decidere a occhio il verso dell'attrito statico: qui l'intuizione "l'attrito tiene su il blocco" è sbagliata, perché è $m_2$ a tirare $m_1$ in salita. Scrivere $+F_S$ e leggere il segno evita l'errore.
• Tenere lo stesso verso per l'attrito nei punti a) e b): nel punto b) è dinamico e si oppone alla velocità di $m_1$ (verso il basso), quindi punta in salita.
• Usare la tensione statica $m_2 g\sin\beta$ anche nel moto: con accelerazione non nulla la tensione cambia.