Esercizio 55Apollo 8, massa e raggio della Luna

Testo (secondo compitino del 16 giugno 2022, problema 2). Nel dicembre 1968 la missione Apollo 8 (la prima con equipaggio a circumnavigare la Luna) compì 10 orbite approssimativamente circolari intorno alla Luna. Il raggio dell'orbita fu $R = 1850$ km ed il periodo di rivoluzione $T = 128$ min. Ricordando che la costante di gravitazione universale vale $\gamma = 6{,}67 \cdot 10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$, determinare:

a) la massa della Luna $M_L$; b) il raggio $r_L$ della Luna e l'accelerazione di gravità $g_L$ sulla superficie lunare, sapendo che la velocità di fuga dalla Luna è $v_f = 2{,}2 \cdot 10^3$ m/s.

Dati in unità SI

a) Massa della Luna

Velocità sull'orbita. In un periodo la navicella percorre una circonferenza intera (moto circolare uniformeVelocità costante in modulo: lo spazio di un giro, 2πR, diviso il tempo di un giro, T.Moto circolare →):

$$v = \frac{2\pi R}{T} = \frac{2\pi \cdot 1{,}85 \cdot 10^6}{7680} = 1{,}51 \cdot 10^3\ \text{m/s}$$

La gravità fa da forza centripeta. L'unica forza sulla navicella è l'attrazione lunare, che la mantiene sul cerchio (orbita circolareUguagliando G M m / R² a m v² / R si ottiene v² = G M / R, la relazione che la soluzione ufficiale chiama formula kepleriana.Legge di gravitazione universale →):

$$G\,\frac{M_L m}{R^2} = m\,\frac{v^2}{R} \quad \Longrightarrow \quad M_L = \frac{v^2 R}{G}$$

$$M_L = \frac{(1513{,}5)^2 \cdot 1{,}85 \cdot 10^6}{6{,}67 \cdot 10^{-11}} = \frac{4{,}238 \cdot 10^{12}}{6{,}67 \cdot 10^{-11}} = 6{,}35 \cdot 10^{22}\ \text{kg}$$

(Il valore vero è $7{,}35 \cdot 10^{22}$ kg; la differenza viene dai dati "storici" approssimati del testo.)

b) Raggio della Luna e gravità sulla superficie

Che cos'è la velocità di fuga

La velocità di fugaLa minima velocità di lancio dalla superficie con cui un corpo si allontana per sempre: ci arriva all'infinito con velocità nulla, cioè con energia meccanica totale zero.Energia potenziale gravitazionale e orbite → è la velocità minima con cui un corpo lanciato dalla superficie si allontana indefinitamente. Con il minimo indispensabile di energia arriva "all'infinito" fermo, dove l'energia potenziale gravitazionale è zero: la sua energia meccanica totale è quindi nulla. Siccome l'energia si conserva, era nulla anche alla partenza:

$$\tfrac12 m v_f^2 - G\,\frac{M_L m}{r_L} = 0$$

Il corpo parte dalla superficie, a distanza $r_L$ dal centro: è proprio il raggio che cerchiamo.

Il raggio

Si risolve per $r_L$ (la massa $m$ del corpo si semplifica):

$$r_L = \frac{2 G M_L}{v_f^2}$$

Osservazione utile: dal punto a) $G M_L = v^2 R$, quindi $r_L = \frac{2 v^2 R}{v_f^2}$ e la costante $G$ non serve nemmeno. Numeri:

$$r_L = \frac{2 \cdot 4{,}238 \cdot 10^{12}}{(2{,}2 \cdot 10^3)^2} = \frac{8{,}476 \cdot 10^{12}}{4{,}84 \cdot 10^6} = 1{,}75 \cdot 10^6\ \text{m} = 1751\ \text{km}$$

L'Apollo 8 orbitava quindi a una quota di circa $1850 - 1751 \approx 100$ km.

La gravità sulla superficie

Il peso di un corpo sulla superficie è l'attrazione della Luna a distanza $r_L$:

$$m g_L = G\,\frac{M_L m}{r_L^2} \quad \Longrightarrow \quad g_L = \frac{G M_L}{r_L^2} = \frac{4{,}238 \cdot 10^{12}}{(1{,}751 \cdot 10^6)^2} = 1{,}38\ \text{m/s}^2$$

Controllo con la formula della velocità di fuga $v_f = \sqrt{2 g_L r_L}$: $\sqrt{2 \cdot 1{,}382 \cdot 1{,}751 \cdot 10^6} = 2{,}2 \cdot 10^3$ m/s ✓.

La soluzione ufficiale riporta $r_L = 1736$ km e $g_L = 1{,}39$ m/s² perché arrotonda prima la massa a $0{,}63 \cdot 10^{23}$ kg: con $M_L = 6{,}35 \cdot 10^{22}$ kg non arrotondata si ottengono i valori qui sopra. È un buon esempio del perché conviene arrotondare solo alla fine.

Risultati

Errori comuni

• Scrivere $\frac12 m v_f^2 = m g_L h$ per la velocità di fuga: il corpo va all'infinito, l'energia potenziale va scritta come $-\frac{GMm}{r}$.
• Usare nella velocità di fuga il raggio dell'orbita invece del raggio della Luna: il lancio avviene dalla superficie.
• Periodo in minuti dentro la formula: va convertito in secondi.