Esercizio 83blocco di legno che galleggia

Testo (esercizio di allenamento su Stevino e Archimede). Un cubo di legno di lato $L = 20$ cm e densità $\rho_c = 600$ kg/m³ galleggia in acqua ($\rho_f = 1000$ kg/m³), con due facce orizzontali. La pressione atmosferica è $p_0 = 1{,}013 \cdot 10^5$ Pa. Determinare:

a) la massa e il peso del cubo; b) di quanto la faccia inferiore sta sotto il pelo dell'acqua; c) la pressione sulla faccia inferiore, e verificare che la forza dovuta alle pressioni sia la spinta di Archimede; d) la forza verticale necessaria per tenere il cubo completamente immerso; e) la massima massa che si può appoggiare sopra il cubo senza che vada sotto; f) il periodo delle piccole oscillazioni verticali del cubo se, galleggiando, viene spinto un poco in giù e lasciato andare (si trascurino attriti e l'acqua trascinata dal cubo).

Impostazione

Il cubo è meno denso dell'acqua, quindi galleggia con una parte fuori (Principio di ArchimedeUn corpo immerso in un fluido riceve una spinta verso l'alto uguale al peso del fluido spostato, F = ρ_fluido V_imm g. Il corpo galleggia se è meno denso del fluido, e la frazione immersa è il rapporto tra le densità.Principio di Archimede →).

a) Massa e peso

$$m = \rho_c V = 600 \cdot 0{,}008 = 4{,}8\ \text{kg}, \qquad P = m g = 4{,}8 \cdot 9{,}81 = 47{,}1\ \text{N}$$

b) Profondità della faccia inferiore

In equilibrio la spinta di Archimede, uguale al peso dell'acqua spostata, bilancia il peso. Se la faccia inferiore sta a profondità $h$, il volume immerso è $S h$:

$$\rho_f\,S h\,g = \rho_c\,S L\,g \quad\Longrightarrow\quad h = \frac{\rho_c}{\rho_f}\,L = 0{,}6 \cdot 0{,}2 = 0{,}12\ \text{m}$$

Sono immersi $12$ cm su $20$ ed emergono $8$ cm. La frazione immersa, $0{,}6$, è il rapporto tra le densità.

c) Pressione sulla faccia inferiore e origine della spinta

Per la legge di StevinoIn un fluido in quiete la pressione cresce linearmente con la profondità: p = p₀ + ρ g h.Statica dei fluidi - pressione e legge di Stevino →, a profondità $h$:

$$p = p_0 + \rho_f g h = 101\,300 + 1000 \cdot 9{,}81 \cdot 0{,}12 = 101\,300 + 1177 = 102\,477\ \text{Pa}$$

Le forze di pressione sul cubo.

• Sulle quattro facce laterali le pressioni si fanno equilibrio a coppie (facce opposte alla stessa profondità): risultante orizzontale nulla.
• Sulla faccia superiore agisce l'aria: $p_0 S$ verso il basso.
• Sulla faccia inferiore l'acqua: $p S$ verso l'alto.

La risultante è verso l'alto e vale

$$(p - p_0)\,S = \rho_f g h\,S = 1177 \cdot 0{,}04 = 47{,}1\ \text{N}$$

esattamente il peso del cubo ✓, ed esattamente $\rho_f (S h) g$, il peso dell'acqua spostata. La spinta di Archimede è la differenza delle pressioni tra sotto e sopra: la pressione atmosferica agisce su entrambe le facce e si elide, per questo nei conti basta la pressione relativa.

d) Forza per tenerlo tutto sott'acqua

Completamente immerso il cubo sposta tutto il suo volume: la spinta diventa $\rho_f V g = 1000 \cdot 0{,}008 \cdot 9{,}81 = 78{,}5$ N, più del peso. Per tenerlo giù serve una forza verso il basso $F$ che compensi la differenza:

$$F + m g = \rho_f V g \quad\Longrightarrow\quad F = (\rho_f - \rho_c)\,V g = 400 \cdot 0{,}008 \cdot 9{,}81 = 31{,}4\ \text{N}$$

Non dipende dalla profondità a cui lo si tiene: la spinta è la stessa a qualunque profondità, perché l'acqua è (praticamente) incomprimibile e la differenza di pressione tra le due facce è sempre $\rho_f g L$.

e) Massa massima appoggiata sopra

Una massa $M$ appoggiata sul cubo aggiunge il peso $Mg$. Il limite è quando il cubo è immerso fino al bordo superiore: la spinta massima, $\rho_f V g$, deve reggere cubo più massa:

$$\rho_f V g = (m + M)\,g \quad\Longrightarrow\quad M = \rho_f V - m = 8 - 4{,}8 = 3{,}2\ \text{kg}$$

Si nota che $M g = 31{,}4$ N è proprio la forza del punto d.

f) Piccole oscillazioni verticali

Il cubo viene spinto in giù di un piccolo tratto $s$ rispetto all'equilibrio. Il volume immerso cresce di $S s$, e la spinta cresce di $\rho_f g S s$, mentre il peso resta lo stesso. La forza risultante, verso l'alto, è quindi

$$F = -\rho_f g S\,s$$

proporzionale allo spostamento e opposta: è una forza di richiamo elastica, con costante $k_{eff} = \rho_f g S$. Per la seconda legge $m\ddot s = -\rho_f g S\,s$: moto armonico (Piccole oscillazioni ed energia dell'oscillatoreNell'oscillatore armonico l'energia E = ½kA² resta costante e passa continuamente tra cinetica e potenziale. Attorno a ogni minimo di un'energia potenziale U(x) il moto, per piccoli spostamenti, è armonico con ω² = U''(x₀)/m: metodo unico per molla verticale, molle in serie e in parallelo, pendoli, guide circolari.Piccole oscillazioni ed energia dell'oscillatore →) con

$$\omega = \sqrt{\frac{\rho_f g S}{m}} = \sqrt{\frac{1000 \cdot 9{,}81 \cdot 0{,}04}{4{,}8}} = \sqrt{81{,}75} = 9{,}04\ \text{rad/s}, \qquad T = \frac{2\pi}{\omega} = 0{,}69\ \text{s}$$

Semplificando ($m = \rho_c S L$ e $h = \frac{\rho_c}{\rho_f} L$): $\omega = \sqrt{g/h}$, come un pendolo lungo quanto la parte immersa. Un cubo che pesca poco oscilla in fretta. In realtà l'acqua frena il moto (oscillazione smorzata) e il cubo trascina con sé un po' d'acqua, che aumenta la massa efficace e allunga il periodo.

Risultati

Errori comuni

• Usare il volume intero del cubo per la spinta in galleggiamento: conta solo il volume immerso.
• Mettere la pressione atmosferica nella spinta: agisce sopra e sotto e si elide.
• Pensare che spingendolo più a fondo serva più forza: una volta tutto immerso la spinta non cambia con la profondità.
• Usare densità in g/cm³ con $g$ in m/s²: in SI la densità va in kg/m³.