Esercizio 90frigorifero tra acqua bollente e ghiaccio

Testo (tema d'esame del 14 settembre 2015, problema 2). Una macchina frigorifera di efficienza $\xi = 0{,}8$ lavora tra un serbatoio caldo contenente una miscela di acqua e vapor acqueo saturo ($\lambda_V = 2{,}26 \cdot 10^6\ \text{J/kg}$) alla temperatura di evaporazione dell'acqua $T_V = 373{,}15\ \text{K}$, e un serbatoio freddo contenente una miscela di acqua e ghiaccio ($\lambda_G = 3{,}3 \cdot 10^5\ \text{J/kg}$) alla temperatura di fusione del ghiaccio $T_G = 273{,}15\ \text{K}$. Ad ogni ciclo solidifica una massa $m_G = 0{,}01\ \text{kg}$ di ghiaccio nel serbatoio freddo ed evapora una massa $m_V$ di acqua nel serbatoio caldo. Determinare:

a) la massa $m_V$ di acqua che evapora ad ogni ciclo della macchina; b) la variazione di entropia $\Delta S_U$ dell'universo dopo che la macchina ha compiuto $N = 500$ cicli.

Dopo questi $N$ cicli, la macchina frigorifera viene sostituita con una macchina termica reversibile che ad ogni ciclo fa condensare la stessa massa $m_V$ di vapore. Quando la macchina termica reversibile ha compiuto lo stesso numero $N$ di cicli, determinare:

c) il lavoro totale $W_F$ subito dalla macchina frigorifera e il lavoro $W_{\text{ext}}$ complessivamente compiuto dall'ambiente sulle macchine; d) la differenza $\Delta M_{G,\text{serb}} = M_{G,\text{serb,fin}} - M_{G,\text{serb,in}}$ di massa di ghiaccio presente nel serbatoio freddo rispetto alla situazione iniziale.

I serbatoi: miscele a temperatura fissa

Una miscela di acqua e ghiaccio resta a $273{,}15$ K finché ci sono entrambe le fasi: se riceve calore fonde un po' di ghiaccio, se ne cede solidifica un po' d'acqua, ma la temperatura non cambia. Lo stesso vale per acqua e vapore a $373{,}15$ K. Sono quindi serbatoiCorpi che scambiano calore senza cambiare temperatura.Macchine termiche e frigorifere →, e il calore scambiato si legge dalla massa che cambia fase (calore latenteQ = mλ: il calore che serve a far cambiare fase alla massa m a temperatura costante.Calore, calori specifici e cambiamenti di fase →):

$$|Q| = m\lambda$$

a) Massa di acqua che evapora per ciclo

Calore tolto al serbatoio freddo. Nel serbatoio freddo solidifica $m_G = 0{,}01$ kg di acqua: per solidificare, l'acqua deve cedere il calore latente, e lo cede alla macchina. Quindi la macchina assorbe dal freddo

$$Q_G = m_G \lambda_G = 0{,}01 \cdot 3{,}3 \times 10^5 = 3300\ \text{J}$$

Lavoro per ciclo, dalla definizione di efficienza del frigorifero, $\xi = Q_G / |W|$:

$$|W| = \frac{Q_G}{\xi} = \frac{3300}{0{,}8} = 4125\ \text{J}$$

Calore ceduto al serbatoio caldo. Nel ciclo l'energia interna della macchina non cambia, quindi tutto quello che entra (calore dal freddo più lavoro) esce come calore verso il caldo:

$$Q_V = Q_G + |W| = 3300 + 4125 = 7425\ \text{J}$$

Questo calore fa evaporare l'acqua del serbatoio caldo:

$$m_V = \frac{Q_V}{\lambda_V} = \frac{7425}{2{,}26 \times 10^6} = 3{,}29 \times 10^{-3}\ \text{kg} = 3{,}29\ \text{g}$$

In forma letterale: $m_V = \frac{m_G \lambda_G}{\lambda_V}\left(1 + \frac{1}{\xi}\right)$.

Un'efficienza bassa. Un frigorifero di Carnot tra queste temperature avrebbe $\xi_{\text{Carnot}} = \frac{T_G}{T_V - T_G} = \frac{273{,}15}{100} = 2{,}73$ (Ciclo di Carnot e teorema di CarnotIl ciclo di Carnot (due isoterme e due adiabatiche reversibili) ha rendimento 1 − T1/T2. Teorema di Carnot: nessuna macchina tra due serbatoi fa meglio di una reversibile, e tutte le reversibili hanno lo stesso rendimento. Da qui la temperatura termodinamica assoluta.Ciclo di Carnot e teorema di Carnot →). Con $\xi = 0{,}8$ la macchina è lontana dall'ideale: è irreversibile, e lo si vedrà dall'entropia.

b) Entropia dell'universo dopo $N$ cicli

La macchina compie cicli, quindi la sua entropia torna al valore iniziale. Cambia l'entropia dei due serbatoi, che scambiano calore a temperatura costante (ΔS = Q/T per un serbatoioIl serbatoio riceve o cede calore senza cambiare temperatura: ΔS = Qricevuto/T.Calcolo delle variazioni di entropia →):

• serbatoio freddo: cede $Q_G$, $\Delta S_G = -\frac{Q_G}{T_G} = -\frac{3300}{273{,}15} = -12{,}08\ \text{J/K}$ per ciclo;
• serbatoio caldo: riceve $Q_V$, $\Delta S_V = +\frac{Q_V}{T_V} = +\frac{7425}{373{,}15} = +19{,}90\ \text{J/K}$ per ciclo.

Per ciclo $\Delta S_U = 19{,}90 - 12{,}08 = 7{,}82\ \text{J/K}$, e dopo $N = 500$ cicli

$$\Delta S_U = 500 \cdot 7{,}82 = 3908\ \text{J/K}$$

Positiva: la macchina è irreversibile. Una macchina reversibile avrebbe $\Delta S_U = 0$, cioè $\frac{Q_V}{T_V} = \frac{Q_G}{T_G}$ (Teorema di Clausius ed entropiaIn ogni ciclo la somma dei Q/T è ≤ 0, con l'uguale solo se il ciclo è reversibile (Clausius). Da qui l'entropia, funzione di stato con ΔS = ∫ dQrev/T. L'entropia dell'universo non diminuisce mai: resta costante nei processi reversibili, cresce in quelli irreversibili.Teorema di Clausius ed entropia →).

c) Lavoro del frigorifero e lavoro complessivo dall'esterno

Lavoro subito dal frigorifero in $N$ cicli:

$$W_F = N|W| = 500 \cdot 4125 = 2{,}06 \times 10^6\ \text{J}$$

La macchina termica reversibile. Ora una macchina termica lavora tra gli stessi serbatoi, prendendo calore dal caldo (fa condensare $m_V$ di vapore per ciclo: il vapore che condensa cede calore) e producendo lavoro. Per ciclo:

$$Q_V = m_V \lambda_V = 7425\ \text{J} \quad \text{(assorbito dalla macchina)}$$

Essendo reversibile, ha il rendimento di CarnotOgni macchina reversibile tra due serbatoi ha rendimento 1 − Tfreddo/Tcaldo.Ciclo di Carnot e teorema di Carnot →:

$$\eta = 1 - \frac{T_G}{T_V} = 1 - \frac{273{,}15}{373{,}15} = 0{,}268$$

e produce, per ciclo, $W_T = \eta\,Q_V = 0{,}268 \cdot 7425 = 1990\ \text{J}$. In $N$ cicli: $N W_T = 9{,}95 \times 10^5\ \text{J}$.

Lavoro complessivo dall'ambiente. L'ambiente ha fornito $W_F$ al frigorifero e ha ricevuto $N W_T$ dalla macchina termica:

$$W_{\text{ext}} = W_F - N W_T = 2{,}06 \times 10^6 - 0{,}99 \times 10^6 = 1{,}07 \times 10^6\ \text{J}$$

Il saldo è positivo: alla fine, anche se il serbatoio caldo è tornato com'era (l'acqua evaporata è stata ricondensata), l'ambiente ha speso più di un milione di joule. È il prezzo dell'irreversibilità del frigorifero.

d) Ghiaccio nel serbatoio freddo

Ghiaccio formato dal frigorifero: $N m_G = 500 \cdot 0{,}01 = 5\ \text{kg}$.

Ghiaccio fuso dalla macchina termica. Per ogni ciclo la macchina reversibile cede al serbatoio freddo il calore $|Q_G'|$ con $\frac{|Q_G'|}{Q_V} = \frac{T_G}{T_V}$ (proprietà delle macchine reversibili):

$$|Q_G'| = Q_V \frac{T_G}{T_V} = 7425 \cdot \frac{273{,}15}{373{,}15} = 5435\ \text{J}$$

(equivalentemente $Q_V - W_T = 7425 - 1990$). Questo calore fonde, per ciclo,

$$m_G' = \frac{|Q_G'|}{\lambda_G} = \frac{5435}{3{,}3 \times 10^5} = 0{,}0165\ \text{kg}$$

e in $N$ cicli $500 \cdot 0{,}0165 = 8{,}24\ \text{kg}$.

Bilancio:

$$\Delta M_{G,\text{serb}} = N m_G - N m_G' = 5 - 8{,}24 = -3{,}24\ \text{kg}$$

Alla fine nel serbatoio freddo c'è meno ghiaccio di prima: $3{,}24$ kg in meno. Il serbatoio caldo è tornato come all'inizio, ma il freddo ha ricevuto in totale $N(|Q_G'| - Q_G) = 500 \cdot 2135 = 1{,}07 \times 10^6\ \text{J}$, esattamente $W_{\text{ext}}$: il lavoro speso dall'ambiente è finito tutto in calore nel serbatoio freddo.

Controllo con l'entropia. La macchina reversibile non cambia l'entropia dell'universo, quindi alla fine $\Delta S_U = 3908\ \text{J/K}$ come al punto b). Ma il caldo è tornato com'era, quindi tutta questa entropia è nel freddo: $\frac{1{,}07 \times 10^6\ \text{J}}{273{,}15\ \text{K}} = 3908\ \text{J/K}$ ✓. E l'energia inutilizzabile $T_G\,\Delta S_U = 273{,}15 \cdot 3908 = 1{,}07 \times 10^6\ \text{J}$ coincide con $W_{\text{ext}}$.

Risultati

Errori comuni

• Sbagliare il verso dei calori: quando il ghiaccio solidifica il serbatoio freddo cede calore (alla macchina); quando l'acqua evapora il serbatoio caldo riceve calore.
• Calcolare $Q_V$ come $Q_G$ invece che $Q_G + |W|$: il frigorifero scarica nel caldo anche il lavoro ricevuto.
• Usare $\xi = 0{,}8$ anche per la macchina termica: è un'altra macchina, reversibile, con rendimento di Carnot.
• Usare temperature in Celsius nel rendimento: $1 - \frac{0}{100}$ darebbe $1$.