Esercizio 29piattaforma spinta che urta un ostacolo

Testo (tema d'esame del 6 luglio 2015, problema 1). Un blocchetto di massa $m = 0{,}5$ kg può scorrere senza attrito su una piattaforma di massa $M = 3$ kg che a sua volta si muove su un piano orizzontale scabro. Il coefficiente d'attrito dinamico tra il piano e la piattaforma è $\mu_D = 0{,}15$. Il blocchetto è agganciato ad una molla di costante elastica $k = 10$ N/m, che è fissata alla piattaforma nell'altro suo estremo (vedi figura). La piattaforma è spinta da una forza costante $F = 14$ N. Si osserva che la molla è compressa ed il blocchetto è fermo rispetto alla piattaforma. Determinare:

a) l'accelerazione della piattaforma e la compressione della molla.

La velocità iniziale della piattaforma è $v_0 = 0{,}5$ m/s; dopo un tempo $t = 0{,}6$ s la forza cessa di agire, ed immediatamente dopo la piattaforma urta in modo completamente anelastico un ostacolo fisso, rimanendovi incastrata. Calcolare:

b) la velocità del blocchetto subito dopo l'urto e l'impulso trasferito dall'ostacolo alla piattaforma nell'urto; c) la massima compressione della molla dopo l'urto.

Figura. La forza $\vec F$ spinge la piattaforma verso destra (asse $x$ positivo). Sulla piattaforma, il blocchetto è collegato con la molla alla sponda posteriore (quella di sinistra); più avanti, a destra, c'è l'ostacolo fisso contro cui la piattaforma andrà a sbattere.

Impostazione

Perché la molla è compressa. Il blocchetto scorre senza attrito: l'unica forza orizzontale che può farlo accelerare insieme alla piattaforma è quella della molla. Deve quindi spingerlo in avanti, e una molla attaccata alla sponda posteriore spinge in avanti solo se è compressa: il blocchetto "resta indietro" e la schiaccia, come un passeggero schiacciato contro lo schienale quando l'auto accelera.

a) Accelerazione e compressione

Il sistema intero. Blocchetto e piattaforma hanno la stessa accelerazione $a$ (il blocchetto è fermo rispetto alla piattaforma), quindi si possono trattare come un unico corpo di massa $m + M$. La molla è interna e si elide. Forze esterne orizzontali: $F$ in avanti e l'attrito del piano all'indietro. Il piano regge il peso di tutti e due (il blocchetto preme sulla piattaforma, la piattaforma sul piano), quindi la normale è $(m + M) g$ (Forze di attrito radenteL'attrito radente è la componente della reazione vincolare parallela alla superficie. Statico: impedisce lo scivolamento e vale quanto serve, fino a μs N. Dinamico: agisce durante lo strisciamento, vale μd N ed è opposto alla velocità relativa.Forze di attrito radente →):

$$(m + M)\,a = F - \mu_D (m + M)\,g$$

$$a = \frac{F}{m + M} - \mu_D g = \frac{14}{3{,}5} - 0{,}15 \cdot 9{,}81 = 4 - 1{,}47 = 2{,}53\ \text{m/s}^2$$

Il blocchetto da solo. L'unica forza orizzontale è la molla, $k\,\Delta x$:

$$k\,\Delta x = m a \quad\Longrightarrow\quad \Delta x = \frac{m a}{k} = \frac{0{,}5 \cdot 2{,}53}{10} = 0{,}126\ \text{m}$$

b) Velocità del blocchetto dopo l'urto e impulso dell'ostacolo

Subito prima dell'urto. Per $0{,}6$ s il sistema accelera uniformemente:

$$v_M = v_m = v_0 + a t = 0{,}5 + 2{,}53 \cdot 0{,}6 = 2{,}02\ \text{m/s}$$

Durante l'urto. L'urto dura un tempo brevissimo $\Delta t$. In quel tempo l'ostacolo esercita sulla piattaforma una forza enorme (deve fermarla di colpo): è una forza impulsiva. La molla invece esercita una forza finita, $k\,\Delta x = 1{,}26$ N, il cui impulso $k\,\Delta x \cdot \Delta t$ tende a zero con $\Delta t$: la forza elastica non è impulsiva (Quantità di moto e impulsoLa quantità di moto è p = m v; la seconda legge si scrive F = dp/dt. L'impulso di una forza è il suo integrale nel tempo e uguaglia la variazione della quantità di moto (teorema dell'impulso): serve per gli urti e le forze brevi e intense.Quantità di moto e impulso →).

Conseguenza: sul blocchetto, durante l'urto, agisce solo una forza non impulsiva, quindi la sua quantità di moto non cambia:

$$v'_m = v_m = 2{,}02\ \text{m/s}$$

Il blocchetto "non si accorge" dell'urto: continua in avanti mentre la piattaforma si ferma sotto di lui. Attenzione: si conserva la quantità di moto del blocchetto, non quella del sistema blocchetto + piattaforma, perché sul sistema agisce l'impulso dell'ostacolo.

Impulso sulla piattaforma. La piattaforma passa da $v_M$ a $0$ (resta incastrata). Per il teorema dell'impulso:

$$J = M\,(0 - v_M) = -3 \cdot 2{,}02 = -6{,}05\ \text{N·s}$$

diretto all'indietro, come deve essere per fermarla. (Durante l'urto anche l'attrito del piano e la molla agiscono sulla piattaforma, ma non sono impulsivi e il loro contributo è trascurabile.)

c) Massima deformazione della molla dopo l'urto

Dopo l'urto la piattaforma è ferma per sempre (incastrata). Il blocchetto si muove senza attrito, attaccato alla molla: si conserva la sua energia meccanica, cinetica più elastica (Conservazione dell'energia meccanicaL'energia meccanica E = K + U resta costante se compiono lavoro solo forze conservative. Se lavorano anche forze non conservative (attrito), la variazione di E è uguale al loro lavoro: W_nc = E_B − E_A. Il grafico di U(x) con la retta E mostra dove il moto è possibile e i punti di inversione.Conservazione dell'energia meccanica →).

Subito dopo l'urto: velocità $v'_m = 2{,}02$ m/s, molla compressa di $\Delta x = 0{,}126$ m. Nell'istante di massima deformazione $X$ il blocchetto è fermo:

$$\tfrac12 m v'^2_m + \tfrac12 k\,(\Delta x)^2 = \tfrac12 k X^2$$

$$X = \sqrt{(\Delta x)^2 + \frac{m v'^2_m}{k}} = \sqrt{0{,}0160 + \frac{0{,}5 \cdot 4{,}07}{10}} = \sqrt{0{,}0160 + 0{,}2034} = 0{,}468\ \text{m}$$

Compressione o allungamento? Il blocchetto prosegue in avanti, allontanandosi dalla sponda posteriore: prima la molla torna alla lunghezza di riposo, poi si allunga fino a $X = 0{,}468$ m. Da lì la molla lo richiama indietro, e il moto è un'oscillazione armonica senza smorzamento attorno alla lunghezza di riposo, con ampiezza $X$ (Forza elasticaUna molla ideale esercita F = −k Δx, opposta alla deformazione (legge di Hooke). Una massa attaccata a una molla compie un moto armonico con ω = √(k/m); ampiezza e fase vengono dalle condizioni iniziali, e v² = ω²(A² − x²). Una forza costante in più sposta solo la posizione di equilibrio.Forza elastica →): mezzo periodo dopo la molla è compressa di $0{,}468$ m. La massima compressione è quindi $0{,}468$ m, lo stesso valore della massima deformazione, come riporta la soluzione ufficiale.

Il tempo di mezzo periodo è $\pi\sqrt{m/k} = \pi\sqrt{0{,}05} = 0{,}70$ s; la molla deve essere lunga abbastanza da permettere una compressione di quasi mezzo metro (il testo lo dà per scontato).

Risultati

Errori comuni

• Calcolare l'attrito del piano con il solo peso della piattaforma: la normale è $(m + M) g$.
• Conservare la quantità di moto del sistema nell'urto: l'ostacolo esercita un impulso esterno. Si conserva quella del blocchetto, su cui agisce solo la molla.
• Dimenticare l'energia elastica iniziale nel punto c: la molla era già compressa di $0{,}126$ m al momento dell'urto.
• Scrivere $X = v'_m\sqrt{m/k}$: vale solo se la molla è a riposo nell'istante in cui il blocchetto ha velocità $v'_m$.