Esercizio 23due blocchetti e una molla su un piano inclinato scabro

Testo (tema d'esame del 7 luglio 2022, problema 1). Due blocchetti di dimensioni trascurabili e massa rispettivamente $m_1 = 0{,}2$ kg e $m_2 = 0{,}3$ kg scendono lungo un piano scabro inclinato dell'angolo $\vartheta = 20°$ rispetto al piano orizzontale. Il blocchetto superiore $m_1$ presenta un coefficiente di attrito dinamico $\mu_1 = 0{,}2$ con la superficie del piano, mentre il blocchetto inferiore $m_2$ ha con il piano un coefficiente di attrito dinamico $\mu_2 = 0{,}1$. I due blocchetti sono collegati da un filo teso ed il blocchetto $m_1$ è collegato ad una molla di costante elastica $k = 4$ N/m, vincolata a un punto fisso sul piano nell'altro suo estremo (vedi figura). All'istante iniziale i due blocchetti hanno la velocità $v_0 = 0{,}8$ m/s e la molla è allungata della quantità $d_0 = 0{,}15$ m rispetto alla sua lunghezza di riposo. Determinare:

a) l'accelerazione $a_0$ e la tensione $T$ del filo nell'istante iniziale; b) l'allungamento $d_1$ della molla e la tensione del filo quando l'accelerazione dei blocchetti è nulla; c) la massima velocità raggiunta dai blocchetti nel loro moto di discesa.

Figura. Il piano scende verso destra. In alto, un punto fisso sul piano; da lì parte la molla, poi viene $m_1$, poi il filo, poi $m_2$ (più in basso). Asse $x$ lungo il piano, positivo in discesa. I blocchetti scendono, quindi la molla si allunga sempre di più.

Impostazione

Grandezze

Le forze lungo il piano

Per ciascun blocchetto, lungo $x$ (in discesa):

Le reazioni normali valgono $m_i g\cos\vartheta$ (in direzione perpendicolare al piano non c'è moto) e servono solo per gli attriti.

Perché il filo resta teso

Il blocchetto superiore ha più attrito ($\mu_1 > \mu_2$) e in più è trattenuto dalla molla: da solo scenderebbe con un'accelerazione minore di quella di $m_2$. Quindi $m_2$ "tira" $m_1$ e il filo è teso. Lo conferma il segno di $T$ che troveremo (positivo). Se fosse venuto negativo il filo si sarebbe allentato e i due blocchetti si sarebbero mossi separatamente.

a) Accelerazione e tensione all'inizio

Il filo è inestensibile: i due blocchetti hanno la stessa accelerazione $a_0$. Seconda legge per ciascuno (Leggi di NewtonLe tre leggi della dinamica: un corpo senza forze mantiene la sua velocità (nei sistemi inerziali), F = m a, e a ogni azione corrisponde una reazione uguale e opposta. Metodo per risolvere i problemi: diagramma di corpo libero, assi, proiezioni.Leggi di Newton →), con la molla allungata di $d_0$:

$$m_1 a_0 = m_1 g\sin\vartheta - \mu_1 m_1 g\cos\vartheta + T - k d_0$$

$$m_2 a_0 = m_2 g\sin\vartheta - \mu_2 m_2 g\cos\vartheta - T$$

Sommando, $T$ si elimina (forza internaIl filo tira i due blocchetti con forze uguali e opposte: nel sistema complessivo si annullano.Tensione dei fili e carrucole →):

$$(m_1 + m_2)\,a_0 = (m_1 + m_2) g\sin\vartheta - (\mu_1 m_1 + \mu_2 m_2)\, g\cos\vartheta - k d_0$$

Con i numeri: peso lungo il piano $1{,}678$ N, attriti $0{,}645$ N, molla $k d_0 = 0{,}6$ N.

$$a_0 = \frac{1{,}678 - 0{,}645 - 0{,}6}{0{,}5} = \frac{0{,}433}{0{,}5} = 0{,}865\ \text{m/s}^2$$

Positiva: all'inizio i blocchetti accelerano in discesa. Dalla seconda equazione:

$$T = m_2 g\sin\vartheta - \mu_2 m_2 g\cos\vartheta - m_2 a_0 = 1{,}007 - 0{,}277 - 0{,}3 \cdot 0{,}865 = 0{,}471\ \text{N}$$

b) Quando l'accelerazione si annulla

Man mano che i blocchetti scendono la molla si allunga e la sua forza di richiamo cresce, quindi l'accelerazione diminuisce. Si annulla quando la molla bilancia esattamente il resto: si pone $a = 0$ nell'equazione del sistema, con allungamento $d_1$:

$$0 = (m_1 + m_2) g\sin\vartheta - (\mu_1 m_1 + \mu_2 m_2) g\cos\vartheta - k d_1$$

$$d_1 = \frac{1{,}678 - 0{,}645}{4} = \frac{1{,}033}{4} = 0{,}258\ \text{m}$$

La tensione si ricava dall'equazione di $m_2$ con $a = 0$:

$$T_1 = m_2 g\sin\vartheta - \mu_2 m_2 g\cos\vartheta = 1{,}007 - 0{,}277 = 0{,}730\ \text{N}$$

La tensione è cresciuta: con $a = 0$ il filo deve reggere tutta la "spinta in eccesso" di $m_2$, mentre prima una parte di quella spinta serviva ad accelerare $m_2$.

c) Velocità massima

Dove è massima. La velocità cresce finché l'accelerazione è positiva e comincia a calare quando diventa negativa: il massimo è proprio nella posizione del punto b, con allungamento $d_1$. Bisogna quindi calcolare la velocità quando i blocchetti hanno percorso $d_1 - d_0 = 0{,}108$ m.

Con il teorema dell'energia cinetica. La variazione di energia cinetica del sistema è il lavoro di tutte le forze (Energia cinetica e teorema dell'energia cineticaL'energia cinetica di un punto è K = mv²/2. Il teorema dell'energia cinetica dice che il lavoro di tutte le forze agenti tra due posizioni è uguale alla variazione di K: W_tot = K_B − K_A. Dà la velocità in un punto senza passare dal tempo.Energia cinetica e teorema dell'energia cinetica →); la tensione è interna e il suo lavoro totale è nullo (il filo non si allunga):

$$\tfrac12 (m_1 + m_2)\,v_{\max}^2 - \tfrac12 (m_1 + m_2)\,v_0^2 = W_{\text{peso}} + W_{\text{attr}} + W_{\text{el}}$$

• peso e attriti sono costanti: $W_{\text{peso}} + W_{\text{attr}} = (1{,}678 - 0{,}645) \cdot 0{,}108 = 1{,}033 \cdot 0{,}108 = 0{,}1116$ J;
• la molla passa da $d_0$ a $d_1$ e la sua energia potenziale cresce: $W_{\text{el}} = -\tfrac12 k\,(d_1^2 - d_0^2) = -2 \cdot (0{,}0666 - 0{,}0225) = -0{,}0882$ J (Forza elasticaUna molla ideale esercita F = −k Δx, opposta alla deformazione (legge di Hooke). Una massa attaccata a una molla compie un moto armonico con ω = √(k/m); ampiezza e fase vengono dalle condizioni iniziali, e v² = ω²(A² − x²). Una forza costante in più sposta solo la posizione di equilibrio.Forza elastica →).

$$\tfrac12 \cdot 0{,}5\, v_{\max}^2 = \tfrac12 \cdot 0{,}5 \cdot 0{,}64 + 0{,}1116 - 0{,}0882 = 0{,}160 + 0{,}0234 = 0{,}1834\ \text{J}$$

$$v_{\max} = \sqrt{\frac{2 \cdot 0{,}1834}{0{,}5}} = \sqrt{0{,}734} = 0{,}856\ \text{m/s}$$

Controllo con il moto armonico. Finché i blocchetti scendono, le forze costanti (pesi e attriti) spostano solo la posizione di equilibrio della molla, che diventa $d_1$ (molla più forza costanteUna forza costante aggiunta a una molla non cambia la pulsazione, sposta soltanto la posizione di equilibrio.Forza elastica →). Il moto è quindi armonico attorno a $d_1$, con pulsazione $\omega = \sqrt{k/(m_1 + m_2)} = \sqrt{8} = 2{,}83$ rad/s. Lo spostamento iniziale dall'equilibrio è $d_0 - d_1 = -0{,}108$ m e la velocità iniziale $v_0$, quindi l'ampiezza è

$$A = \sqrt{(d_0 - d_1)^2 + \left(\frac{v_0}{\omega}\right)^2} = \sqrt{0{,}01166 + 0{,}0800} = 0{,}303\ \text{m}$$

e la velocità massima, nel centro di oscillazione, è $v_{\max} = \omega A = 2{,}83 \cdot 0{,}303 = 0{,}856$ m/s ✓.

Confronto con la soluzione ufficiale. Il foglio delle soluzioni scrive la stessa formula ma riporta $v_{\max} = 0{,}933$ m/s: sostituendo i dati nella formula si ottiene invece $0{,}856$ m/s, confermato dal controllo indipendente con il moto armonico. Il valore del foglio è un errore di calcolo.

Risultati

Errori comuni

• Mettere la forza elastica anche su $m_2$: la molla è attaccata solo a $m_1$; su $m_2$ arriva solo attraverso il filo.
• Usare lo stesso attrito per i due blocchetti: i coefficienti sono diversi, quindi l'attrito totale è $(\mu_1 m_1 + \mu_2 m_2) g\cos\vartheta$, non $\mu (m_1 + m_2) g\cos\vartheta$.
• Calcolare il lavoro della molla come $k d \cdot \Delta x$: la forza elastica non è costante, il lavoro è $-\frac12 k (d_1^2 - d_0^2)$.
• Cercare la velocità massima nel punto di massimo allungamento: lì la velocità è nulla; è massima dove l'accelerazione si annulla.