Esercizio 26molla tra un blocchetto e un blocco con attrito

Testo (tema d'esame del 23 marzo 2006, problema 1). Un blocco di massa $M = 2$ kg è posto in quiete sulla parte scabra di un piano orizzontale. Il coefficiente d'attrito statico tra il blocco e il piano è $\mu_S = 0{,}1$, mentre quello di attrito dinamico è $\mu_D = 0{,}08$. Una molla di costante elastica $k = 4$ N/m è appoggiata, non compressa, su un suo lato (vedi figura). Un blocchetto di massa $m = 0{,}4$ kg si muove contro di essa con velocità iniziale $v_0 = 3$ m/s, comprimendo la molla. Il moto del blocchetto avviene totalmente sulla parte del piano orizzontale priva di attrito. Calcolare:

a) la compressione della molla alla quale il blocco $M$ si mette in moto; b) la velocità $v_1$ del blocchetto di massa $m$ in quell'istante; c) le accelerazioni del blocchetto e del blocco nello stesso istante (per la massa $M$, si consideri la forza di attrito dinamico come forza d'attrito agente appena $M$ si mette in moto); d) dopo quanto tempo dall'inizio della compressione della molla la massa $M$ si mette in moto.

Figura. Da sinistra: il blocchetto $m$ che arriva verso destra con velocità $v_0$ sulla parte liscia; la molla orizzontale, appoggiata al lato sinistro del blocco; il blocco $M$, fermo sulla parte scabra. Asse $x$ verso destra.

Impostazione

L'idea. La molla, compressa dal blocchetto, spinge con la stessa forza $k\,\Delta x$ sia sul blocchetto (all'indietro) sia sul blocco (in avanti): una molla di massa trascurabile trasmette la stessa forza ai due estremi. Finché questa spinta è minore dell'attrito statico massimo, il blocco resta fermo e per il blocchetto la molla è come attaccata a una parete. Il blocco parte quando la spinta raggiunge il valore massimo dell'attrito statico.

a) Compressione alla quale il blocco parte

Finché il blocco è fermo, l'attrito statico bilancia la spinta della molla: $F_S = k\,\Delta x$. L'attrito statico può crescere fino a $\mu_S N = \mu_S M g$ (la normale sul blocco è il suo peso, il piano è orizzontale) (Forze di attrito radenteL'attrito radente è la componente della reazione vincolare parallela alla superficie. Statico: impedisce lo scivolamento e vale quanto serve, fino a μs N. Dinamico: agisce durante lo strisciamento, vale μd N ed è opposto alla velocità relativa.Forze di attrito radente →). Il blocco si mette in moto quando la spinta raggiunge quel limite:

$$k\,\Delta x = \mu_S M g \quad\Longrightarrow\quad \Delta x = \frac{\mu_S M g}{k} = \frac{0{,}1 \cdot 2 \cdot 9{,}81}{4} = \frac{1{,}962}{4} = 0{,}491\ \text{m}$$

b) Velocità del blocchetto in quell'istante

Fino a quel momento il blocco è fermo: la forza della molla sul blocco non compie lavoro (il suo punto di applicazione non si sposta), e il blocchetto si muove su un piano liscio. Per il blocchetto vale quindi la Conservazione dell'energia meccanicaL'energia meccanica E = K + U resta costante se compiono lavoro solo forze conservative. Se lavorano anche forze non conservative (attrito), la variazione di E è uguale al loro lavoro: W_nc = E_B − E_A. Il grafico di U(x) con la retta E mostra dove il moto è possibile e i punti di inversione.Conservazione dell'energia meccanica →, con l'energia elastica della molla:

$$\tfrac12 m v_0^2 = \tfrac12 m v_1^2 + \tfrac12 k\,(\Delta x)^2$$

$$v_1 = \sqrt{v_0^2 - \frac{k\,(\Delta x)^2}{m}} = \sqrt{9 - \frac{4 \cdot 0{,}241}{0{,}4}} = \sqrt{9 - 0{,}602} = 2{,}57\ \text{m/s}$$

Il blocchetto ha perso circa il $7\%$ dell'energia cinetica ($0{,}602/9$): la molla è morbida e il blocco parte presto.

c) Accelerazioni nello stesso istante

Seconda legge per ciascuno, con la molla compressa di $\Delta x$ (Forza elasticaUna molla ideale esercita F = −k Δx, opposta alla deformazione (legge di Hooke). Una massa attaccata a una molla compie un moto armonico con ω = √(k/m); ampiezza e fase vengono dalle condizioni iniziali, e v² = ω²(A² − x²). Una forza costante in più sposta solo la posizione di equilibrio.Forza elastica →):

• blocchetto: l'unica forza orizzontale è la molla, che lo spinge all'indietro: $$a_m = -\frac{k\,\Delta x}{m} = -\frac{1{,}962}{0{,}4} = -4{,}91\ \text{m/s}^2$$
• blocco: la molla lo spinge in avanti con $k\,\Delta x = 1{,}962$ N; appena si muove l'attrito diventa dinamico, $\mu_D M g = 0{,}08 \cdot 2 \cdot 9{,}81 = 1{,}570$ N, all'indietro: $$a_M = \frac{k\,\Delta x - \mu_D M g}{M} = \frac{1{,}962 - 1{,}570}{2} = 0{,}196\ \text{m/s}^2$$

Perché il blocco parte con accelerazione positiva. Il distacco avviene quando la spinta eguaglia l'attrito statico massimo; appena il blocco si muove l'attrito scende al valore dinamico, che è più piccolo. La differenza, $(\mu_S - \mu_D) M g$, è la forza netta iniziale: $a_M = (\mu_S - \mu_D) g = 0{,}02 \cdot 9{,}81 = 0{,}196$ m/s² ✓.

d) Tempo fino alla partenza del blocco

Finché il blocco è fermo, il blocchetto è attaccato a una molla con l'altro estremo fermo: si muove di moto armonicoCon la sola forza elastica −kx il moto è x(t) = A sin(ωt + φ), con pulsazione ω = √(k/m) che non dipende dalle condizioni iniziali.Moto armonico semplice → con pulsazione

$$\omega = \sqrt{\frac{k}{m}} = \sqrt{\frac{4}{0{,}4}} = \sqrt{10} = 3{,}16\ \text{rad/s}$$

Si misura $x$ come compressione della molla, con $t = 0$ al primo contatto. Le condizioni iniziali sono $x(0) = 0$ e $\dot x(0) = v_0$, quindi la legge oraria è un seno che parte da zero:

$$x(t) = X_0 \sin(\omega t), \qquad \dot x(t) = X_0\,\omega\cos(\omega t)$$

e da $\dot x(0) = X_0\,\omega = v_0$ si ricava l'ampiezza

$$X_0 = \frac{v_0}{\omega} = \frac{3}{3{,}16} = 0{,}949\ \text{m}$$

($X_0$ sarebbe la compressione massima se il blocco non partisse mai). Il blocco parte quando $x = \Delta x$:

$$X_0 \sin(\omega t_1) = \Delta x \quad\Longrightarrow\quad t_1 = \frac{1}{\omega}\arcsin\frac{\Delta x}{X_0} = \frac{1}{3{,}16}\arcsin\frac{0{,}491}{0{,}949} = \frac{0{,}544}{3{,}16} = 0{,}172\ \text{s}$$

(arcoseno in radianti: $\arcsin 0{,}517 = 0{,}544$ rad.) Siccome $\Delta x < X_0$, la compressione $\Delta x$ viene raggiunta davvero prima che il blocchetto si fermi: il conto ha senso.

Controllo con la velocità. $\dot x(t_1) = X_0\,\omega\cos(\omega t_1) = 3 \cdot \cos(0{,}544) = 3 \cdot 0{,}856 = 2{,}57$ m/s, lo stesso $v_1$ del punto b ✓.

Risultati

Errori comuni

• Usare l'attrito dinamico per la condizione di partenza: finché il blocco è fermo l'attrito è statico, e il distacco avviene al suo valore massimo $\mu_S M g$.
• Mettere l'energia del blocco nel bilancio del punto b: il blocco è ancora fermo, non ha energia cinetica e la forza della molla su di lui non lavora.
• Calcolatrice in gradi per l'arcoseno: dentro $\omega t$ l'angolo è in radianti.
• Scrivere $x(t) = X_0\cos(\omega t)$: il coseno partirebbe dalla compressione massima, mentre qui all'istante iniziale la molla è a riposo.