Lavoro e potenza

Inizio del capitolo su lavoro ed energia. Serve il prodotto scalareIl prodotto scalare a·b = ab cosθ è un numero, massimo per vettori paralleli e nullo per vettori perpendicolari; serve per proiezioni e lavoro. Il prodotto vettoriale a×b è un vettore perpendicolare ad entrambi, di modulo ab sinθ, verso con la mano destra; serve per momenti e rotazioni.Prodotto scalare e prodotto vettoriale → e la dinamica del punto (Leggi di NewtonLe tre leggi della dinamica: un corpo senza forze mantiene la sua velocità (nei sistemi inerziali), F = m a, e a ogni azione corrisponde una reazione uguale e opposta. Metodo per risolvere i problemi: diagramma di corpo libero, assi, proiezioni.Leggi di Newton →). Seguito: Energia cinetica e teorema dell'energia cineticaL'energia cinetica di un punto è K = mv²/2. Il teorema dell'energia cinetica dice che il lavoro di tutte le forze agenti tra due posizioni è uguale alla variazione di K: W_tot = K_B − K_A. Dà la velocità in un punto senza passare dal tempo.Energia cinetica e teorema dell'energia cinetica →. Esercizi: Esercizio 35 · forza tangente su una guida circolare, Esercizio 36 · blocchetto che frena e cade su un piano inclinato.

Perché serve il lavoro

Con la seconda legge di Newton $\vec F = m\vec a$ si trova l'accelerazione istante per istante, e poi bisogna integrare due volte per avere la legge oraria. Molte domande d'esame però chiedono solo quanto vale la velocità in un certo punto ("la velocità del blocchetto quando arriva in fondo alla guida"). Per queste domande c'è una strada più corta, che non passa dal tempo: si guarda quanto ogni forza "spinge" o "frena" il corpo lungo il percorso. Questa quantità è il lavoro.

Forza costante e spostamento rettilineo

Un corpo si sposta in linea retta di $\Delta\vec r$ mentre su di lui agisce una forza costante $\vec F$ che forma l'angolo $\alpha$ con lo spostamento. Il lavoro della forza è

$$W = \vec F \cdot \Delta\vec r = F\,\Delta r\,\cos\alpha$$

Conta solo la componente della forza lungo lo spostamento, $F\cos\alpha$: la parte perpendicolare non aiuta né ostacola l'avanzamento.

Unità di misura: newton per metro, cioè joule: $1\ \text{J} = 1\ \text{N}\cdot\text{m} = 1\ \text{kg}\,\text{m}^2/\text{s}^2$. Il lavoro è uno scalare (un numero con segno, senza direzione).

Il segno dice se la forza aiuta o frena:

Tre esempi che tornano in tutti gli esercizi. Un blocchetto di massa $m$ scende di un tratto $d$ lungo un piano inclinato di $\vartheta$, con attrito dinamico $\mu_D$.

1. Peso $m\vec g$: forma con lo spostamento l'angolo $90° - \vartheta$, quindi $W_{\text{peso}} = mg\,d\cos(90° - \vartheta) = mg\,d\sin\vartheta = mg\,h$, dove $h = d\sin\vartheta$ è il dislivello. Positivo: il peso aiuta la discesa.
2. Reazione normale $\vec N$: è perpendicolare al piano, quindi allo spostamento: $W_N = 0$.
3. Attrito dinamico: ha modulo $\mu_D N = \mu_D mg\cos\vartheta$ (Forze di attrito radenteL'attrito radente è la componente della reazione vincolare parallela alla superficie. Statico: impedisce lo scivolamento e vale quanto serve, fino a μs N. Dinamico: agisce durante lo strisciamento, vale μd N ed è opposto alla velocità relativa.Forze di attrito radente →) ed è sempre opposto al moto ($\alpha = 180°$): $W_{\text{attr}} = -\mu_D mg\cos\vartheta\,d$. Negativo: frena.

Il caso generale: integrale di linea

Se la forza cambia lungo il percorso, o il percorso è curvo, la formula $F\,\Delta r\cos\alpha$ non si può usare così com'è. Si divide il percorso da $A$ a $B$ in tanti tratti piccolissimi $d\vec r$, così corti che lungo ciascuno la forza è praticamente costante e il tratto è praticamente rettilineo. Il lavoro su un tratto è il lavoro elementare

$$dW = \vec F \cdot d\vec r$$

e il lavoro totale è la somma di tutti i contributi, cioè l'integrale lungo il percorso (integrale di linea):

$$\boxed{W_{A \to B} = \int_A^B \vec F \cdot d\vec r}$$

In componenti cartesiane $\vec F \cdot d\vec r = F_x\,dx + F_y\,dy + F_z\,dz$, quindi

$$W_{A \to B} = \int_A^B (F_x\,dx + F_y\,dy + F_z\,dz)$$

In generale il risultato dipende dal percorso seguito tra $A$ e $B$, non solo dagli estremi. Le forze per cui invece dipende solo dagli estremi sono speciali e si chiamano conservative: Forze conservative ed energia potenzialeUna forza è conservativa se il suo lavoro dipende solo dalla posizione iniziale e finale (non dal percorso). Allora esiste un'energia potenziale U con W = −ΔU e F = −dU/dx: peso mgy, molla k(Δl)²/2. L'attrito non è conservativo. I minimi di U sono equilibri stabili.Forze conservative ed energia potenziale →.

Moto rettilineo: il lavoro è un'area

Se il moto avviene lungo l'asse $x$ e la forza ha solo la componente $F_x(x)$:

$$W = \int_{x_A}^{x_B} F_x(x)\,dx$$

cioè l'area con segno sotto il grafico di $F_x(x)$ tra $x_A$ e $x_B$.

Esempio 1: il lavoro della forza elastica

Una molla di costante $k$ con un estremo fisso esercita sul corpo attaccato all'altro estremo la forza elasticaUna molla ideale esercita F = −k Δx, opposta alla deformazione (legge di Hooke). Una massa attaccata a una molla compie un moto armonico con ω = √(k/m); ampiezza e fase vengono dalle condizioni iniziali, e v² = ω²(A² − x²). Una forza costante in più sposta solo la posizione di equilibrio.Forza elastica → $F_x = -kx$, dove $x$ è l'allungamento ($x > 0$ molla allungata, $x < 0$ compressa). Spostando il corpo da $x_A$ a $x_B$:

$$W_{\text{el}} = \int_{x_A}^{x_B} (-kx)\,dx = \Big[-\tfrac12 k x^2\Big]_{x_A}^{x_B} = \tfrac12 k x_A^2 - \tfrac12 k x_B^2$$

Numeri: $k = 200\ \text{N/m}$, si allunga la molla da $x_A = 0$ a $x_B = 0{,}1\ \text{m}$. La molla compie $W_{\text{el}} = 0 - \frac12 \cdot 200 \cdot 0{,}01 = -1\ \text{J}$: negativo, perché la molla tira indietro mentre il corpo va avanti. Quando la molla torna da $0{,}1\ \text{m}$ a $0$ compie $+1\ \text{J}$.

Il grafico di $F_x = -kx$ è una retta per l'origine; l'area tra $0$ e $0{,}1$ è un triangolo di base $0{,}1\ \text{m}$ e "altezza" $-20\ \text{N}$, di area $\frac12 \cdot 0{,}1 \cdot (-20) = -1\ \text{J}$.

Attenzione: la forza della molla non è costante, quindi $W \ne F \cdot \Delta x$. Con $F = -20\ \text{N}$ (il valore finale) si otterrebbe $-2\ \text{J}$, il doppio del vero.

Esempio 2: forza tangente lungo un arco di circonferenza

Un blocchetto percorre un arco di circonferenza di raggio $R$ spinto da una forza di modulo $F$ costante e sempre tangente alla traiettoria, nel verso del moto. In ogni tratto $d\vec r$ (lungo $ds = R\,d\vartheta$) la forza è parallela allo spostamento, quindi $dW = F\,ds = F R\,d\vartheta$, e su un arco di ampiezza $\Delta\vartheta$ (in radianti):

$$W = \int F R\,d\vartheta = F R\,\Delta\vartheta = F \cdot (\text{lunghezza dell'arco})$$

La forza cambia direzione a ogni istante (resta tangente), quindi non è un vettore costante: eppure il conto è semplicissimo, perché l'angolo tra forza e spostamento è sempre zero. È il caso dell'Esercizio 35 · forza tangente su una guida circolare.

Esempio 3: il peso lungo un percorso qualsiasi

Con asse $y$ verticale verso l'alto il peso è $\vec F = (0, -mg, 0)$, quindi $\vec F \cdot d\vec r = -mg\,dy$ e

$$W_{\text{peso}} = \int_{y_A}^{y_B} (-mg)\,dy = -mg\,(y_B - y_A) = mg\,(y_A - y_B)$$

Qualunque sia il percorso (dritto, curvo, a zig-zag) conta solo il dislivello: il peso compie lavoro $+mgh$ se il corpo scende di $h$, $-mgh$ se sale di $h$. Gli spostamenti orizzontali non contano perché sono perpendicolari al peso.

Proprietà utili

• Più forze: se sul corpo agiscono $\vec F_1, \vec F_2, \dots$, il lavoro della risultante è la somma dei lavori delle singole forze: $W_{\text{tot}} = W_1 + W_2 + \dots$ (il prodotto scalare e l'integrale sono lineari). Negli esercizi si calcola il lavoro di ogni forza separatamente e poi si somma.
• Forze sempre perpendicolari alla velocità non compiono lavoro. Lo spostamento elementare $d\vec r = \vec v\,dt$ ha la direzione della velocità; se $\vec F \perp \vec v$ in ogni istante, $dW = 0$. Esempi: la reazione normale di una guida o di un piano fermi, la tensione del filo di un pendolo con il punto di sospensione fisso, una forza centripeta nel moto circolare.
• Il lavoro dipende dal sistema di riferimento, perché lo spostamento dipende dal riferimento: la normale di una piattaforma che si muove può compiere lavoro (vedi Moti relativi - velocità e accelerazione di trascinamentoLo stesso moto visto da due riferimenti, uno fisso e uno mobile: la velocità assoluta è velocità relativa più velocità di trascinamento; l'accelerazione assoluta è relativa più trascinamento più Coriolis (2ω×v'). Se il riferimento mobile trasla a velocità costante si hanno le trasformazioni di Galileo e le accelerazioni coincidono.Moti relativi - velocità e accelerazione di trascinamento →).

Potenza

Due motori possono compiere lo stesso lavoro, uno in un secondo e l'altro in un'ora. La rapidità con cui si compie lavoro è la potenza:

$$\bar P = \frac{W}{\Delta t} \quad (\text{potenza media}) \qquad\qquad P = \frac{dW}{dt} \quad (\text{potenza istantanea})$$

Unità: watt, $1\ \text{W} = 1\ \text{J/s}$.

Siccome $dW = \vec F \cdot d\vec r$ e $d\vec r = \vec v\,dt$:

$$\boxed{P = \frac{\vec F \cdot d\vec r}{dt} = \vec F \cdot \vec v}$$

La potenza istantanea di una forza è il prodotto scalare tra la forza e la velocità del punto su cui agisce.

Esempio. Un'auto viaggia a velocità costante $v = 30\ \text{m/s}$ (108 km/h) e le forze resistenti (aria e rotolamento) valgono in tutto $500\ \text{N}$. Per mantenere la velocità il motore deve spingere con $500\ \text{N}$ nel verso del moto, quindi sviluppa $P = 500 \cdot 30 = 15\,000\ \text{W} = 15\ \text{kW}$.

Esempio. Una persona di $70\ \text{kg}$ sale una rampa di scale alta $3\ \text{m}$ in $2\ \text{s}$. Contro il peso compie lavoro $mgh = 70 \cdot 9{,}81 \cdot 3 \approx 2060\ \text{J}$, con potenza media $2060 / 2 \approx 1030\ \text{W}$.

Il kilowattora (kWh), che compare sulle bollette, è un'unità di energia, non di potenza: è il lavoro compiuto in un'ora con potenza $1\ \text{kW}$, cioè $1\ \text{kWh} = 1000\ \text{W} \cdot 3600\ \text{s} = 3{,}6 \times 10^6\ \text{J}$.

Riassunto

Errori comuni

• Usare $F\,d$ con una forza che varia (molla, forza dipendente dalla posizione): bisogna integrare.
• Dimenticare il segno: il lavoro dell'attrito dinamico è sempre negativo, quello del peso è negativo in salita.
• Usare i gradi in $F R\,\Delta\vartheta$: la lunghezza dell'arco è $R\,\Delta\vartheta$ solo con $\Delta\vartheta$ in radianti.
• Confondere lavoro e forza: una forza grande può compiere lavoro nullo (la normale su un piano fisso), e il lavoro non ha direzione.
• Confondere kW e kWh: il primo è una potenza, il secondo un'energia.