Sistemi di riferimento non inerziali e forze apparenti

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Prima: Moti relativi - velocità e accelerazione di trascinamento, Leggi di Newton. Esercizi: Esercizio 41 · blocchetto su una piattaforma frenata da una molla, Esercizio 40 · blocchetto su una piattaforma che scende lungo un piano inclinato.

Riferimenti inerziali e non inerziali

Un riferimento è inerziale se in esso vale il primo principio: un corpo su cui non agiscono forze resta fermo o si muove di moto rettilineo uniforme. Solo nei riferimenti inerziali vale $\vec F = m\vec a$ con $\vec F$ = somma delle forze vere (interazioni con altri corpi: peso, normale, attrito, molle, tensioni).

Per la nota precedente, ogni riferimento che trasla a velocità costante rispetto a un riferimento inerziale è inerziale. Un riferimento che accelera o ruota rispetto a uno inerziale invece non è inerziale: chi sta su un autobus che frena vede un oggetto sul sedile partire in avanti senza che nessuno lo spinga.

Il suolo terrestre è inerziale con ottima approssimazione per quasi tutti gli esperimenti di questo corso (gli effetti della rotazione terrestre sono piccoli: li si stima in fondo).

La legge di Newton in un riferimento non inerziale

Sia $S$ inerziale e $S'$ un riferimento qualsiasi. In $S$ vale $m\vec a = \vec F$ . Dal teorema di Coriolis $\vec a = \vec a\,' + \vec a_t + \vec a_c$ , quindi

$m\vec a\,' = \vec F - m\vec a_t - m\vec a_c$

L'osservatore in $S'$ può continuare a usare "massa per accelerazione (relativa) = somma delle forze", a patto di aggiungere alle forze vere due forze apparenti (o inerziali, o fittizie):

$\boxed{m\vec a\,' = \vec F + \vec F_t + \vec F_c, \qquad \vec F_t = -m\vec a_t, \qquad \vec F_c = -2m\,\vec\omega \times \vec v\,'}$

$\vec F_t$ è la forza di trascinamento: opposta all'accelerazione di trascinamento. Se $S'$ trasla soltanto, $\vec F_t = -m\vec a_{O'}$ . Se $S'$ ruota con $\omega$ costante attorno a un asse fisso, contiene il termine $-m\,\vec\omega \times (\vec\omega \times \vec r\,')$ , che punta lontano dall'asse e ha modulo $m\omega^2 r_\perp$ : è la forza centrifuga.
$\vec F_c$ è la forza di Coriolis: agisce solo sui corpi che si muovono rispetto al riferimento rotante, ed è perpendicolare alla loro velocità relativa (quindi non compie lavoro in $S'$ ).

Caratteristiche delle forze apparenti:

non sono interazioni: non c'è un corpo che le esercita, quindi non hanno reazione (il terzo principio non si applica);
sono proporzionali alla massa del corpo, come il peso;
esistono solo per l'osservatore non inerziale. Chi descrive il moto da $S$ inerziale non deve metterle: deve usare le accelerazioni assolute.

Quale riferimento usare? Sono due modi equivalenti di risolvere lo stesso problema. In $S$ si scrive $\vec F = m\vec a$ con le sole forze vere e accelerazioni assolute. In $S'$ si aggiungono le forze apparenti e si usano accelerazioni relative. Il secondo modo conviene quando nel riferimento mobile il corpo è fermo (allora $\vec a\,' = 0$ e il problema diventa di equilibrio: forze vere + forze apparenti = 0), oppure quando interessa proprio il moto relativo.

Esempio 1: l'ascensore e il peso apparente

Una persona di massa $m = 70\ \text{kg}$ sta su una bilancia in un ascensore che accelera verso l'alto con $a = 2\ \text{m/s}^2$ . Cosa segna la bilancia?

Dal riferimento dell'ascensore (non inerziale, trasla con accelerazione $a$ verso l'alto) la persona è ferma. Forze: peso $mg$ in basso, normale $N$ della bilancia in alto, forza di trascinamento $-m\vec a$ , cioè $ma$ verso il basso. Equilibrio:

$N - mg - ma = 0 \quad \Longrightarrow \quad N = m\,(g + a) = 70 \cdot 11{,}81 \approx 827\ \text{N}$

La bilancia misura $N$ (per il terzo principio la persona la preme con $N$ ), quindi segna come se la persona avesse massa $N/g \approx 84\ \text{kg}$ : è il peso apparente (Reazioni vincolari, forza peso e peso apparente). Con l'ascensore che accelera verso il basso $N = m(g - a)$ ; in caduta libera ( $a = g$ ) $N = 0$ : assenza di peso apparente, come sulla Stazione Spaziale.

Controllo dal suolo (inerziale): la persona accelera verso l'alto con $a$ , quindi $N - mg = ma$ : stessa equazione, senza forze apparenti.

Esempio 2: il pendolo su un vagone che accelera

Un pendolo è appeso al soffitto di un vagone che accelera orizzontalmente con $a = 3\ \text{m/s}^2$ . All'equilibrio relativo, che angolo $\vartheta$ forma il filo con la verticale, e quanto vale la tensione?

Nel riferimento del vagone la pallina è ferma; agiscono il peso $mg$ (in basso), la tensione $T$ (lungo il filo) e la forza di trascinamento $ma$ orizzontale, all'indietro (opposta all'accelerazione del vagone). Equilibrio:

$\text{orizzontale: } T\sin\vartheta = ma, \qquad \text{verticale: } T\cos\vartheta = mg$

Dividendo e sommando i quadrati:

$\tan\vartheta = \frac{a}{g} = \frac{3}{9{,}81} \ \Rightarrow\ \vartheta \approx 17{,}0°, \qquad T = m\sqrt{g^2 + a^2} \approx m \cdot 10{,}26\ \text{m/s}^2$

Il filo si inclina all'indietro: per il passeggero è come se ci fosse una "gravità efficace" $\vec g_{\text{eff}} = \vec g - \vec a$ , inclinata e più intensa. Un pendolo che oscilla nel vagone lo fa attorno a questa nuova verticale, con periodo $2\pi\sqrt{\ell / g_{\text{eff}}}$ (Pendolo semplice). Misurando $\vartheta$ si può ricavare l'accelerazione del vagone: è il principio di un accelerometro.

Esempio 3: il blocchetto sulla piattaforma

Un blocchetto è appoggiato su una piattaforma che accelera orizzontalmente con $a_M$ . Finché non scivola è fermo rispetto alla piattaforma: nel riferimento della piattaforma su di esso agiscono la forza di trascinamento $-m a_M$ e l'attrito statico, che devono bilanciarsi, quindi $|F_{\text{attr}}| = m|a_M|$ . Il blocchetto resta fermo finché questo valore non supera l'attrito statico massimo $\mu_S m g$ , cioè finché $|a_M| \le \mu_S g$ (Forze di attrito radente). Superata la soglia, scivola: in $S'$ la sua accelerazione relativa si trova con forza di trascinamento e attrito dinamico. È esattamente l'Esercizio 41 · blocchetto su una piattaforma frenata da una molla.

Esempio 4: la giostra e la forza centrifuga

Una persona sta ferma su una piattaforma che ruota con $\omega = 1{,}5\ \text{rad/s}$ , a $r = 2\ \text{m}$ dall'asse. Qual è il minimo coefficiente di attrito statico tra scarpe e piattaforma?

Dalla giostra (rotante): la persona è ferma, quindi $\vec v\,' = 0$ e Coriolis non c'è. La forza centrifuga $m\omega^2 r$ la spinge verso l'esterno; la bilancia l'attrito statico verso il centro:

$F_{\text{attr}} = m\omega^2 r \le \mu_S m g \quad \Longrightarrow \quad \mu_S \ge \frac{\omega^2 r}{g} = \frac{2{,}25 \cdot 2}{9{,}81} \approx 0{,}46$

Dal suolo (inerziale): la persona fa un moto circolare uniforme, e l'attrito è la forza centripeta che serve, $m\omega^2 r$ (Forza centripeta nel moto curvilineo). Stessa equazione, letta in due modi: nel riferimento inerziale non c'è nessuna forza centrifuga, c'è una forza vera (l'attrito) che curva la traiettoria.

La Terra come riferimento non inerziale

La Terra ruota con $\omega_T = \frac{2\pi}{86\,164\ \text{s}} \approx 7{,}29 \times 10^{-5}\ \text{rad/s}$ (un giro in un giorno siderale).

Centrifuga all'equatore: $\omega_T^2 R_T \approx (7{,}29 \times 10^{-5})^2 \cdot 6{,}37 \times 10^6 \approx 0{,}034\ \text{m/s}^2$ , circa lo $0{,}3\%$ di $g$ . Per questo il $g$ misurato all'equatore è un po' minore che ai poli.
Coriolis: per un corpo a $10\ \text{m/s}$ l'accelerazione di Coriolis è al massimo $2\omega_T v \approx 1{,}5 \times 10^{-3}\ \text{m/s}^2$ . Trascurabile negli esercizi, ma decisiva su grandi distanze e tempi lunghi: fa ruotare i cicloni (in senso antiorario nell'emisfero nord) e il piano di oscillazione del pendolo di Foucault.

Riassunto


legge in $S'$	$m\vec a\,' = \vec F_{\text{vere}} - m\vec a_t - 2m\,\vec\omega \times \vec v\,'$
$S'$ in traslazione accelerata	forza apparente $-m\vec a_{O'}$
$S'$ rotante, $\omega$ costante	centrifuga $m\omega^2 r_\perp$ (via dall'asse) + Coriolis $-2m\,\vec\omega \times \vec v\,'$
ascensore con $a$ verso l'alto	peso apparente $m(g + a)$
pendolo su vagone	$\tan\vartheta = a/g$ , $g_{\text{eff}} = \sqrt{g^2 + a^2}$

Errori comuni

Mescolare i due punti di vista: o si lavora nel riferimento inerziale (niente forze apparenti, accelerazioni assolute) o in quello mobile (forze apparenti, accelerazioni relative). Mettere la forza centrifuga e insieme l'accelerazione centripeta significa contarla due volte.
Sbagliare il verso della forza di trascinamento: è opposta all'accelerazione del riferimento (l'autobus accelera in avanti, i passeggeri vengono spinti indietro).
Cercare la reazione di una forza apparente: non esiste.
Dimenticare Coriolis per un corpo che si muove su un riferimento rotante.