Corpo rigido e suo centro di massa

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Inizio del capitolo sul corpo rigido. Si appoggia sui risultati generali dei sistemi di punti: Centro di massa, Momento angolare e momento di una forza, Teoremi di König ed energia di un sistema. Seguito: Momento d'inerzia e teorema di Huygens-Steiner.

Che cos'è un corpo rigido

Un corpo rigido è un sistema di punti materiali in cui la distanza tra due punti qualsiasi resta costante nel tempo, qualunque forza agisca. È un modello: un'asta d'acciaio, un disco, una porta si deformano pochissimo sotto le forze in gioco negli esercizi, e quella deformazione si trascura.

Nella realtà la materia è fatta di atomi, ma a livello macroscopico conviene pensarla continua: invece di sommare su $N$ punti di massa $m_i$ si divide il corpo in pezzetti infinitesimi di massa $dm$ e si integra. Ogni formula dei sistemi di punti si traduce così:

$\sum_i m_i \,(\dots) \quad \longrightarrow \quad \int (\dots)\,dm$

Densità

Per scrivere $dm$ in funzione delle coordinate si usa la densità, che dice quanta massa c'è per unità di volume (o di superficie, o di lunghezza):

corpo	densità	unità	massa di un pezzetto
tridimensionale (sfera, cilindro)	di volume $\rho = \dfrac{dm}{dV}$	kg/m³	$dm = \rho\,dV$
lastra sottile (disco, lamina)	superficiale $\sigma = \dfrac{dm}{dS}$	kg/m²	$dm = \sigma\,dS$
filo o asta sottile	lineare $\lambda = \dfrac{dm}{dx}$	kg/m	$dm = \lambda\,dx$

Un corpo si dice omogeneo se la densità è la stessa in ogni punto. Allora è semplicemente massa diviso misura: per un'asta omogenea di massa $M$ e lunghezza $\ell$ , $\lambda = M/\ell$ ; per un disco omogeneo di massa $M$ e raggio $R$ , $\sigma = M/(\pi R^2)$ . Negli esercizi d'esame "asta omogenea" e "disco omogeneo" vogliono dire esattamente questo.

Centro di massa di un corpo continuo

Per un sistema di punti il centro di massa è $\vec r_{CM} = \frac{\sum_i m_i \vec r_i}{\sum_i m_i}$ (Centro di massa). Per un corpo continuo di massa $M = \int dm$ :

$\vec r_{CM} = \frac{1}{M}\int \vec r\,dm \qquad\Longleftrightarrow\qquad x_{CM} = \frac1M \int x\,dm, \quad y_{CM} = \frac1M\int y\,dm, \quad z_{CM} = \frac1M\int z\,dm$

È la media delle posizioni pesata con la massa: i pezzi più pesanti contano di più.

Esempio 1: asta omogenea

Asta di lunghezza $\ell$ e massa $M$ lungo l'asse $x$ , da $x = 0$ a $x = \ell$ . Il pezzetto tra $x$ e $x + dx$ ha massa $dm = \lambda\,dx = \frac{M}{\ell}dx$ :

$x_{CM} = \frac1M \int_0^\ell x\,\frac{M}{\ell}\,dx = \frac{1}{\ell}\Big[\frac{x^2}{2}\Big]_0^\ell = \frac{\ell}{2}$

Il centro di massa è nel punto medio, come ci si aspetta.

Esempio 2: asta non omogenea

Se la densità cresce linearmente lungo l'asta, $\lambda(x) = k x$ (con $k$ costante, unità kg/m²), la massa è $M = \int_0^\ell kx\,dx = \frac{k\ell^2}{2}$ e

$x_{CM} = \frac1M\int_0^\ell x \cdot kx\,dx = \frac{2}{k\ell^2}\cdot\frac{k\ell^3}{3} = \frac23\,\ell$

Il centro di massa si sposta verso l'estremo più pesante: a due terzi della lunghezza invece che a metà.

Esempio 3: semidisco omogeneo

Semidisco di raggio $R$ e massa $M$ , con il diametro sull'asse $x$ e il centro nell'origine, nella metà $y \ge 0$ . Per simmetria $x_{CM} = 0$ (vedi sotto). Per $y_{CM}$ conviene dividerlo in striscioline orizzontali di spessore $dy$ alla quota $y$ : la strisciolina è lunga $2\sqrt{R^2 - y^2}$ , quindi

$dm = \sigma\,dS = \frac{M}{\pi R^2/2}\cdot 2\sqrt{R^2 - y^2}\,dy$

$y_{CM} = \frac1M\int_0^R y\,dm = \frac{4}{\pi R^2}\int_0^R y\sqrt{R^2 - y^2}\,dy = \frac{4}{\pi R^2}\Big[-\tfrac13 (R^2 - y^2)^{3/2}\Big]_0^R = \frac{4}{\pi R^2}\cdot\frac{R^3}{3} = \frac{4R}{3\pi}$

Numericamente $\frac{4}{3\pi} \approx 0{,}424$ : il centro di massa sta a circa il $42\%$ del raggio sopra il diametro.

Perché striscioline orizzontali: tutti i punti di una strisciolina hanno la stessa $y$ , quindi nel prodotto $y\,dm$ la $y$ è la stessa per tutto il pezzetto. Scegliere i pezzetti in modo che la coordinata da mediare sia costante su ciascuno è il trucco di tutti questi calcoli.

Uso delle simmetrie

Se un corpo omogeneo ha un centro di simmetria (disco, anello, sfera, rettangolo), il centro di massa è lì. Se ha un asse o un piano di simmetria, il centro di massa sta su quell'asse o piano.

Perché. Per ogni pezzetto $dm$ a destra dell'asse ce n'è uno uguale nella posizione speculare a sinistra: nella somma $\int x\,dm$ i contributi $+x\,dm$ e $-x\,dm$ si cancellano a coppie, quindi la coordinata perpendicolare all'asse del CM è zero. Nel semidisco dell'esempio 3 è così che si è trovato $x_{CM} = 0$ senza calcoli.

Corpi composti

Se un corpo è fatto di più pezzi di cui si conoscono masse e centri di massa, il centro di massa totale si calcola trattando ogni pezzo come un punto posto nel suo centro di massa, con tutta la sua massa:

$\vec r_{CM} = \frac{M_1 \vec r_{CM,1} + M_2 \vec r_{CM,2} + \dots}{M_1 + M_2 + \dots}$

È lecito perché l'integrale $\int \vec r\,dm$ su tutto il corpo è la somma degli integrali sui singoli pezzi, e ciascuno vale $M_k \vec r_{CM,k}$ .

Esempio (tema d'esame dell'11 giugno 2024). Un disco di massa $M = 2$ kg con centro in $O$ e, incollato sopra, un disco più piccolo di massa $m = 0{,}8$ kg con centro $C$ a distanza $R_2 = 0{,}2$ m da $O$ . Con l'origine in $O$ e l'asse $x$ verso $C$ :

$x_{CM} = \frac{M \cdot 0 + m \cdot R_2}{M + m} = \frac{0{,}8 \cdot 0{,}2}{2{,}8} = 0{,}057\ \text{m}$

Il CM sta sul segmento $OC$ , molto più vicino a $O$ perché lì c'è più massa. Esercizio completo: Esercizio 60 · due dischi incollati appesi con un blocchetto.

Corpi con un buco. Un buco si tratta come un pezzo di massa negativa: disco intero meno il disco tolto. Per esempio un disco omogeneo di raggio $R$ da cui si toglie un disco di raggio $R/2$ tangente internamente al bordo: il pezzo tolto ha un quarto dell'area, quindi massa $M/4$ se $M$ è la massa del disco intero, centro a distanza $R/2$ dal centro. Il resto ha massa $\frac34 M$ e

$x_{CM} = \frac{M\cdot 0 - \frac{M}{4}\cdot\frac{R}{2}}{M - \frac{M}{4}} = -\frac{R/8}{3/4} = -\frac{R}{6}$

cioè il CM si sposta di $R/6$ dalla parte opposta al buco.

I moti di un corpo rigido

Le equazioni che governano un sistema di punti valgono anche per il corpo rigido, e per un corpo rigido bastano: sono le due equazioni cardinali.

Prima equazione cardinale (moto del centro di massa): $\vec F^{(e)} = M\,\vec a_{CM}$ dove $\vec F^{(e)}$ è la somma delle sole forze esterne. Le forze interne si cancellano a coppie per il terzo principio (Sistemi di punti - forze interne ed esterne).
Seconda equazione cardinale (rotazioni): $\vec M^{(e)} = \frac{d\vec L}{dt}$ con momenti e momento angolare calcolati rispetto a un polo fisso oppure rispetto al centro di massa (Momento angolare e momento di una forza).

Perché bastano. Un punto libero nello spazio ha 3 coordinate (3 gradi di libertà). Un corpo rigido ne ha 6: 3 per dire dove sta il centro di massa e 3 angoli per dire come è orientato. Le due equazioni cardinali sono vettoriali, cioè $3 + 3 = 6$ equazioni scalari: tante quante le incognite.

Classificazione dei moti:

traslazione: tutti i punti hanno in ogni istante la stessa velocità (il corpo non cambia orientazione); basta la prima equazione cardinale, e il corpo si comporta come un punto materiale di massa $M$ posto nel CM;
rotazione attorno a un asse fisso: i punti dell'asse sono fermi e tutti gli altri descrivono circonferenze attorno all'asse, con la stessa velocità angolare $\omega$ (Rotazione attorno a un asse fisso);
rototraslazione: il moto più generale; si può sempre pensare come la traslazione del CM più una rotazione attorno a un asse passante per il CM. Un caso importante è il Moto di puro rotolamento.

Velocità dei punti di un corpo rigido. Se il corpo ruota con velocità angolare $\vec\omega$ e un suo punto $A$ ha velocità $\vec v_A$ , la velocità di un qualsiasi altro punto $P$ è

$\vec v_P = \vec v_A + \vec\omega \times (\vec r_P - \vec r_A)$

(il prodotto vettoriale è in Prodotto scalare e prodotto vettoriale). $\vec\omega$ è la stessa per tutti i punti: è una proprietà del corpo, non del punto. Questa formula è la base del moto di rotolamento.

Forza peso e baricentro

La forza peso agisce su ogni pezzetto, $d\vec F = dm\,\vec g$ . Sommando:

$\vec F_{peso} = \int \vec g\,dm = M\vec g, \qquad \vec M_{peso,O} = \int \vec r \times \vec g\,dm = \Big(\int \vec r\,dm\Big)\times\vec g = M\,\vec r_{CM}\times\vec g = \vec r_{CM}\times M\vec g$

Quindi, per forza e momento, il peso di un corpo rigido equivale a una sola forza $M\vec g$ applicata nel centro di massa (il baricentro coincide con il CM se $\vec g$ è uniforme). È il motivo per cui negli esercizi si disegna il peso di un'asta nel suo punto medio.

Riassunto

corpo omogeneo	posizione del CM
asta di lunghezza $\ell$	punto medio, a $\ell/2$ dagli estremi
disco, anello, sfera, guscio sferico	centro
rettangolo, lamina quadrata	intersezione delle diagonali
semidisco di raggio $R$	sull'asse di simmetria, a $\dfrac{4R}{3\pi}$ dal diametro
semicirconferenza (filo) di raggio $R$	sull'asse di simmetria, a $\dfrac{2R}{\pi}$ dal diametro
triangolo	baricentro geometrico (incontro delle mediane)

Errori comuni

Dimenticare che $dm$ dipende dalla geometria: in un disco, una corona circolare di raggio $r$ e spessore $dr$ ha area $2\pi r\,dr$ , non $dr$ .
Applicare la simmetria a un corpo non omogeneo: la simmetria della forma non basta, serve anche che la densità sia simmetrica.
Mettere nella prima equazione cardinale le forze interne (per esempio la forza con cui due pezzi incollati si tengono): si cancellano sempre.
Usare per un corpo con un buco la somma delle masse invece della differenza.