Esercizio 24blocchetto su un cuneo fermo e molla

Testo (primo compitino del 18 aprile 2023, problema 1). Un blocchetto di massa $m = 0{,}3$ kg è appoggiato su un blocco a forma di cuneo (vedi figura) di massa $M = 5m$, a sua volta poggiato su un piano orizzontale scabro. Il blocchetto, posto inizialmente fermo sulla sommità della superficie inclinata $AB$ del cuneo, di lunghezza $\ell = 2$ m, scivola senza attrito su di essa. L'angolo di inclinazione del piano $AB$ è $\vartheta = 20°$ ed il cuneo $M$ rimane fermo sul piano orizzontale a causa della forza d'attrito statico che si sviluppa tra il cuneo e il piano orizzontale. Determinare:

a) l'accelerazione del blocchetto di massa $m$ e la reazione vincolare $\Phi_m$ che agisce su $m$; b) la reazione normale $\Phi_M$ che il piano orizzontale sviluppa sul cuneo $M$ e la forza d'attrito statico $F_S$ tra il piano e il cuneo, che agisce su $M$ (suggerimento: si calcolino le componenti $\Phi_{m,x}$ e $\Phi_{m,y}$ della reazione vincolare $\Phi_m$ lungo gli assi $x$, $y$ di figura); c) il minimo valore del coefficiente d'attrito statico tra il cuneo $M$ ed il piano orizzontale affinché il cuneo $M$ rimanga fermo.

Al termine del piano inclinato, il blocchetto prosegue sul piano orizzontale liscio, incontrando nel suo moto una molla di costante elastica $k = 6$ N/m inizialmente a riposo, comprimendola fino a fermarsi. Determinare:

d) la velocità $v$ del blocchetto al termine del piano inclinato e la massima compressione $d$ della molla; e) il tempo $t$ impiegato a comprimere la molla (a partire dall'istante in cui il blocchetto incontra la molla) e l'accelerazione $a_1$ del blocchetto nel momento in cui si ferma.

Figura. Il cuneo ha la faccia inclinata $AB$ che scende verso destra, da $A$ (in alto a sinistra) a $B$ (in basso a destra). Asse $x$ orizzontale verso destra, asse $y$ verticale verso l'alto. Il blocchetto scende lungo $AB$, poi prosegue verso destra sul pavimento fino alla molla.

Impostazione

Due fasi distinte: la discesa sul cuneo (statica del cuneo e dinamica del blocchetto) e la compressione della molla (moto armonico).

a) Il blocchetto sul cuneo

Il cuneo è fermo, quindi la faccia $AB$ si comporta come un normale Piano inclinatoSul piano inclinato si prendono gli assi lungo il piano e perpendicolare: il peso si scompone in mg sinθ (lungo il piano) e mg cosθ (contro il piano), N = mg cosθ. Senza attrito a = g sinθ; con attrito dinamico a = g(sinθ − μ cosθ) in discesa, −g(sinθ + μ cosθ) in salita; resta fermo se tanθ ≤ μs.Piano inclinato → liscio. Sul blocchetto agiscono solo il peso e la reazione normale $\Phi_m$ (niente attrito).

• Perpendicolare alla faccia: il blocchetto non si stacca, quindi le forze si bilanciano: $$\Phi_m = m g\cos\vartheta = 0{,}3 \cdot 9{,}81 \cdot 0{,}940 = 2{,}77\ \text{N}$$
• Lungo la faccia: resta solo la componente del peso, $$a = g\sin\vartheta = 9{,}81 \cdot 0{,}342 = 3{,}36\ \text{m/s}^2$$

b) Le forze sul cuneo

Per il terzo principio il blocchetto preme sul cuneo con una forza uguale e opposta a $\vec\Phi_m$ (Reazioni vincolari, forza peso e peso apparenteLa forza peso è m g, verso il basso. Un vincolo (piano, guida) esercita una reazione che si ricava da F = m a: la componente normale può solo spingere, e si annulla quando il corpo si stacca. Il peso apparente è la reazione del pavimento, diversa da m g se si accelera (ascensore).Reazioni vincolari, forza peso e peso apparente →). Conviene scomporla negli assi orizzontale e verticale (è il suggerimento del testo), perché le altre forze sul cuneo sono orizzontali o verticali.

Direzione di $\vec\Phi_m$. È perpendicolare alla faccia $AB$. La faccia è inclinata di $\vartheta$ rispetto all'orizzontale, quindi la sua perpendicolare è inclinata di $\vartheta$ rispetto alla verticale. La faccia scende verso destra, quindi la normale uscente punta in alto e verso destra:

$$\Phi_{m,x} = \Phi_m\sin\vartheta = m g\cos\vartheta\sin\vartheta = 2{,}77 \cdot 0{,}342 = 0{,}946\ \text{N}$$

$$\Phi_{m,y} = \Phi_m\cos\vartheta = m g\cos^2\vartheta = 2{,}77 \cdot 0{,}940 = 2{,}60\ \text{N}$$

La forza del blocchetto sul cuneo è l'opposta: $(-0{,}946;\ -2{,}60)$ N, cioè spinge il cuneo verso sinistra e verso il basso.

Equilibrio del cuneo. Sul cuneo agiscono: il suo peso $-Mg$, la spinta del blocchetto, la normale del pavimento $\Phi_M$ (verso l'alto) e l'attrito statico $F_S$ (orizzontale). Il cuneo è fermo, quindi la risultante è nulla.

Verticale: $$\Phi_M - Mg - \Phi_{m,y} = 0 \quad\Longrightarrow\quad \Phi_M = 5mg + mg\cos^2\vartheta = 14{,}72 + 2{,}60 = 17{,}3\ \text{N}$$

Il pavimento regge il cuneo e una parte del peso del blocchetto. Non tutto il peso del blocchetto, $mg = 2{,}94$ N: il blocchetto accelera verso il basso, quindi non "pesa" completamente sul cuneo.

Orizzontale: $$F_S - \Phi_{m,x} = 0 \quad\Longrightarrow\quad F_S = mg\cos\vartheta\sin\vartheta = 0{,}946\ \text{N}$$

diretta verso destra: il blocchetto spinge il cuneo verso sinistra e l'attrito lo trattiene.

c) Coefficiente d'attrito minimo

L'attrito statico non può superare il suo valore massimo $\mu_S \Phi_M$ (Forze di attrito radenteL'attrito radente è la componente della reazione vincolare parallela alla superficie. Statico: impedisce lo scivolamento e vale quanto serve, fino a μs N. Dinamico: agisce durante lo strisciamento, vale μd N ed è opposto alla velocità relativa.Forze di attrito radente →). Il cuneo resta fermo se

$$F_S \le \mu_S \Phi_M \quad\Longrightarrow\quad \mu_S \ge \frac{F_S}{\Phi_M} = \frac{0{,}946}{17{,}3} = 0{,}055$$

Basta un attrito piccolissimo, perché il cuneo è pesante e la spinta orizzontale è piccola.

d) Velocità in fondo e compressione massima

Velocità in $B$. Lungo la faccia il moto è uniformemente accelerato da fermo; più semplice la Conservazione dell'energia meccanicaL'energia meccanica E = K + U resta costante se compiono lavoro solo forze conservative. Se lavorano anche forze non conservative (attrito), la variazione di E è uguale al loro lavoro: W_nc = E_B − E_A. Il grafico di U(x) con la retta E mostra dove il moto è possibile e i punti di inversione.Conservazione dell'energia meccanica → (niente attrito, la normale non lavora). Il blocchetto scende di $h = \ell\sin\vartheta = 0{,}684$ m:

$$m g\,\ell\sin\vartheta = \tfrac12 m v^2 \quad\Longrightarrow\quad v = \sqrt{2 g \ell\sin\vartheta} = \sqrt{2 \cdot 9{,}81 \cdot 0{,}684} = 3{,}66\ \text{m/s}$$

Sul pavimento liscio la velocità resta $3{,}66$ m/s fino alla molla.

Compressione massima. Il blocchetto si ferma quando tutta l'energia cinetica è diventata energia elastica:

$$\tfrac12 m v^2 = \tfrac12 k d^2 \quad\Longrightarrow\quad d = v\sqrt{\frac{m}{k}} = 3{,}66 \cdot \sqrt{0{,}05} = 0{,}819\ \text{m}$$

e) Tempo di compressione e accelerazione finale

Durante il contatto con la molla l'unica forza orizzontale è $-kx$: il moto è armonicoLa legge oraria è x = A sin(ωt + φ), con ω = √(k/m): il corpo oscilla attorno alla posizione di riposo della molla.Moto armonico semplice → con pulsazione e periodo

$$\omega = \sqrt{\frac{k}{m}} = \sqrt{20} = 4{,}47\ \text{rad/s}, \qquad T = \frac{2\pi}{\omega} = 1{,}40\ \text{s}$$

Il blocchetto tocca la molla nella posizione di riposo ($x = 0$, dove la velocità è massima) e si ferma alla compressione massima ($x = d$, un estremo dell'oscillazione). Da centro a estremo passa un quarto di periodo:

$$t = \frac{T}{4} = \frac{1{,}40}{4} = 0{,}351\ \text{s}$$

Controllo: in un moto armonico la velocità massima è $\omega A$; qui $\omega d = 4{,}47 \cdot 0{,}819 = 3{,}66$ m/s $= v$ ✓.

Accelerazione quando si ferma. Velocità nulla non vuol dire accelerazione nulla: la molla è compressa al massimo e spinge con la forza più grande. Prendendo positivo il verso in cui il blocchetto arrivava:

$$a_1 = -\frac{k d}{m} = -\frac{6 \cdot 0{,}819}{0{,}3} = -16{,}4\ \text{m/s}^2$$

diretta all'indietro: subito dopo la molla rilancia il blocchetto verso sinistra.

Risultati

Errori comuni

• Scrivere $\Phi_M = (M + m) g$: il blocchetto accelera, quindi la sua spinta verticale sul cuneo è solo $mg\cos^2\vartheta$.
• Dimenticare che il cuneo deve essere trattenuto in orizzontale: la normale del blocchetto ha una componente orizzontale, e senza attrito il cuneo scivolerebbe all'indietro.
• Calcolare il tempo di compressione come $d/v$: la velocità non è costante. Serve il moto armonico: un quarto di periodo.
• Dire che l'accelerazione è nulla quando il blocchetto si ferma: è massima in modulo.