Esercizio 60due dischi incollati appesi con un blocchetto

Testo (tema d'esame dell'11 giugno 2024, secondo compitino, problema 1). Un corpo rigido è costituito da due dischi omogenei di raggio rispettivamente $R_1 = 0{,}4$ m e $R_2 = R_1/2$ e massa $M = 2$ kg e $m = 0{,}8$ kg, incollati uno sull'altro come mostrato in figura. Il centro $O$ del disco maggiore è vincolato al soffitto ed il corpo rigido può ruotare senza attrito nel piano verticale, intorno all'asse orizzontale passante per $O$. Intorno al bordo del disco maggiore è avvolto un filo inestensibile di massa trascurabile, al cui estremo è appeso un blocchetto di massa $m_b$. Inizialmente l'intero sistema è fermo con il centro $C$ del disco minore, a distanza $R_2$ da $O$, posto alla stessa quota di $O$. Determinare:

a) il valore di $m_b$ affinché il sistema rimanga in equilibrio.

Supponendo che la massa del blocchetto sia $m_b = m$, determinare:

b) l'accelerazione del blocchetto e l'accelerazione angolare iniziali del corpo rigido e la tensione iniziale $T$ del filo; c) la velocità angolare del corpo rigido dopo una rotazione di $\pi/2$; d) la reazione vincolare agente in $O$ in tale posizione (si orienti l'asse $y$ verso il basso).

Figura. Il disco grande è appeso per il centro $O$; il disco piccolo è incollato sopra di esso, con il centro $C$ a destra di $O$ e alla stessa quota, e il suo bordo passa per $O$ (perché $OC = R_2$). Il filo scende verticalmente dal bordo sinistro del disco grande e regge il blocchetto. L'asse $y$ è verticale verso il basso.

Impostazione

Le grandezze in gioco

Chi fa ruotare il corpo

Il corpo rigido ruota attorno all'asse fisso per $O$. Le forze su di esso sono:

• il peso del disco grande, $Mg$, applicato in $O$: passa per l'asse, momento nullo;
• il peso del disco piccolo, $mg$, applicato in $C$: il peso di un corpo rigido agisce nel suo centro di massaPer forza e momento, il peso di un corpo rigido equivale a una sola forza applicata nel centro di massa.Corpo rigido e suo centro di massa →, che per il disco omogeneo è il centro $C$. Con $C$ a destra di $O$ ha braccio $R_2$ e tende a far ruotare il corpo in senso orario;
• la tensione $T$ del filo, verticale verso il basso, applicata sul bordo sinistro: braccio $R_1$, tende a far ruotare in senso antiorario;
• la reazione del perno in $O$: passa per l'asse, momento nullo.

Scegliamo come verso positivo delle rotazioni quello antiorario, cioè quello in cui il blocchetto scende (il filo si srotola dal lato sinistro). Con questa scelta, per il blocchetto prendiamo positivo il verso verso il basso, così il vincolo del filoIl filo inestensibile non slitta sul disco: il tratto che si srotola in un tempo dt è lungo R₁ dθ, quindi il blocchetto scende di R₁ dθ. si scrive senza segni: $a = \alpha R_1$.

Momento d'inerzia rispetto all'asse per $O$

Il momento d'inerzia è additivo, e ogni pezzo va calcolato rispetto allo stesso assePrima si porta ogni pezzo sull'asse di rotazione, eventualmente con Steiner, poi si somma.Momento d'inerzia e teorema di Huygens-Steiner →:

• disco grande, asse per il suo centro: $\frac12 MR_1^2 = \frac12\cdot2\cdot0{,}16 = 0{,}160\ \text{kg}\,\text{m}^2$;
• disco piccolo, asse parallelo a quello per il suo centro ma a distanza $R_2$: per il teorema di Huygens-Steiner $\frac12 mR_2^2 + mR_2^2 = \frac32 mR_2^2 = \frac32\cdot0{,}8\cdot0{,}04 = 0{,}048\ \text{kg}\,\text{m}^2$.

$$I_{tot} = \frac12 MR_1^2 + \frac32 mR_2^2 = 0{,}208\ \text{kg}\,\text{m}^2$$

a) Massa del blocchetto per l'equilibrio

All'equilibrio tutto è fermo, quindi il blocchetto non accelera e la tensione è uguale al suo peso: $T = m_b g$. Per il corpo rigido serve che il momento totale rispetto all'asse sia nulloEquazione cardinale della statica: la somma dei momenti delle forze esterne rispetto a un polo deve essere zero. Il polo in O elimina la reazione del perno.Statica del corpo rigido →:

$$m_b g\,R_1 - m g\,R_2 = 0 \quad\Longrightarrow\quad m_b = m\,\frac{R_2}{R_1} = \frac{m}{2} = 0{,}4\ \text{kg}$$

Il blocchetto può essere più leggero del disco piccolo perché "lavora" con un braccio doppio: è il principio della leva.

b) Accelerazioni e tensione iniziali con $m_b = m$

Ora il blocchetto pesa $0{,}8$ kg, il doppio del valore di equilibrio: il sistema si mette in moto, con il blocchetto che scende e il corpo che ruota in senso antiorario. All'istante iniziale $C$ è ancora alla quota di $O$, quindi il braccio del peso del disco piccolo è ancora $R_2$ (cambierà subito dopo, ed è per questo che il testo chiede le accelerazioni iniziali).

Equazioni. Per il corpo rigido si usa $M_z = I\alpha$Seconda equazione cardinale per un corpo rigido con asse fisso: momento delle forze esterne lungo l'asse uguale a momento d'inerzia per accelerazione angolare.Rotazione attorno a un asse fisso →, per il blocchetto il secondo principio della dinamica:

$$\begin{cases} I_{tot}\,\alpha = T R_1 - m g R_2 & \text{(rotazione del corpo rigido)}\\ m\,a = m g - T & \text{(secondo principio per il blocchetto, verso il basso positivo)}\\ a = \alpha R_1 & \text{(filo inestensibile che non slitta)}\end{cases}$$

Dalla prima, con $\alpha = a/R_1$: $T = \frac{I_{tot}}{R_1^2}\,a + m g\,\frac{R_2}{R_1} = \frac{I_{tot}}{R_1^2}\,a + \frac{mg}{2}$. Sostituendo nella seconda:

$$m a = m g - \frac{I_{tot}}{R_1^2}a - \frac{mg}{2} \quad\Longrightarrow\quad a = \frac{mg/2}{m + I_{tot}/R_1^2}$$

Numeri: $\frac{I_{tot}}{R_1^2} = \frac{0{,}208}{0{,}16} = 1{,}3$ kg (è la massa equivalenteLa quantità I/R² si comporta come una massa in più da accelerare: il disco "pesa" sul moto del blocchetto come 1,3 kg aggiuntivi. del corpo rigido), quindi

$$a = \frac{0{,}8\cdot9{,}81/2}{0{,}8 + 1{,}3} = \frac{3{,}924}{2{,}1} = 1{,}87\ \text{m/s}^2$$

$$\alpha = \frac{a}{R_1} = \frac{1{,}87}{0{,}4} = 4{,}67\ \text{rad/s}^2, \qquad T = m(g - a) = 0{,}8\,(9{,}81 - 1{,}87) = 6{,}35\ \text{N}$$

Controlli. $T < mg = 7{,}85$ N: il blocchetto accelera verso il basso, quindi il filo deve tirarlo meno del suo peso ✓. Il numeratore $mg/2$ è la "forza motrice netta": il peso del blocchetto ($mg$, braccio $R_1$) meno l'effetto del disco piccolo, che equivale a $mg\,R_2/R_1 = mg/2$ applicato sul bordo.

c) Velocità angolare dopo una rotazione di $\pi/2$

Il momento del peso del disco piccolo cambia con la posizione, quindi l'accelerazione non è costante: invece di integrare le equazioni del moto si usa la conservazione dell'energia. È lecita perché il perno è liscio (la sua reazione è applicata in un punto fermo e non compie lavoro), il filo è inestensibile e non slitta (le tensioni compiono lavori opposti sul blocchetto e sul disco), e l'unica forza che lavora è il peso, che è conservativoIl lavoro del peso dipende solo dalle quote iniziale e finale, quindi si può scrivere come diminuzione di un'energia potenziale m g y.Forze conservative ed energia potenziale →.

Che cosa succede in una rotazione antioraria di $\pi/2$:

• il disco piccolo: $C$ ruota di un quarto di giro attorno a $O$ e passa da destra di $O$ a sopra $O$; il suo centro sale di $R_2$;
• il blocchetto: il filo si srotola di un arco $R_1\cdot\frac{\pi}{2}$, quindi il blocchetto scende di $R_1\frac{\pi}{2}$;
• il disco grande: il suo centro è fermo in $O$, la sua energia potenziale non cambia.

Energie (tutto parte da fermo; le energie potenziali iniziali si pongono uguali a zero):

$$\underbrace{\frac12 I_{tot}\,\omega^2}_{\text{corpo rigido}} + \underbrace{\frac12 m\,(\omega R_1)^2}_{\text{blocchetto}} + \underbrace{m g R_2}_{\text{disco piccolo sale}} - \underbrace{m g R_1\frac{\pi}{2}}_{\text{blocchetto scende}} = 0$$

La velocità del blocchetto è $\omega R_1$ per il vincolo del filo. Con $R_2 = R_1/2$:

$$\frac12\big(I_{tot} + mR_1^2\big)\omega^2 = m g R_1\Big(\frac{\pi}{2} - \frac12\Big) \quad\Longrightarrow\quad \omega = \sqrt{\frac{m g R_1(\pi - 1)}{I_{tot} + mR_1^2}}$$

$$\omega = \sqrt{\frac{0{,}8\cdot9{,}81\cdot0{,}4\cdot2{,}1416}{0{,}208 + 0{,}128}} = \sqrt{\frac{6{,}723}{0{,}336}} = 4{,}47\ \text{rad/s}$$

d) Reazione del perno in quella posizione

Ora $C$ è sulla verticale sopra $O$. Si usa la prima equazione cardinaleSomma delle forze esterne uguale a massa totale per accelerazione del centro di massa: è il modo di trovare la reazione di un perno.Rotazione attorno a un asse fisso → per il corpo rigido, lungo $y$ (verso il basso).

Accelerazione del centro di massa lungo $y$. Il disco grande ha il CM fermo in $O$. Il disco piccolo ha il CM in $C$, che si muove su una circonferenza di raggio $R_2$ attorno a $O$: la sua accelerazione ha una parte centripeta $\omega^2 R_2$, diretta da $C$ verso $O$, cioè verso il basso ($+y$), e una parte tangenziale $\alpha R_2$, che con $C$ in cima è orizzontale e non entra nell'equazione lungo $y$. Quindi

$$(M + m)\,a_{CM,y} = M\cdot0 + m\,\omega^2 R_2$$

Forze lungo $y$ sul corpo rigido: i pesi $(M + m)g$ (verso il basso, $+$), la tensione $T$ (il filo tira il bordo sinistro verso il basso, $+$), la reazione $\Phi_y$ (incognita, con il suo segno):

$$m\,\omega^2 R_2 = (M + m)g + T + \Phi_y$$

La tensione in questa posizione è diversa da quella iniziale. Con $C$ sopra $O$ il peso del disco piccolo passa per l'asse e non ha più momento. Le equazioni del punto b) diventano $I_{tot}\alpha = TR_1$, $ma = mg - T$, $a = \alpha R_1$, da cui

$$a = \frac{m g}{m + I_{tot}/R_1^2} = \frac{7{,}848}{2{,}1} = 3{,}74\ \text{m/s}^2, \qquad T = m(g - a) = 0{,}8\,(9{,}81 - 3{,}74) = 4{,}86\ \text{N}$$

Risultato:

$$\Phi_y = m\,\omega^2 R_2 - T - (M + m)g = 0{,}8\cdot4{,}47^2\cdot0{,}2 - 4{,}86 - 2{,}8\cdot9{,}81 = 3{,}20 - 4{,}86 - 27{,}47 = -29{,}1\ \text{N}$$

Il segno meno vuol dire che la reazione è diretta verso l'alto (l'asse $y$ punta in basso): il perno sostiene il corpo rigido e in più compensa il tiro del filo, ma un po' meno di $(M+m)g + T = 32{,}3$ N, perché il CM sta accelerando verso il basso.

Nota sulla soluzione ufficiale. La soluzione del tema riporta $a = 0{,}935\ \text{m/s}^2$, $T = 7{,}09$ N e $\Phi_y = -31{,}34$ N. Il valore $0{,}935$ è un refuso: la formula scritta nella soluzione stessa, $a = mg/(m + I_{tot}/R_1^2)$, dà $3{,}74\ \text{m/s}^2$ (il doppio dell'accelerazione iniziale, che è $1{,}87$, perché ora manca il momento frenante del disco piccolo). Con il valore corretto si ottengono $T = 4{,}86$ N e $\Phi_y = -29{,}1$ N.

(Il testo chiede solo $\Phi_y$. Per completezza, lungo l'orizzontale il CM del disco piccolo ha l'accelerazione tangenziale $\alpha R_2$, con $\alpha = a/R_1 = 9{,}34\ \text{rad/s}^2$, quindi il perno esercita anche una componente orizzontale $\Phi_x = m\alpha R_2 = 1{,}49$ N, verso sinistra.)

Risultati

Errori comuni

• Usare $\frac12 mR_2^2$ per il disco piccolo: il suo centro non sta sull'asse, serve Steiner ($\frac32 mR_2^2$).
• Usare le accelerazioni iniziali anche nella posizione finale: il momento del disco piccolo dipende dall'angolo, quindi accelerazione e tensione cambiano durante il moto.
• Dimenticare l'energia cinetica del blocchetto nel bilancio energetico, o il segno della variazione di quota del disco piccolo (sale, quindi la sua energia potenziale aumenta).
• Dimenticare la tensione del filo nella prima equazione cardinale per il corpo rigido: è una forza esterna al corpo rigido.