Esercizio 39blocchetto su una rampa circolare tenuta ferma

Testo (tema d'esame del 7 febbraio 2025, problema 1). Un blocchetto di massa $m = 0{,}1\ \text{kg}$ e dimensioni trascurabili sale su una rampa con profilo circolare di raggio $R = 0{,}5\ \text{m}$ e centro $C$ (vedi figura) priva di attrito, appoggiata su un piano orizzontale liscio. La rampa è mantenuta ferma da una forza $F$ diretta orizzontalmente. La velocità del blocchetto all'inizio della rampa è $v_0 = 2\ \text{m/s}$. Determinare:

a) l'altezza $h$ del punto $P$ sulla rampa nel quale il blocchetto si ferma, e l'angolo $\vartheta$ che il segmento $CP$ forma con la direzione verticale;

b) il vettore accelerazione del blocchetto nel punto $P$, nelle sue componenti tangente e normale alla rampa;

c) la reazione vincolare $\Phi$ che la rampa esercita sul blocchetto in $P$ e la forza $F$ necessaria in quell'istante per mantenere ferma la rampa sul piano orizzontale.

Figura. La rampa è un blocco appoggiato sul piano, con la faccia di sinistra a forma di quarto di circonferenza concava: parte orizzontale dal piano e sale curvando verso l'alto, con il centro $C$ in alto a sinistra, sulla verticale del punto in cui la rampa comincia. Il blocchetto arriva da sinistra con velocità $v_0$ e sale sulla faccia curva. La forza $\vec F$ è applicata alla faccia destra della rampa e punta verso sinistra.

Grandezze

a) Altezza e angolo del punto di arresto

Chi compie lavoro sul blocchetto. Il peso (conservativo) e la reazione della rampa. La rampa è liscia, quindi la reazione è perpendicolare alla superficie; la rampa è ferma (la tiene ferma $F$), quindi la superficie non si sposta e la reazione è perpendicolare anche alla velocità del blocchetto: lavoro nulloUna forza sempre perpendicolare alla velocità del punto su cui agisce non compie lavoro.Lavoro e potenza →. L'energia meccanica si conservaSe lavorano solo forze conservative, ½mv² + mgy è la stessa all'inizio e alla fine.Conservazione dell'energia meccanica →.

(Se la rampa fosse libera di muoversi, verrebbe spinta via dal blocchetto: la reazione, che segue la superficie in movimento, compirebbe lavoro sul blocchetto e il conto cambierebbe. È per questo che il testo precisa che la rampa è tenuta ferma.)

Con lo zero della quota alla base della rampa, tra l'inizio ($v_0$, quota $0$) e il punto $P$ dove si ferma ($v = 0$, quota $h$):

$$\tfrac12 m v_0^2 = m g h \quad \Longrightarrow \quad h = \frac{v_0^2}{2g} = \frac{4}{19{,}62} = 0{,}204\ \text{m}$$

L'angolo. Il centro $C$ sta a quota $R$ sopra la base. $P$ è sulla circonferenza, sotto $C$, a distanza verticale $R\cos\vartheta$ (proiezione del raggio $CP$ sulla verticale). Quindi $h = R - R\cos\vartheta$:

$$\cos\vartheta = 1 - \frac{h}{R} = 1 - \frac{0{,}204}{0{,}5} = 0{,}592 \quad \Longrightarrow \quad \vartheta = 53{,}7°$$

$h < R$, quindi il blocchetto si ferma prima della fine del quarto di circonferenza (che arriva alla quota $R = 0{,}5\ \text{m}$).

b) Accelerazione in $P$

Si scompone lungo la tangente e la normale alla rampa (accelerazione nel moto su una circonferenzaComponente normale verso il centro di modulo v²/R, componente tangente uguale alla derivata del modulo della velocità.Moto circolare →).

Normale. $a_N = v^2/R$ e in $P$ la velocità è nulla:

$$a_N = 0$$

Tangente. Lungo la tangente agisce solo la componente del peso (la reazione è normale). Il raggio $CP$ forma l'angolo $\vartheta$ con la verticale, quindi la superficie in $P$ è inclinata di $\vartheta$ rispetto all'orizzontale, come un piano inclinatoSu un piano inclinato di θ il peso ha componente mg sinθ lungo il piano e mg cosθ perpendicolare.Piano inclinato → di angolo $\vartheta$:

$$m\,a_T = m g\sin\vartheta \quad \Longrightarrow \quad a_T = g\sin\vartheta = 9{,}81 \cdot 0{,}806 = 7{,}90\ \text{m/s}^2$$

diretta lungo la rampa verso il basso: il blocchetto sta per ridiscendere.

c) Reazione in $P$ e forza che tiene ferma la rampa

Reazione sul blocchetto

Lungo la normale (verso $C$) agiscono la reazione $\Phi$ (verso $C$: la rampa spinge il blocchetto "fuori dalla superficie", cioè verso il centro della concavità) e la componente normale del peso $mg\cos\vartheta$, diretta via da $C$. Con $a_N = 0$:

$$\Phi - mg\cos\vartheta = m\,a_N = 0 \quad \Longrightarrow \quad \Phi = mg\cos\vartheta = 0{,}981 \cdot 0{,}592 = 0{,}581\ \text{N}$$

Forza sulla rampa

Per il terzo principioSe A esercita una forza su B, B esercita su A una forza uguale e opposta.Leggi di Newton → il blocchetto preme sulla rampa con una forza uguale e opposta a $\vec\Phi$: modulo $0{,}581\ \text{N}$, diretta via da $C$, cioè verso il basso e verso destra, inclinata di $\vartheta$ rispetto alla verticale. La sua componente orizzontale, verso destra, vale

$$\Phi_x = \Phi\sin\vartheta$$

Sulla rampa agiscono anche il peso e la reazione del piano (entrambi verticali) e la forza $F$ (orizzontale, verso sinistra). Il piano è liscio, quindi niente attrito. Perché la rampa resti ferma, la somma delle forze orizzontali deve essere nulla:

$$\Phi\sin\vartheta - F = 0 \quad \Longrightarrow \quad F = \Phi\sin\vartheta = 0{,}581 \cdot 0{,}806 = 0{,}468\ \text{N}$$

Risultati

Errori comuni

• Confondere $h$ con $R\cos\vartheta$: $R\cos\vartheta$ è la distanza di $P$ sotto $C$; l'altezza dalla base è $R - R\cos\vartheta$.
• Dimenticare il terzo principio: sulla rampa non agisce $\vec\Phi$ ma la sua opposta.
• Usare $\Phi = mg$ o $mg\cos\vartheta + mv^2/R$ con una $v$ sbagliata: in $P$ la velocità è nulla.
• Applicare la conservazione dell'energia con la rampa libera: vale qui perché la rampa è ferma.