Dinamica dei fluidi: continuità e Bernoulli

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Dopo la statica (Statica dei fluidi - pressione e legge di Stevino, Principio di Archimede) si studia il fluido in moto. Le due leggi di questa nota sono la conservazione della massa e la Conservazione dell'energia meccanica applicate a un fluido. Esercizio: Esercizio 84 · serbatoio che si svuota da un foro.

Il fluido ideale

Il moto di un fluido reale è complicato (vortici, attriti interni). Si studia un modello semplificato, il fluido ideale, con quattro ipotesi:

incomprimibile: densità $\rho$ costante (buona approssimazione per i liquidi);
non viscoso: niente attrito interno, quindi niente energia dissipata;
moto stazionario: in ogni punto fisso dello spazio la velocità del fluido non cambia nel tempo (cambia invece passando da un punto all'altro);
moto irrotazionale (nessun vortice).

Linee di flusso. In moto stazionario ogni particella di fluido segue una linea fissa, la linea di flusso, e la velocità è tangente a essa. Un fascio di linee di flusso forma un tubo di flusso: il fluido non ne attraversa le pareti, e si comporta come un liquido che scorre in un tubo.

Equazione di continuità

In un tubo con sezione variabile, in un tempo $dt$ attraverso la sezione $S_1$ passa il volume di fluido $S_1\,v_1\,dt$ (un cilindretto di base $S_1$ e altezza $v_1\,dt$ ). Il fluido è incomprimibile e non si accumula da nessuna parte, quindi lo stesso volume deve uscire nello stesso tempo dalla sezione $S_2$ :

$S_1\,v_1\,dt = S_2\,v_2\,dt \quad \Longrightarrow \quad \boxed{S_1\,v_1 = S_2\,v_2}$

La grandezza $Q = S\,v$ si chiama portata (volumetrica) e si misura in $\text{m}^3/\text{s}$ : è il volume che attraversa una sezione in un secondo, ed è la stessa in ogni sezione.

Conseguenza: dove il tubo si stringe il fluido va più veloce. È quello che succede quando si stringe con il dito l'uscita di una canna da giardino.

Esempio. Un rubinetto con uscita di diametro $2$ cm ( $r = 0{,}01$ m) da cui l'acqua esce a $1{,}5\ \text{m/s}$ : $Q = \pi r^2 v = \pi \cdot 10^{-4} \cdot 1{,}5 = 4{,}71 \times 10^{-4}\ \text{m}^3/\text{s}$ , cioè $0{,}471$ litri al secondo, circa $28$ litri al minuto.

Teorema di Bernoulli

Enunciato. Lungo una linea di flusso di un fluido ideale in moto stazionario

$\boxed{p + \frac12 \rho v^2 + \rho g z = \text{costante}}$

dove $z$ è la quota (asse verticale verso l'alto), $v$ la velocità e $p$ la pressione nel punto.

Dimostrazione con il teorema dell'energia cinetica. Si considera la porzione di fluido compresa, all'istante $t$ , tra la sezione 1 (area $S_1$ , quota $z_1$ , pressione $p_1$ , velocità $v_1$ ) e la sezione 2 (area $S_2$ , quota $z_2$ , pressione $p_2$ , velocità $v_2$ ). In un tempo $dt$ questa porzione avanza: la sezione 1 si sposta di $v_1 dt$ , la sezione 2 di $v_2 dt$ . Per la continuità il volume "entrato" e quello "uscito" sono uguali: $dV = S_1 v_1 dt = S_2 v_2 dt$ , di massa $dm = \rho\,dV$ .

Tutto il fluido nel mezzo non cambia stato (moto stazionario), quindi il bilancio si fa come se la massetta $dm$ fosse passata dalla sezione 1 alla sezione 2. Si applica il teorema dell'energia cinetica (lavoro totale $=$ variazione di energia cinetica):

lavoro delle forze di pressione: dietro, il fluido spinge nel verso del moto con forza $p_1 S_1$ per un tratto $v_1 dt$ , lavoro $p_1 S_1 v_1 dt = p_1\,dV$ ; davanti, il fluido spinge contro il moto, lavoro $-p_2\,dV$ ;
lavoro del peso: la massetta scende dalla quota $z_1$ alla quota $z_2$ , lavoro $-dm\,g\,(z_2 - z_1)$ ;
variazione di energia cinetica: $\frac12 dm\,(v_2^2 - v_1^2)$ .

Quindi

$(p_1 - p_2)\,dV - \rho\,dV\,g\,(z_2 - z_1) = \frac12 \rho\,dV\,(v_2^2 - v_1^2)$

e dividendo per $dV$ e separando gli indici:

$p_1 + \frac12 \rho v_1^2 + \rho g z_1 = p_2 + \frac12 \rho v_2^2 + \rho g z_2$

Significato dei tre termini. Hanno tutti le dimensioni di una pressione, che è anche un'energia per unità di volume ( $1\ \text{Pa} = 1\ \text{N/m}^2 = 1\ \text{J/m}^3$ ):

$\frac12 \rho v^2$ è l'energia cinetica per unità di volume;
$\rho g z$ è l'energia potenziale gravitazionale per unità di volume;
$p$ è il lavoro fatto dalle forze di pressione per unità di volume.

Bernoulli dice che, senza attriti, l'energia per unità di volume si conserva lungo il tubo.

Caso statico. Se il fluido è fermo ( $v = 0$ ) resta $p + \rho g z =$ costante, cioè la legge di Stevino.

Caso orizzontale. Se $z$ è lo stesso: $p + \frac12 \rho v^2 =$ costante. Dove il fluido va più veloce, la pressione è più bassa. Unito alla continuità: nelle strozzature la velocità aumenta e la pressione diminuisce.

Applicazione 1: teorema di Torricelli

Un serbatoio aperto, pieno di liquido fino a un'altezza $h$ sopra un piccolo foro laterale. Con quale velocità esce il liquido?

Si applica Bernoulli tra un punto della superficie libera (1) e un punto del getto appena uscito dal foro (2):

entrambi sono a contatto con l'atmosfera: $p_1 = p_2 = p_0$ ;
il foro è piccolo rispetto alla sezione del serbatoio, quindi per la continuità la superficie scende lentissima: $v_1 \approx 0$ ;
quote: $z_1 - z_2 = h$ .

$p_0 + 0 + \rho g h = p_0 + \frac12 \rho v^2 + 0 \quad \Longrightarrow \quad \boxed{v = \sqrt{2gh}}$

È la stessa velocità di un sasso che cade da fermo per un'altezza $h$ (Moto verticale dei gravi): l'energia potenziale persa dal liquido che "scende" dalla superficie al foro diventa energia cinetica del getto.

Esempio. Con $h = 5$ m: $v = \sqrt{2 \cdot 9{,}81 \cdot 5} = 9{,}90\ \text{m/s}$ . Con $h = 0{,}8$ m: $v = 3{,}96\ \text{m/s}$ .

Applicazione 2: tubo di Venturi

Un tubo orizzontale con una strozzatura: sezione $S_1$ nel tratto largo e $S_2 < S_1$ nella strozzatura. Due tubicini verticali (o un manometro) misurano la differenza di pressione. Dalla continuità $v_2 = v_1 \frac{S_1}{S_2}$ , e da Bernoulli a quota costante

$p_1 - p_2 = \frac12 \rho\,(v_2^2 - v_1^2) = \frac12 \rho\,v_1^2 \left(\frac{S_1^2}{S_2^2} - 1\right)$

Misurando $p_1 - p_2$ si ricava la velocità, e quindi la portata: è un misuratore di portata (venturimetro).

Esempio. Acqua con $v_1 = 0{,}5\ \text{m/s}$ , $S_1 = 20\ \text{cm}^2$ , $S_2 = 5\ \text{cm}^2$ . Continuità: $v_2 = 0{,}5 \cdot \frac{20}{5} = 2\ \text{m/s}$ . Bernoulli:

$p_1 - p_2 = \frac12 \cdot 1000 \cdot (2^2 - 0{,}5^2) = 500 \cdot 3{,}75 = 1875\ \text{Pa}$

Nei tubicini verticali l'acqua si dispone con un dislivello $\Delta h = \frac{p_1 - p_2}{\rho g} = \frac{1875}{9810} = 0{,}19\ \text{m}$ (più bassa sopra la strozzatura).

Altri esempi dello stesso effetto: la portanza di un'ala (l'aria sopra va più veloce e preme di meno), il nebulizzatore di un profumo, il foglio di carta che si solleva se ci si soffia sopra.

Riassunto

legge	formula	da dove viene
portata	$Q = S v$ (m³/s)	definizione
continuità	$S_1 v_1 = S_2 v_2$	conservazione della massa, $\rho$ costante
Bernoulli	$p + \frac12 \rho v^2 + \rho g z =$ cost.	teorema dell'energia cinetica, niente attriti
Torricelli	$v = \sqrt{2gh}$	Bernoulli tra superficie e foro
Venturi	$p_1 - p_2 = \frac12 \rho (v_2^2 - v_1^2)$	continuità + Bernoulli orizzontale

Errori comuni

Pensare che nella strozzatura la pressione aumenti perché "il fluido è più compresso": succede il contrario, la velocità aumenta e la pressione diminuisce.
Dimenticare la continuità: in Bernoulli ci sono due velocità incognite, e la seconda equazione è quasi sempre $S_1 v_1 = S_2 v_2$ .
Applicare Bernoulli a fluidi viscosi o a moti turbolenti: in un tubo reale lungo la pressione cala anche a sezione costante, a causa dell'attrito.
Usare la pressione relativa da una parte e quella assoluta dall'altra: va bene l'una o l'altra, purché la stessa in tutti i termini dell'equazione.

Esercizi su questo argomento

Esercizio 84 · serbatoio che si svuota da un foro