Piccole oscillazioni ed energia dell'oscillatore

Il moto armonico non è un caso particolare della molla: è il moto di qualunque sistema leggermente spostato da una posizione di equilibrio stabile. Questa nota raccoglie l'energia dell'oscillatore e il metodo generale per trovare la pulsazione di piccole oscillazioni. Prima: Forza elasticaUna molla ideale esercita F = −k Δx, opposta alla deformazione (legge di Hooke). Una massa attaccata a una molla compie un moto armonico con ω = √(k/m); ampiezza e fase vengono dalle condizioni iniziali, e v² = ω²(A² − x²). Una forza costante in più sposta solo la posizione di equilibrio.Forza elastica →, Pendolo semplicePunto materiale appeso a un filo: lungo la tangente m l θ'' = −m g sinθ, lungo il filo T − m g cosθ = m v²/l. Per piccole oscillazioni sinθ ≈ θ e il moto è armonico con periodo T = 2π√(l/g), indipendente da massa e ampiezza.Pendolo semplice →, Pendolo compostoUn corpo rigido appeso a un asse orizzontale che non passa per il suo CM oscilla come un pendolo: per piccole oscillazioni il moto è armonico con periodo T = 2π √(I/(m g h)), uguale a quello di un pendolo semplice di lunghezza ridotta I/(m h). Impulso angolare e teorema del momento dell'impulso.Pendolo composto →, Forze conservative ed energia potenzialeUna forza è conservativa se il suo lavoro dipende solo dalla posizione iniziale e finale (non dal percorso). Allora esiste un'energia potenziale U con W = −ΔU e F = −dU/dx: peso mgy, molla k(Δl)²/2. L'attrito non è conservativo. I minimi di U sono equilibri stabili.Forze conservative ed energia potenziale →. Seguito: Oscillatore armonico smorzatoMassa, molla e attrito viscoso: m x'' + b x' + k x = 0. Con γ = b/(2m) e ω₀ = √(k/m) ci sono tre regimi: sottosmorzato (γ < ω₀, oscillazioni con ampiezza che decade come e^(−γt) e pulsazione ω₁ = √(ω₀² − γ²)), critico (γ = ω₀, ritorno più rapido senza oscillare) e sovrasmorzato (γ > ω₀). L'energia decade come e^(−2γt); il fattore di qualità è Q = ω₀/(2γ).Oscillatore armonico smorzato →. Esercizio: Esercizio 70 · proiettile incastrato in un blocco appeso a una molla su un piano inclinato.

Energia dell'oscillatore armonico

Massa $m$ attaccata a una molla di costante $k$, su un piano liscio, con legge oraria $x = A\sin(\omega t + \varphi)$ e $\omega = \sqrt{k/m}$ (Moto armonico sempliceMoto rettilineo con legge oraria x = A·sin(ωt + φ): oscilla tra −A e A con periodo T = 2π/ω. È caratterizzato da a = −ω²x, l'equazione differenziale dell'oscillatore armonico; ampiezza e fase si ricavano dalle condizioni iniziali.Moto armonico semplice →). Le due energie:

$$K = \tfrac12 m v^2 = \tfrac12 m A^2\omega^2\cos^2(\omega t + \varphi) = \tfrac12 k A^2\cos^2(\omega t + \varphi)$$

$$U = \tfrac12 k x^2 = \tfrac12 k A^2 \sin^2(\omega t + \varphi)$$

(nella prima si è usato $m\omega^2 = k$). Sommando, e ricordando $\sin^2 + \cos^2 = 1$:

$$E = K + U = \tfrac12 k A^2 = \text{costante}$$

L'energia totale dipende solo dall'ampiezza (al quadrato) e dalla rigidità della molla. Conseguenze utili negli esercizi:

• Ampiezza dall'energia: $A = \sqrt{2E/k}$. Se si conoscono posizione $x_0$ e velocità $v_0$ in un istante qualsiasi, $\frac12 k A^2 = \frac12 k x_0^2 + \frac12 m v_0^2$, cioè $A = \sqrt{x_0^2 + (v_0/\omega)^2}$.
• Velocità massima: nel centro ($x = 0$) tutta l'energia è cinetica, $\frac12 m v_{\max}^2 = \frac12 k A^2$, quindi $v_{\max} = \omega A$.
• Velocità in funzione della posizione: $v = \pm\,\omega\sqrt{A^2 - x^2}$.

Lo scambio tra le due forme. $K$ e $U$ oscillano con pulsazione $2\omega$ (il quadrato di un seno ha periodo metà), in opposizione: quando una è massima l'altra è nulla. In media su un periodo valgono metà ciascuna: $\langle K\rangle = \langle U\rangle = \frac14 k A^2$, perché la media di $\sin^2$ e di $\cos^2$ su un periodo è $\frac12$.

Il grafico si legge così: per ogni posizione $x$ la distanza verticale tra la retta $E$ e la parabola $U(x)$ è l'energia cinetica. Il corpo non può andare dove $U > E$ (servirebbe un'energia cinetica negativa): i punti di inversione sono $x = \pm A$, dove $U = E$.

La molla verticale

Un corpo appeso a una molla verticale. Asse $y$ verso il basso, origine dove l'estremo della molla sta a riposo. Agiscono peso e forza elastica:

$$m\ddot y = m g - k y$$

All'equilibrio $\ddot y = 0$ e la molla è allungata di $y_{eq} = mg/k$. Misurando lo spostamento dall'equilibrio, $s = y - y_{eq}$:

$$m\ddot s = m g - k(s + y_{eq}) = -k s$$

La stessa equazione della molla orizzontale: il peso sposta solo il centro di oscillazione, la pulsazione resta $\sqrt{k/m}$ (molla più forza costanteUna forza costante aggiunta alla forza elastica non cambia la pulsazione, sposta soltanto la posizione di equilibrio.Forza elastica →). Vale per qualunque forza costante: una molla su un piano inclinato, una molla in un ascensore che accelera.

Anche l'energia si semplifica. Energia potenziale elastica più gravitazionale (con $y$ verso il basso la gravitazionale è $-mgy$):

$$U = \tfrac12 k y^2 - m g y = \tfrac12 k s^2 + \text{costante}$$

(sviluppando $\frac12 k(s + y_{eq})^2 - mg(s + y_{eq})$ i termini in $s$ di primo grado si cancellano proprio perché $k y_{eq} = mg$). Quindi negli esercizi si può scrivere l'energia come $\frac12 m v^2 + \frac12 k s^2$, con $s$ misurato dall'equilibrio, senza il termine del peso: le due scritture danno gli stessi risultati.

Molle in parallelo e in serie

Due molle attaccate allo stesso corpo si possono sostituire con una molla sola di costante equivalente.

• In parallelo (affiancate, si deformano della stessa quantità $x$): le forze si sommano, $F = -k_1 x - k_2 x$, quindi $$k_{par} = k_1 + k_2$$ È anche il caso di un corpo tra due molle su un piano, una a sinistra e una a destra: spostandolo di $x$ una si allunga e l'altra si comprime di $x$, ed entrambe lo richiamano.
• In serie (una dopo l'altra, trasmettono la stessa forza $F$): le deformazioni si sommano, $x = F/k_1 + F/k_2$, quindi $$\frac{1}{k_{ser}} = \frac{1}{k_1} + \frac{1}{k_2}$$ Due molle uguali in serie hanno costante $k/2$: la molla lunga il doppio è più cedevole.

Il metodo generale: piccole oscillazioni attorno a un minimo di $U$

Un punto materiale si muove lungo una coordinata $x$ soggetto solo a forze conservative, con energia potenziale $U(x)$. La forza è $F = -dU/dx$ (Forze conservative ed energia potenzialeUna forza è conservativa se il suo lavoro dipende solo dalla posizione iniziale e finale (non dal percorso). Allora esiste un'energia potenziale U con W = −ΔU e F = −dU/dx: peso mgy, molla k(Δl)²/2. L'attrito non è conservativo. I minimi di U sono equilibri stabili.Forze conservative ed energia potenziale →).

• Equilibrio: dove $F = 0$, cioè $U'(x_0) = 0$.
• Stabile se $x_0$ è un minimo di $U$ ($U''(x_0) > 0$): spostato un po', il corpo viene richiamato indietro. Instabile se è un massimo.

Vicino al minimo si sviluppa $U$ con Taylor fino al secondo ordine (il termine di primo ordine è nullo perché $U'(x_0) = 0$):

$$U(x) \approx U(x_0) + \tfrac12 U''(x_0)\,(x - x_0)^2$$

È l'energia di una molla con costante $k_{eff} = U''(x_0)$. La forza vale $F \approx -U''(x_0)(x - x_0)$ e il moto è armonico con

$$\boxed{\omega = \sqrt{\frac{U''(x_0)}{m}}}$$

Per le rotazioni vale lo stesso con l'angolo $\theta$ e il momento d'inerzia: se l'equazione del moto per piccoli angoli si riduce a $I\ddot\theta = -\kappa\,\theta$, allora $\Omega = \sqrt{\kappa/I}$.

La ricetta per gli esercizi.

1. Trovare la posizione di equilibrio (forza risultante o momento risultante nullo).
2. Scrivere l'equazione del moto per un piccolo spostamento $s$ (o $\theta$) dall'equilibrio, approssimando $\sin\theta \approx \theta$, $\cos\theta \approx 1$.
3. Ridurla alla forma $\ddot s + \omega^2 s = 0$ e leggere $\omega$; il periodo è $T = 2\pi/\omega$.

Esempi

Esempio con il metodo dell'energia: il pendolo. $U(\theta) = m g \ell\,(1 - \cos\theta)$, con la coordinata $s = \ell\theta$ lungo l'arco. $\frac{d^2 U}{ds^2} = \frac{1}{\ell^2}\frac{d^2U}{d\theta^2} = \frac{m g \ell\cos\theta}{\ell^2}$, che in $\theta = 0$ vale $\frac{mg}{\ell}$. Quindi $\omega^2 = \frac{mg/\ell}{m} = \frac{g}{\ell}$ ✓.

Quanto deve essere piccola l'oscillazione. L'approssimazione regge finché il termine successivo dello sviluppo è trascurabile. Per il pendolo: a $10°$ il periodo vero supera quello armonico dello $0{,}2\%$, a $30°$ dell'$1{,}7\%$, a $90°$ del $18\%$. Nei temi d'esame "nell'approssimazione di piccole oscillazioni" vuol dire usare comunque la formula armonica.

Riassunto

Errori comuni

• Misurare l'ampiezza dalla lunghezza di riposo quando c'è una forza costante (peso, piano inclinato): l'oscillazione è attorno alla nuova posizione di equilibrio, e l'ampiezza si misura da lì.
• Sommare le costanti di molle in serie: in serie si sommano gli inversi.
• Applicare $\omega = \sqrt{U''/m}$ in un massimo di $U$: lì $U'' < 0$, l'equilibrio è instabile e il corpo si allontana invece di oscillare.
• Dire che l'energia cinetica media è $\frac12 E$ "perché è a metà strada": è vero per le medie nel tempo, non nella posizione $x = A/2$, dove $U = \frac14 E$ e $K = \frac34 E$.