Lavoro termodinamico

Il modo "meccanico" in cui un gas scambia energia con l'ambiente: spostando un pistone. Prima: Temperatura ed equilibrio termicoUn sistema termodinamico si descrive con poche variabili di stato (p, V, T, n), che hanno senso solo all'equilibrio. Due sistemi a contatto attraverso una parete diatermica raggiungono l'equilibrio termico; il principio zero permette di definire la temperatura e di misurarla con un termometro. Kelvin: T = t(°C) + 273,15.Temperatura ed equilibrio termico → e la definizione meccanica in Lavoro e potenzaIl lavoro di una forza lungo uno spostamento è il prodotto scalare F·Δr (forza costante) o l'integrale di linea di F·dr (caso generale); si misura in joule e può essere positivo, negativo o nullo. La potenza è il lavoro per unità di tempo, P = F·v.Lavoro e potenza →. Seguito: Primo principio della termodinamicaUn sistema scambia energia con l'ambiente come calore Q (assorbito: positivo) e come lavoro W (fatto dal sistema: positivo). La variazione di energia interna, che è una funzione di stato, è ΔU = Q − W. È la conservazione dell'energia estesa ai fenomeni termici.Primo principio della termodinamica →. Esercizi: Esercizio 76 · compressione a pressione esterna costante e ciclo con un tratto lineare, Esercizio 77 · compressore che gonfia un tubolare.

Il lavoro fatto da un gas su un pistone

Un gas è chiuso in un cilindro da un pistone di area $S$, libero di scorrere. Il gas spinge sul pistone con la forza $F = p\,S$ (perpendicolare al pistone, verso l'esterno). Se il pistone si sposta verso l'esterno di un tratto $dx$, il lavoro fatto dal gas è

$$dW = F\,dx = p\,S\,dx = p\,dV$$

perché $S\,dx$ è proprio l'aumento di volume $dV$. Per una variazione finita, dal volume $V_i$ al volume $V_f$:

$$\boxed{W = \int_{V_i}^{V_f} p\,dV}$$

Il risultato non dipende dalla forma del recipiente: vale per qualunque superficie che si deforma, perché conta solo la variazione di volume.

Convenzione dei segni

In termodinamica (e in questo corso) si usa la convenzione "della macchina":

• $W > 0$: lavoro fatto dal sistema sull'ambiente. Succede in un'espansione ($dV > 0$): il gas spinge il pistone e solleva pesi, muove ruote…
• $W < 0$: lavoro subito dal sistema, cioè fatto dall'ambiente sul gas. Succede in una compressione ($dV < 0$).
• $W = 0$ se il volume non cambia (trasformazione isocora, pistone bloccato).

Nei testi d'esame si trova sia "lavoro compiuto dal gas" sia "lavoro subito dal gas": il secondo è l'opposto del primo, e in una compressione è un numero positivo.

Trasformazioni quasistatiche, reversibili, irreversibili

Una trasformazione è il passaggio di un sistema da uno stato di equilibrio iniziale a uno finale.

• Quasistatica: avviene così lentamente che il sistema passa per una successione di stati di equilibrio. In ogni istante le variabili di stato sono definite, e la trasformazione si disegna come una curva nel piano di Clapeyron $(V, p)$. Si realizza, idealmente, togliendo dal pistone un granello di sabbia alla volta.
• Reversibile: quasistatica e senza attriti né altri effetti dissipativi. Si può ripercorrere all'indietro riportando sia il sistema sia l'ambiente allo stato iniziale. Nei testi: "compressione isoterma reversibile", "espansione reversibile".
• Irreversibile: tutte le altre. Tipicamente: si sblocca di colpo un pistone, si appoggia un peso, si mette il gas a contatto con un serbatoio a temperatura diversa, si fa espandere il gas nel vuoto. Il sistema passa per stati di non equilibrio: si conoscono solo lo stato iniziale e quello finale, e nel piano di Clapeyron si disegna (se si vuole) con una linea tratteggiata, solo per ricordare quali stati collega.

Quale pressione mettere nell'integrale

La definizione corretta in generale usa la pressione che l'ambiente esercita sul pistone, $p_{\text{est}}$. Infatti il lavoro scambiato è quello delle forze che il gas e l'ambiente si fanno attraverso il pistone, e per il terzo principio la forza del gas sul pistone, se il pistone ha massa trascurabile e nessun attrito, è uguale a quella dell'ambiente:

$$W = \int_{V_i}^{V_f} p_{\text{est}}\,dV$$

• Trasformazione quasistatica: ad ogni istante il gas è in equilibrio meccanico con l'esterno, $p_{\text{est}} = p$ (pressione del gas), e si torna a $W = \int p\,dV$ con $p$ data dall'equazione della curva (per un gas ideale $p = nRT/V$).
• Trasformazione irreversibile: la pressione del gas non è definita durante il processo, ma quella esterna sì (per esempio l'atmosfera più il peso di un blocco appoggiato sul pistone). Si usa $p_{\text{est}}$.

Caso più frequente all'esame: pressione esterna costante. Se l'ambiente spinge con pressione costante $p_{\text{est}}$ (atmosfera, pistone con un peso sopra, "pressione esterna bruscamente portata a…"):

$$W = p_{\text{est}}\,(V_f - V_i)$$

anche se la trasformazione è irreversibile. Alla fine il gas è di nuovo in equilibrio, quindi la sua pressione finale è $p_f = p_{\text{est}}$.

Esempio. Un gas a $p_A = 1{,}5 \times 10^5\ \text{Pa}$ in $V_A = 25\ \text{dm}^3$ si espande, sbloccando il pistone, contro l'atmosfera $p_0 = 1{,}01 \times 10^5\ \text{Pa}$, fino a $V_B = 61{,}7\ \text{dm}^3$. Il lavoro fatto dal gas è $W = p_0\,(V_B - V_A) = 1{,}01 \times 10^5 \cdot 36{,}7 \times 10^{-3} = 3{,}71 \times 10^3\ \text{J}$. Non si usa la pressione iniziale del gas, che è maggiore: il gas spinge con più forza solo all'inizio, ma l'energia ceduta all'ambiente è quella contro la pressione esterna.

Interpretazione grafica: l'area

Nel piano di Clapeyron (volume in ascissa, pressione in ordinata) l'integrale $\int_{V_i}^{V_f} p\,dV$ è l'area sotto la curva della trasformazione, tra $V_i$ e $V_f$:

• positiva se si va verso destra (espansione), negativa se si va verso sinistra (compressione);
• per una isobara ($p$ costante) è un rettangolo: $W = p\,(V_f - V_i)$;
• per una isocora ($V$ costante) è nulla: $W = 0$;
• per una trasformazione in cui $p$ varia linearmente con $V$ è un trapezio: $W = \frac{p_i + p_f}{2}\,(V_f - V_i)$ (la pressione media per la variazione di volume);
• per una isoterma di un gas ideale, $p = nRT/V$, l'area sotto l'iperbole è $W = nRT \ln\frac{V_f}{V_i}$ (calcolo in Trasformazioni dei gas idealiPer ogni trasformazione di un gas ideale si calcolano ΔU = n c_V ΔT, il lavoro W e il calore Q = ΔU + W. Isocora: W = 0. Isobara: W = nRΔT, Q = n c_p ΔT. Isoterma reversibile: ΔU = 0, Q = W = nRT ln(Vf/Vi). Adiabatica reversibile: Q = 0, pV^γ costante. Adiabatica irreversibile: n c_V ΔT = −p_est ΔV.Trasformazioni dei gas ideali →).

Esempio (trapezio). Un gas passa reversibilmente da $V_B = 10\ \text{dm}^3$, $p_B = 1{,}8 \times 10^5\ \text{Pa}$ a $V_C = 14{,}96\ \text{dm}^3$, $p_C = 2{,}5 \times 10^5\ \text{Pa}$ con la pressione che cresce linearmente. Lavoro fatto dal gas:

$$W = \frac{1{,}8 + 2{,}5}{2} \times 10^5 \cdot 4{,}96 \times 10^{-3} = 2{,}15 \times 10^5 \cdot 4{,}96 \times 10^{-3} \approx 1{,}07 \times 10^3\ \text{J}$$

(dall'Esercizio 76 · compressione a pressione esterna costante e ciclo con un tratto lineare).

Il lavoro dipende dal percorso

Tra gli stessi due stati A e B si può passare in molti modi, e il lavoro cambia. Esempio: da A $= (V_1, p_1)$ a B $= (V_2, p_2)$ con $V_2 > V_1$ e $p_2 < p_1$:

• prima isocora poi isobara (si abbassa la pressione a volume fisso, poi ci si espande a $p_2$): $W = p_2\,(V_2 - V_1)$;
• prima isobara poi isocora (ci si espande a $p_1$, poi si abbassa la pressione): $W = p_1\,(V_2 - V_1)$, più grande.

Quindi il lavoro non è una funzione di stato: non si può parlare del "lavoro posseduto" da un gas in uno stato, ma solo del lavoro scambiato durante una trasformazione. Per questo si scrive $\delta W$ (o $dW$ con cautela) e non si può scrivere $W = W_B - W_A$.

Lavoro in un ciclo

Un ciclo è una trasformazione che riporta il sistema nello stato iniziale. Nel piano di Clapeyron è una curva chiusa, e il lavoro totale è l'area racchiusa:

• positivo se il ciclo è percorso in senso orario (l'espansione avviene a pressione più alta della compressione: il gas fa più lavoro di quanto ne subisce). È il caso delle macchine termiche;
• negativo se percorso in senso antiorario (macchine frigorifere).

Tornando allo stato iniziale le variabili di stato riprendono i loro valori, ma il lavoro totale in generale non è zero: è un'altra conferma che non è una funzione di stato. Su questo si basano le Macchine termiche e frigorifereUna macchina termica ripete un ciclo: assorbe calore, ne cede una parte e trasforma il resto in lavoro, con rendimento η = W/Qass = 1 − |Qced|/Qass. Il frigorifero percorre il ciclo al contrario. Cicli di Stirling, Otto e Diesel.Macchine termiche e frigorifere →.

Riassunto

Errori comuni

• Usare la pressione del gas in una trasformazione irreversibile: conta la pressione esterna. Nell'esempio dell'espansione contro l'atmosfera, usare $p_A$ dà un lavoro sbagliato del $50\%$.
• Sbagliare il segno: in una compressione il lavoro fatto dal gas è negativo; se il testo chiede il "lavoro subito" si dà il numero cambiato di segno.
• Lasciare i volumi in dm³: con $p$ in Pa il volume va in m³, altrimenti il risultato è mille volte troppo grande.
• Scrivere $W = p\,\Delta V$ per qualunque trasformazione: vale solo se la pressione (esterna) è costante.