Esercizio 76compressione a pressione esterna costante e ciclo con un tratto lineare

Testo (secondo compitino del 14 giugno 2023, problema 3, domande a, b, c). $n = 0{,}6$ moli di gas ideale biatomico sono contenute in un cilindro con pareti diatermiche chiuso superiormente da un pistone. Inizialmente il gas è nello stato A in equilibrio termico con l'ambiente alla temperatura $T_A = 300$ K e alla pressione $p_A = 10^5$ Pa. Il gas viene compresso imprimendo sul pistone una pressione esterna (inclusiva di quella dell'ambiente) $p_{\text{est}} = 1{,}8 \cdot 10^5$ Pa, fino al raggiungimento dello stato B con $p_B = p_{\text{est}}$ e $V_B = 10\ \text{dm}^3$. Successivamente il gas viene riscaldato reversibilmente fino a raggiungere il volume $V_C = V_A$; in questa trasformazione reversibile BC la pressione cresce gradatamente in maniera lineare fino al valore $p_C = 2{,}5 \cdot 10^5$ Pa. Infine il gas viene riportato nello stato iniziale A con un raffreddamento isocoro reversibile. Ricordando che la costante universale dei gas ideali vale $R = 8{,}31$ J/(K·mole), determinare:

a) il volume iniziale del gas $V_A$ e la temperatura $T_B$ dello stato B;

b) il lavoro subito dal gas $W_{AB}$ e il calore scambiato $Q_{AB}$ nella trasformazione AB;

c) il lavoro compiuto dal gas nella trasformazione BC e il rendimento del ciclo (suggerimento: si disegni il ciclo nel piano di Clapeyron e si consideri l'area del trapezio al di sotto della curva BC rappresentativa della trasformazione).

Figura del tema: nel piano di Clapeyron, B in basso a sinistra, C in alto a destra (segmento rettilineo BC con freccia verso C), A sotto C sulla stessa verticale (segmento verticale CA con freccia verso il basso); da A a B una linea ondulata, che indica una trasformazione irreversibile. Il ciclo è percorso in senso orario.

(La domanda d chiede la variazione di entropia dell'universo: è svolta, insieme a tutto il problema, in Esercizio 89 · compressione a pressione esterna costante; il metodo è in Calcolo delle variazioni di entropiaLe formule di ΔS per i casi d'esame: serbatoio Q/T, corpo che cambia temperatura mc ln(T2/T1), cambiamento di fase mλ/T, gas ideale n cV ln(T2/T1) + nR ln(V2/V1). Per le trasformazioni irreversibili si integra lungo una reversibile con gli stessi estremi.Calcolo delle variazioni di entropia →.)

Il quadro della situazione

Gas biatomico: $c_V = \frac52 R$, $c_p = \frac72 R$ (Energia interna e calori specifici dei gas idealiL'energia interna di un gas ideale dipende solo dalla temperatura: ΔU = n c_V ΔT in qualunque trasformazione. I calori molari a volume e a pressione costante sono legati dalla relazione di Mayer c_p = c_V + R. Monoatomico: c_V = 3R/2; biatomico: c_V = 5R/2; γ = c_p/c_V.Energia interna e calori specifici dei gas ideali →).

a) Volume iniziale e temperatura di B

Lo stato A è di equilibrio, con $p_A$ e $T_A$ noti: dall'equazione di statopV = nRT, con p in Pa, V in m³, T in K.Gas ideali - equazione di stato →

$$V_A = \frac{nRT_A}{p_A} = \frac{0{,}6 \cdot 8{,}31 \cdot 300}{10^5}\ \text{m}^3 = 1{,}496 \times 10^{-2}\ \text{m}^3 = 14{,}96\ \text{dm}^3$$

Anche B è uno stato di equilibrio (il gas ha raggiunto la pressione esterna), con $p_B$ e $V_B$ noti:

$$T_B = \frac{p_B V_B}{nR} = \frac{1{,}8 \times 10^5 \cdot 10 \times 10^{-3}}{0{,}6 \cdot 8{,}31} = \frac{1800}{4{,}986} = 361\ \text{K}$$

Il gas si è scaldato nella compressione: la compressione è stata rapida, e il lavoro subito è finito in parte in energia interna.

b) Lavoro e calore nella compressione AB

Il lavoro

La compressione è irreversibile (il pistone viene spinto con una pressione esterna fissa, molto più alta di quella del gas): durante il processo la pressione del gas non è definita. Ma la pressione esterna è costante e nota, quindi il lavoro si calcola con la pressione esternaIn una trasformazione irreversibile W = ∫p_est dV; con p_est costante diventa p_est per la variazione di volume.Lavoro termodinamico →:

$$W_{AB} = p_{\text{est}}\,(V_B - V_A) = 1{,}8 \times 10^5 \cdot (10 - 14{,}96) \times 10^{-3} = -892\ \text{J}$$

Il segno meno dice che il gas subisce lavoro: il lavoro compiuto dal gas è $-892$ J, cioè il lavoro subito vale $+892$ J. (La soluzione del tema scrive "$W_{AB} = -893$ J" pur chiamandolo "lavoro subito": il numero con il segno meno è il lavoro compiuto dal gas, che è quello che entra nel primo principio scritto come $\Delta U = Q - W$. La differenza nell'ultima cifra viene dall'arrotondamento di $V_A$.)

Perché non si usa $p_A$ o una media: il gas è stato spinto dall'ambiente con pressione costante $p_{\text{est}}$ per tutta la corsa del pistone; l'energia trasferita è forza per spostamento, cioè $p_{\text{est}} \cdot S \cdot \Delta x = p_{\text{est}}\,|\Delta V|$.

L'energia interna

$\Delta U$ dipende solo dalle temperature iniziale e finalePer un gas ideale U dipende solo da T, quindi ΔU = n c_V ΔT anche nelle trasformazioni irreversibili.Energia interna e calori specifici dei gas ideali →, anche se la trasformazione è irreversibile:

$$\Delta U_{AB} = n c_V (T_B - T_A) = 0{,}6 \cdot \tfrac52 \cdot 8{,}31 \cdot (361 - 300) = 760\ \text{J}$$

Il calore

Dal primo principioΔU = Q − W, quindi Q = ΔU + W.Primo principio della termodinamica →:

$$Q_{AB} = \Delta U_{AB} + W_{AB} = 760 + (-892) = -132\ \text{J}$$

Il gas cede $132$ J di calore all'ambiente (le pareti sono diatermiche). Interpretazione: dei $892$ J di lavoro ricevuti, $760$ J restano nel gas come energia interna e $132$ J escono come calore.

c) Lavoro nel tratto BC e rendimento del ciclo

Il lavoro in BC: l'area del trapezio

Il tratto BC è reversibile, quindi il gas è sempre in equilibrio e il lavoro è l'area sotto la curva nel piano di Clapeyron. La curva è un segmento (pressione lineare nel volume), e l'area sotto di esso, tra $V_B$ e $V_C$, è un trapezio con basi $p_B$ e $p_C$ e altezza $V_C - V_B$:

$$W_{BC} = \frac{p_B + p_C}{2}\,(V_C - V_B) = \frac{(1{,}8 + 2{,}5) \times 10^5}{2} \cdot (14{,}96 - 10) \times 10^{-3} = 2{,}15 \times 10^5 \cdot 4{,}96 \times 10^{-3} = 1066\ \text{J}$$

(La soluzione ufficiale lo scrive come rettangolo più triangolo: $p_B(V_C - V_B) + \frac12 (p_C - p_B)(V_C - V_B)$, che è la stessa area.) Positivo: in BC il gas si espande e compie lavoro.

Calori degli altri tratti

Per il rendimento servono i calori, per sapere quale è assorbito.

Tratto BC. Temperatura di C dall'equazione di stato:

$$T_C = \frac{p_C V_C}{nR} = \frac{2{,}5 \times 10^5 \cdot 14{,}96 \times 10^{-3}}{0{,}6 \cdot 8{,}31} = 750\ \text{K}$$

$$\Delta U_{BC} = n c_V (T_C - T_B) = 0{,}6 \cdot \tfrac52 \cdot 8{,}31 \cdot (750 - 361) = 4849\ \text{J}$$

$$Q_{BC} = \Delta U_{BC} + W_{BC} = 4849 + 1066 = 5915\ \text{J} \quad (\text{assorbito})$$

Tratto CA (isocoro, $W = 0$):

$$Q_{CA} = \Delta U_{CA} = n c_V (T_A - T_C) = 0{,}6 \cdot \tfrac52 \cdot 8{,}31 \cdot (300 - 750) = -5609\ \text{J} \quad (\text{ceduto})$$

Lavoro totale e rendimento

Il lavoro totale del ciclo è la somma dei lavori dei tre tratti (CA non ne fa):

$$W_{\text{tot}} = W_{AB} + W_{BC} + W_{CA} = -892 + 1066 + 0 = 174\ \text{J}$$

L'unico calore positivo è $Q_{BC}$, quindi $Q_{\text{ass}} = Q_{BC} = 5915$ J. Il rendimentoFrazione del calore assorbito che una macchina ciclica trasforma in lavoro: η = W_tot / Q_ass.Macchine termiche e frigorifere → è

$$\eta = \frac{W_{\text{tot}}}{Q_{\text{ass}}} = \frac{174}{5915} = 0{,}029$$

cioè circa il $3\%$: una macchina pessima, perché il ciclo è molto "stretto" (piccola area racchiusa) rispetto al calore che serve per scaldare il gas da $361$ a $750$ K.

Controllo con il primo principio sul ciclo: $\sum \Delta U = 760 + 4849 - 5609 = 0$ ✓, e $\sum Q = -132 + 5915 - 5609 = 174\ \text{J} = W_{\text{tot}}$ ✓.

Risultati

Errori comuni

• Calcolare $W_{AB}$ con $\int p\,dV$ e $p = nRT/V$: la compressione è irreversibile, il gas non segue nessuna curva; si usa la pressione esterna.
• Mettere nel rendimento il calore totale $\sum Q$ invece del solo calore assorbito: al denominatore va solo la somma dei $Q > 0$.
• Pensare che con pareti diatermiche $T_B$ debba essere $300$ K: lo stato B è raggiunto subito dopo la compressione, che è rapida; i testi danno $V_B$ e $p_B$, e da lì $T_B$.
• Dimenticare il segno di $W_{AB}$ nel lavoro totale: sommando $+892$ si troverebbe un rendimento del $33\%$, assurdo per un ciclo così.