Energia cinetica e teorema dell'energia cinetica

Prima: Lavoro e potenzaIl lavoro di una forza lungo uno spostamento è il prodotto scalare F·Δr (forza costante) o l'integrale di linea di F·dr (caso generale); si misura in joule e può essere positivo, negativo o nullo. La potenza è il lavoro per unità di tempo, P = F·v.Lavoro e potenza →. Seguito: Forze conservative ed energia potenzialeUna forza è conservativa se il suo lavoro dipende solo dalla posizione iniziale e finale (non dal percorso). Allora esiste un'energia potenziale U con W = −ΔU e F = −dU/dx: peso mgy, molla k(Δl)²/2. L'attrito non è conservativo. I minimi di U sono equilibri stabili.Forze conservative ed energia potenziale →, Conservazione dell'energia meccanicaL'energia meccanica E = K + U resta costante se compiono lavoro solo forze conservative. Se lavorano anche forze non conservative (attrito), la variazione di E è uguale al loro lavoro: W_nc = E_B − E_A. Il grafico di U(x) con la retta E mostra dove il moto è possibile e i punti di inversione.Conservazione dell'energia meccanica →. Esercizi: Esercizio 35 · forza tangente su una guida circolare, Esercizio 36 · blocchetto che frena e cade su un piano inclinato.

L'idea in una dimensione

Un punto di massa $m$ si muove lungo l'asse $x$ sotto una forza $F_x(x)$, anche variabile. Calcoliamo il lavoro della forza tra $x_A$ e $x_B$ usando la seconda legge di Newton $F_x = m a$ e il trucco già visto in Moto rettilineo - posizione, velocità e accelerazioneIl moto lungo una retta è descritto dalla legge oraria x(t); la velocità è la sua derivata, l'accelerazione la derivata della velocità. Integrando si torna indietro: v e x si ricavano da a e dalle condizioni iniziali.Moto rettilineo - posizione, velocità e accelerazione →, $a = v\,\frac{dv}{dx}$:

$$W = \int_{x_A}^{x_B} F_x\,dx = \int_{x_A}^{x_B} m\,v\,\frac{dv}{dx}\,dx = \int_{v_A}^{v_B} m\,v\,dv = \tfrac12 m v_B^2 - \tfrac12 m v_A^2$$

Il lavoro della forza è diventato la variazione di una quantità che dipende solo dalla velocità. Quella quantità ha un nome.

Energia cinetica

L'energia cinetica di un punto materiale di massa $m$ e velocità $\vec v$ è

$$\boxed{K = \tfrac12 m v^2}$$

• È uno scalare e non dipende dalla direzione del moto: conta solo il modulo $v = |\vec v|$.
• È sempre $\ge 0$, e vale zero solo se il corpo è fermo.
• Si misura in joule, come il lavoro: $[\tfrac12 m v^2] = \text{kg}\cdot\text{m}^2/\text{s}^2 = \text{J}$.
• Dipende dal quadrato della velocità: raddoppiando la velocità l'energia cinetica quadruplica.
• Dipende dal sistema di riferimento (un passeggero ha $K = 0$ rispetto al treno e $K > 0$ rispetto ai binari).

Esempio. Un'auto di $1000\ \text{kg}$ a $72\ \text{km/h} = 20\ \text{m/s}$ ha $K = \frac12 \cdot 1000 \cdot 400 = 2 \times 10^5\ \text{J}$.

Il teorema dell'energia cinetica

Teorema. Il lavoro compiuto da tutte le forze che agiscono su un punto materiale, mentre questo va dalla posizione $A$ alla posizione $B$ lungo un percorso qualsiasi, è uguale alla variazione della sua energia cinetica: $$W_{\text{tot}, A \to B} = K_B - K_A = \tfrac12 m v_B^2 - \tfrac12 m v_A^2$$

Dimostrazione nel caso generale (tre dimensioni). Sia $\vec F$ la risultante delle forze. Per la seconda legge $\vec F = m\,\frac{d\vec v}{dt}$, e lo spostamento elementare è $d\vec r = \vec v\,dt$. Il lavoro elementare è

$$dW = \vec F \cdot d\vec r = m\,\frac{d\vec v}{dt} \cdot \vec v\,dt = m\,\vec v \cdot d\vec v$$

Ora $\vec v \cdot \vec v = v^2$; differenziando, $d(v^2) = 2\,\vec v \cdot d\vec v$, cioè $\vec v \cdot d\vec v = \frac12\,d(v^2)$. Quindi

$$dW = \tfrac12 m\,d(v^2) = d\!\left(\tfrac12 m v^2\right) = dK$$

e integrando da $A$ a $B$ si ottiene $W_{\text{tot}} = K_B - K_A$. $\square$

Cosa significa "tutte le forze". Nel lavoro totale vanno messe tutte le forze: peso, normale, attrito, tensioni, molle, forze applicate. Quelle che non compiono lavoro (per esempio la normale di un piano fermo) danno contributo zero, ma bisogna averlo verificato.

Lettura fisica:

• $W_{\text{tot}} > 0$: le forze nel complesso spingono, il corpo accelera (il modulo della velocità aumenta);
• $W_{\text{tot}} < 0$: le forze nel complesso frenano, il corpo rallenta;
• $W_{\text{tot}} = 0$: il modulo della velocità non cambia (come nel moto circolare uniforme, dove l'unica forza è centripeta e perpendicolare alla velocità).

Quando conviene usarlo

Il teorema è un'equazione scalare che lega velocità e posizioni, senza il tempo. È lo strumento giusto quando:

• si chiede la velocità in un certo punto (fine di una rampa, fondo di una guida, compressione massima di una molla);
• le forze dipendono dalla posizione (molle), e integrare $F = ma$ nel tempo sarebbe difficile;
• il percorso è curvo ma si sanno calcolare i lavori (peso: dislivello; normale: zero).

Non dice invece quanto tempo serve, né la direzione della velocità: per quello servono le leggi di Newton e la cinematica.

Esempi

Spazio di frenata con attrito

Un'auto a $v_0 = 20\ \text{m/s}$ frena bloccando le ruote su asfalto con coefficiente di attrito dinamico $\mu_D = 0{,}7$. Che spazio $d$ percorre?

1. Stati: $A$ = inizio frenata ($v_A = v_0$), $B$ = auto ferma ($v_B = 0$).
2. Forze e loro lavoro: peso e normale sono verticali, lo spostamento è orizzontale: lavoro nullo. L'attrito vale $\mu_D N = \mu_D m g$ (sul piano orizzontale $N = mg$) ed è opposto al moto: $W_{\text{attr}} = -\mu_D m g\,d$.
3. Teorema: $-\mu_D m g\,d = 0 - \frac12 m v_0^2$, quindi $$d = \frac{v_0^2}{2\mu_D g} = \frac{400}{2 \cdot 0{,}7 \cdot 9{,}81} \approx 29{,}1\ \text{m}$$

La massa si semplifica: un camion e un'utilitaria con le stesse gomme si fermano nello stesso spazio (se l'attrito è davvero $\mu_D m g$).

Discesa da un piano inclinato con attrito

Un blocchetto parte da fermo dalla cima di un piano inclinato di $\vartheta = 30°$, alto $h = 2\ \text{m}$, con $\mu_D = 0{,}2$. Con che velocità arriva in fondo?

• Lunghezza del piano: $L = h / \sin\vartheta = 2 / 0{,}5 = 4\ \text{m}$.
• Lavoro del peso: $+mgh$ (scende di $h$).
• Lavoro della normale: $0$.
• Lavoro dell'attrito: la normale vale $N = mg\cos\vartheta$ (Piano inclinatoSul piano inclinato si prendono gli assi lungo il piano e perpendicolare: il peso si scompone in mg sinθ (lungo il piano) e mg cosθ (contro il piano), N = mg cosθ. Senza attrito a = g sinθ; con attrito dinamico a = g(sinθ − μ cosθ) in discesa, −g(sinθ + μ cosθ) in salita; resta fermo se tanθ ≤ μs.Piano inclinato →), quindi $W_{\text{attr}} = -\mu_D m g\cos\vartheta\,L$.

$$\tfrac12 m v^2 - 0 = mgh - \mu_D m g\cos\vartheta\,L \quad \Longrightarrow \quad v = \sqrt{2g\,(h - \mu_D\cos\vartheta\,L)}$$

$$v = \sqrt{2 \cdot 9{,}81 \cdot (2 - 0{,}2 \cdot 0{,}866 \cdot 4)} = \sqrt{19{,}62 \cdot 1{,}307} \approx 5{,}06\ \text{m/s}$$

Senza attrito sarebbe $v = \sqrt{2gh} \approx 6{,}26\ \text{m/s}$.

Potenza e energia cinetica

Dividendo $dW = dK$ per $dt$: la potenza totale delle forze è la rapidità con cui cambia l'energia cinetica,

$$P_{\text{tot}} = \vec F \cdot \vec v = \frac{dK}{dt}$$

Se un motore lavora a potenza costante $P$ e non ci sono altre forze che compiono lavoro, $K$ cresce linearmente nel tempo: $K(t) = K_0 + P\,t$.

Riassunto

Errori comuni

• Dimenticare una forza nel lavoro totale, tipicamente l'attrito o una forza applicata.
• Mettere nel teorema la velocità con segno come se fosse un vettore: in $K$ entra $v^2$, il segno non conta.
• Sommare energie cinetiche con velocità in km/h: le velocità vanno in m/s, le masse in kg, altrimenti non escono joule.
• Usare il teorema per trovare una forza di reazione: le reazioni normali si trovano con la seconda legge proiettata lungo la normale (con l'accelerazione centripeta $v^2/R$ se il moto è curvo, Forza centripeta nel moto curvilineoIn un moto curvilineo l'accelerazione ha una componente normale v²/R verso il centro di curvatura, quindi la risultante delle forze lungo la normale deve valere m v²/R. La "forza centripeta" non è una forza nuova: è il ruolo che giocano attrito, normale, tensione o peso.Forza centripeta nel moto curvilineo →); il teorema serve solo a trovare $v$.