Moti relativi: velocità e accelerazione di trascinamento

Inizio del capitolo sui moti relativi. Serve la derivata dei vettori e dei versori (Derivata e integrale di un vettoreUn vettore che dipende dal tempo si deriva e si integra componente per componente. La derivata di un versore è perpendicolare al versore e vale dφ/dt per il versore normale: per questo la derivata di un vettore ha una parte parallela (cambia il modulo) e una perpendicolare (cambia la direzione).Derivata e integrale di un vettore →) e il Moto circolareSulla circonferenza la posizione è data dall'angolo θ(t): s = Rθ, v = ωR con ω = dθ/dt. Moto uniforme: periodo T = 2π/ω, accelerazione solo centripeta ω²R. Moto non uniforme: anche accelerazione tangenziale αR. In forma vettoriale v = ω × r.Moto circolare →. Seguito: Sistemi di riferimento non inerziali e forze apparentiIn un riferimento accelerato o rotante la legge di Newton vale solo aggiungendo forze apparenti: −m·a_t (trascinamento, con la centrifuga) e −2m·ω×v' (Coriolis). Non sono interazioni tra corpi e non hanno reazione. Esempi: ascensore, pendolo su un vagone, blocco su una piattaforma, giostra, Terra.Sistemi di riferimento non inerziali e forze apparenti →. Esercizi: Esercizio 40 · blocchetto su una piattaforma che scende lungo un piano inclinato, Esercizio 41 · blocchetto su una piattaforma frenata da una molla, Esercizio 45 · pendolo appeso a una piattaforma libera.

Il problema

Il moto di un corpo dipende dal riferimento da cui lo si osserva. Una valigia appoggiata sul pavimento di un treno è ferma per il passeggero e si muove a $30\ \text{m/s}$ per chi è sulla banchina. Negli esercizi capita spesso di conoscere il moto in un riferimento (il blocchetto scivola sulla piattaforma) e di doverlo descrivere in un altro (il blocchetto rispetto al piano su cui la piattaforma si muove), o viceversa. Servono le formule per passare da uno all'altro.

Si usano due riferimenti:

• $S$ (assi $x, y, z$, origine $O$), detto fisso o assoluto: di solito il suolo;
• $S'$ (assi $x', y', z'$, origine $O'$), detto mobile o relativo: il treno, la piattaforma, il disco che ruota.

Il tempo è lo stesso nei due riferimenti ($t' = t$): in meccanica classica gli orologi non dipendono da come ci si muove.

Le grandezze misurate in $S$ si chiamano assolute ($\vec r, \vec v, \vec a$), quelle misurate in $S'$ relative (\vec r\,', \vec v\,', \vec a\,').

Posizione

Se $\vec r_{O'}$ è la posizione dell'origine mobile $O'$ vista da $S$, la posizione del punto $P$ è

\vec r = \vec r_{O'} + \vec r\,'

(per andare da $O$ a $P$ si passa da $O'$).

Caso 1: $S'$ trasla senza ruotare

Gli assi di $S'$ restano sempre paralleli a quelli di $S$ (come un vagone su un binario dritto, o una piattaforma che scivola su un piano). Allora i versori di $S'$ sono costanti e derivando la relazione delle posizioni si ottiene semplicemente

\boxed{\vec v = \vec v\,' + \vec v_{O'}} \qquad\qquad \boxed{\vec a = \vec a\,' + \vec a_{O'}}

• $\vec v_{O'}$ è la velocità di trascinamento: la velocità che il punto avrebbe se fosse fermo in $S'$ e venisse solo "trascinato" dal riferimento mobile;
• $\vec a_{O'}$ è l'accelerazione di trascinamento.

In parole: velocità assoluta = velocità relativa + velocità di trascinamento, e lo stesso per le accelerazioni. Rigirando: \vec v\,' = \vec v - \vec v_{O'} e \vec a\,' = \vec a - \vec a_{O'}, cioè la grandezza relativa è "assoluta del punto meno assoluta del riferimento".

Esempio: la barca sul fiume. Una barca punta perpendicolarmente alla riva e si muove rispetto all'acqua a $v' = 2\ \text{m/s}$; la corrente trascina l'acqua parallelamente alla riva a $v_{O'} = 1{,}5\ \text{m/s}$. Rispetto alla riva la barca ha velocità \vec v = \vec v\,' + \vec v_{O'}, somma di due vettori perpendicolari:

$$v = \sqrt{2^2 + 1{,}5^2} = 2{,}5\ \text{m/s}, \qquad \text{inclinata di } \arctan\frac{1{,}5}{2} \approx 36{,}9° \text{ rispetto alla perpendicolare alla riva}$$

Se il fiume è largo $40\ \text{m}$, la barca impiega $40 / 2 = 20\ \text{s}$ (conta solo la componente perpendicolare alla riva) e approda $1{,}5 \cdot 20 = 30\ \text{m}$ più a valle.

Esempio: la pioggia vista dal treno. La pioggia cade verticalmente a $8\ \text{m/s}$, il treno corre a $20\ \text{m/s}$. Per il passeggero \vec v\,' = \vec v - \vec v_{\text{treno}}: componente orizzontale $-20\ \text{m/s}$ (all'indietro), verticale $-8\ \text{m/s}$. Le gocce sul finestrino scendono inclinate di $\arctan(20/8) \approx 68°$ rispetto alla verticale.

Esempio: blocchetto su una piattaforma. Una piattaforma scende lungo un piano inclinato con accelerazione $a_M$; sopra di essa un blocchetto scivola senza attrito con accelerazione assoluta $a_m$ (lungo la stessa direzione). Rispetto alla piattaforma il blocchetto ha accelerazione $a'_m = a_m - a_M$, ed è questa che serve per sapere quando arriva in fondo alla piattaforma: Esercizio 40 · blocchetto su una piattaforma che scende lungo un piano inclinato.

Le trasformazioni di Galileo

Caso particolare: $S'$ trasla con velocità costante $\vec V$ rispetto a $S$, e le origini coincidono a $t = 0$. Scegliendo gli assi $x$ e $x'$ nella direzione di $\vec V$:

$$x = x' + V t, \qquad y = y', \qquad z = z', \qquad t = t'$$

e quindi $v_x = v'_x + V$, mentre \vec a = \vec a\,' perché $\vec a_{O'} = 0$.

Conseguenza fondamentale: due riferimenti in moto relativo rettilineo uniforme misurano la stessa accelerazione. Siccome le forze (interazioni tra corpi) sono le stesse, la legge $\vec F = m\vec a$ vale identica in entrambi. Se un riferimento è inerziale (vale il primo principio, Leggi di NewtonLe tre leggi della dinamica: un corpo senza forze mantiene la sua velocità (nei sistemi inerziali), F = m a, e a ogni azione corrisponde una reazione uguale e opposta. Metodo per risolvere i problemi: diagramma di corpo libero, assi, proiezioni.Leggi di Newton →), lo è anche ogni altro riferimento che si muove di moto rettilineo uniforme rispetto a lui. Nessun esperimento di meccanica fatto dentro un treno che viaggia a velocità costante su un binario dritto può rivelare se il treno si muove (principio di relatività galileiana).

Caso 2: $S'$ ruota

Se $S'$ ruota con velocità angolare $\vec\omega$ (vettore lungo l'asse di rotazione, verso dato dalla regola della mano destra, modulo = angolo percorso al secondo), i suoi versori $\hat\imath', \hat\jmath', \hat k'$ cambiano direzione nel tempo. La derivata di un versore che ruota con velocità angolare $\vec\omega$ è (formula di Poisson)

$$\frac{d\hat\imath'}{dt} = \vec\omega \times \hat\imath', \qquad \frac{d\hat\jmath'}{dt} = \vec\omega \times \hat\jmath', \qquad \frac{d\hat k'}{dt} = \vec\omega \times \hat k'$$

Velocità

Si scrive $\vec r = \vec r_{O'} + x'\hat\imath' + y'\hat\jmath' + z'\hat k'$ e si deriva tutto, anche i versori (prodotto di funzioni):

\vec v = \vec v_{O'} + \underbrace{(\dot x'\hat\imath' + \dot y'\hat\jmath' + \dot z'\hat k')}_{\vec v\,'} + \underbrace{(x'\,\vec\omega \times \hat\imath' + y'\,\vec\omega \times \hat\jmath' + z'\,\vec\omega \times \hat k')}_{\vec\omega \times \vec r\,'}

(il punto sopra indica la derivata rispetto al tempo). Quindi

\boxed{\vec v = \vec v\,' + \underbrace{\vec v_{O'} + \vec\omega \times \vec r\,'}_{\text{velocità di trascinamento}}}

Il trascinamento è ancora "la velocità che avrebbe il punto se fosse fermo in $S'$": quella dell'origine più quella dovuta alla rotazione, come un punto di un disco che gira (Moto circolareSulla circonferenza la posizione è data dall'angolo θ(t): s = Rθ, v = ωR con ω = dθ/dt. Moto uniforme: periodo T = 2π/ω, accelerazione solo centripeta ω²R. Moto non uniforme: anche accelerazione tangenziale αR. In forma vettoriale v = ω × r.Moto circolare →: $v = \omega r$).

Accelerazione

Derivando ancora (con la stessa regola: ogni volta che si deriva un vettore scritto con i versori mobili compare un termine $\vec\omega \times$) si ottiene il teorema di Coriolis:

\boxed{\vec a = \vec a\,' + \underbrace{\vec a_{O'} + \frac{d\vec\omega}{dt} \times \vec r\,' + \vec\omega \times (\vec\omega \times \vec r\,')}_{\vec a_t \ \text{(trascinamento)}} + \underbrace{2\,\vec\omega \times \vec v\,'}_{\vec a_c \ \text{(Coriolis)}}}

Il significato dei termini:

I primi tre termini dopo \vec a\,' formano l'accelerazione di trascinamento: è l'accelerazione che avrebbe il punto se fosse fermo in $S'$. Il termine di Coriolis è la novità: non dipende da dove si trova il punto, ma da come si muove rispetto al riferimento che ruota.

Da dove viene il fattore 2. Il termine \vec\omega \times \vec v\,' compare due volte: una derivando i versori dentro \vec v\,', una derivando \vec r\,' dentro \vec\omega \times \vec r\,'.

Esempio: la formica sul giradischi. Un disco ruota con $\omega = 2\ \text{rad/s}$ costante; una formica cammina lungo un raggio verso l'esterno a $v' = 0{,}05\ \text{m/s}$ rispetto al disco. Quando è a $r' = 0{,}1\ \text{m}$ dal centro:

• accelerazione relativa: \vec a\,' = 0 (cammina a velocità costante lungo il raggio);
• trascinamento: solo il termine centripeto, $\omega^2 r' = 4 \cdot 0{,}1 = 0{,}4\ \text{m/s}^2$ verso il centro ($\vec a_{O'} = 0$, $\omega$ costante);
• Coriolis: \vec\omega \perp \vec v\,', quindi |2\vec\omega \times \vec v\,'| = 2 \cdot 2 \cdot 0{,}05 = 0{,}2\ \text{m/s}^2, perpendicolare al raggio, nel verso di rotazione del disco.

Perché c'è Coriolis: allontanandosi dal centro la formica passa in zone del disco che si muovono più veloci ($\omega r$ cresce), quindi rispetto al suolo la sua velocità tangenziale deve aumentare, e per questo serve un'accelerazione nel verso della rotazione.

Riassunto

Errori comuni

• Sbagliare il verso della sottrazione: la relativa è \vec v\,' = \vec v - \vec v_{O'} (assoluta del punto meno quella del riferimento), non il contrario.
• Sommare i moduli invece dei vettori: $2\ \text{m/s}$ e $1{,}5\ \text{m/s}$ perpendicolari danno $2{,}5\ \text{m/s}$, non $3{,}5$.
• Dimenticare Coriolis quando il punto si muove su un riferimento che ruota.
• Pensare che il moto relativo dia l'accelerazione relativa "gratis": le leggi di Newton danno le accelerazioni assolute (in un riferimento inerziale); quelle relative si ottengono dopo, per differenza.