Esercizio 30bilancia in ascensore

Testo (esercizio di allenamento sul peso apparente). Una persona di massa $m = 70$ kg sta in piedi su una bilancia pesapersone, sul pavimento di un ascensore inizialmente fermo al piano terra. L'ascensore:

1. parte verso l'alto con accelerazione costante $a_1 = 1{,}5$ m/s² per $t_1 = 2$ s;
2. sale poi a velocità costante per $t_2 = 10$ s;
3. infine frena con decelerazione costante di modulo $2$ m/s² fino a fermarsi.

Determinare:

a) che cosa segna la bilancia (in newton e "in kg", cioè la forza divisa per $g$) in ciascuna delle tre fasi; b) la durata della frenata e l'altezza totale salita; c) che cosa segnerebbe la bilancia se, durante la salita, il cavo si spezzasse e l'ascensore cadesse liberamente.

Impostazione

Che cosa misura una bilancia. Una bilancia pesapersone non misura la massa e nemmeno direttamente il peso: misura la forza con cui la persona la schiaccia, cioè (per il terzo principio) la reazione normale $N$ che la bilancia esercita sulla persona (Reazioni vincolari, forza peso e peso apparenteLa forza peso è m g, verso il basso. Un vincolo (piano, guida) esercita una reazione che si ricava da F = m a: la componente normale può solo spingere, e si annulla quando il corpo si stacca. Il peso apparente è la reazione del pavimento, diversa da m g se si accelera (ascensore).Reazioni vincolari, forza peso e peso apparente →). Poi la divide per $g = 9{,}81$ m/s² e mostra il risultato in kg. Quando la persona è ferma $N = mg$ e la bilancia segna la massa vera; in un ascensore che accelera no.

L'equazione. Asse $y$ verticale verso l'alto. Sulla persona agiscono il peso $-mg$ e la normale $+N$. La persona si muove insieme all'ascensore, quindi ha la sua stessa accelerazione $a$ (Leggi di NewtonLe tre leggi della dinamica: un corpo senza forze mantiene la sua velocità (nei sistemi inerziali), F = m a, e a ogni azione corrisponde una reazione uguale e opposta. Metodo per risolvere i problemi: diagramma di corpo libero, assi, proiezioni.Leggi di Newton →):

$$N - m g = m a \quad\Longrightarrow\quad N = m\,(g + a)$$

Tutto dipende dal segno di $a$: positivo se l'accelerazione punta in alto (l'ascensore parte salendo, oppure frena mentre scende), negativo se punta in basso.

a) Che cosa segna la bilancia

Fase 1: partenza verso l'alto, $a = +1{,}5$ m/s².

$$N_1 = 70 \cdot (9{,}81 + 1{,}5) = 70 \cdot 11{,}31 = 792\ \text{N} \quad\Longrightarrow\quad \frac{N_1}{g} = 80{,}7\ \text{kg}$$

Il pavimento deve sia reggere la persona sia spingerla verso l'alto per accelerarla: la persona si sente più pesante.

Fase 2: velocità costante, $a = 0$.

$$N_2 = m g = 687\ \text{N} \quad\Longrightarrow\quad 70{,}0\ \text{kg}$$

La bilancia segna la massa vera, qualunque sia la velocità: conta solo l'accelerazione.

Fase 3: frenata durante la salita. L'ascensore sale ma rallenta: la velocità punta in alto e diminuisce, quindi l'accelerazione punta in basso, $a = -2$ m/s².

$$N_3 = 70 \cdot (9{,}81 - 2) = 70 \cdot 7{,}81 = 547\ \text{N} \quad\Longrightarrow\quad 55{,}7\ \text{kg}$$

La persona si sente più leggera: per rallentare insieme all'ascensore le basta una spinta del pavimento minore del suo peso.

b) Durata della frenata e altezza totale

Ogni fase è un moto uniformemente accelerato (Moto rettilineo uniforme e uniformemente acceleratoVelocità costante: x = x0 + v t, diagramma orario rettilineo. Accelerazione costante: v = v0 + a t, x = x0 + v0 t + a t²/2 e v² = v0² + 2a(x − x0), diagramma orario parabolico.Moto rettilineo uniforme e uniformemente accelerato →).

Fase 1. Parte da ferma: $$v_1 = a_1 t_1 = 1{,}5 \cdot 2 = 3\ \text{m/s}, \qquad h_1 = \tfrac12 a_1 t_1^2 = \tfrac12 \cdot 1{,}5 \cdot 4 = 3\ \text{m}$$

Fase 2. Moto uniforme a $3$ m/s: $$h_2 = v_1 t_2 = 3 \cdot 10 = 30\ \text{m}$$

Fase 3. Da $3$ m/s a $0$ con decelerazione $2$ m/s²: $$t_3 = \frac{v_1}{2} = \frac{3}{2} = 1{,}5\ \text{s}, \qquad h_3 = \frac{v_1 + 0}{2}\, t_3 = 1{,}5 \cdot 1{,}5 = 2{,}25\ \text{m}$$

(lo spazio in un moto uniformemente accelerato è la velocità media per il tempo, e la velocità media è la media tra iniziale e finale).

$$h = h_1 + h_2 + h_3 = 3 + 30 + 2{,}25 = 35{,}25\ \text{m}$$

c) Il cavo si spezza

In caduta libera l'ascensore ha accelerazione $a = -g$ (verso il basso), e la persona dentro anche:

$$N = m\,(g - g) = 0$$

La bilancia segna zero: persona, bilancia e ascensore cadono insieme con la stessa accelerazione e non si spingono a vicenda. È l'assenza di peso apparente, la stessa degli astronauti in orbita (anche loro sono in caduta libera continua attorno alla Terra). Il peso vero, $mg = 687$ N, c'è ancora tutto: è proprio lui a farli cadere.

Vale anche in salita. Se il cavo si spezza mentre l'ascensore sta ancora salendo, l'ascensore prosegue verso l'alto rallentando, poi ricade: in tutto questo tempo l'accelerazione è $-g$ e la bilancia segna zero. Conta l'accelerazione, non il verso della velocità.

Risultati

Durata della frenata $1{,}5$ s, altezza totale $35{,}25$ m.

Errori comuni

• Associare "più pesante" alla salita e "più leggero" alla discesa: conta il verso dell'accelerazione. Un ascensore che frena mentre scende fa sentire più pesanti.
• Pensare che la bilancia misuri la massa: misura una forza. Segna la massa vera solo se l'accelerazione è nulla.
• Sbagliare il segno della decelerazione: "decelerazione di $2$ m/s²" in salita vuol dire $a = -2$ m/s² con l'asse verso l'alto.