Esercizio 35forza tangente su una guida circolare

Testo (tema d'esame del 19 marzo 2008, problema 1). Un blocchetto di massa $m = 0{,}3\ \text{kg}$ è poggiato nel punto $P$ su una guida circolare di centro $O$ e raggio $R = 0{,}5\ \text{m}$ posta nel piano verticale $(x, y)$, con il segmento $OP$ che forma l'angolo $\vartheta = 30°$ con l'asse verticale $y$. Sul blocchetto agisce una forza $F$ diretta tangenzialmente alla guida. Determinare:

a) nell'ipotesi che la guida sia priva di attrito, il valore di $F$ per cui il blocchetto rimane in equilibrio statico;

b) se la guida è scabra e la forza applicata è $F = 2{,}5\ \text{N}$, il minimo valore del coefficiente di attrito statico che si deve avere perché il blocchetto rimanga fermo.

Con la guida priva di attrito, si applica la forza $F = 2{,}5\ \text{N}$ mantenuta costante in modulo e parallela alla guida durante il moto. Determinare:

c) l'accelerazione iniziale del blocchetto;

d) la velocità del blocchetto quando raggiunge la sommità della guida e la reazione vincolare in quel punto.

Figura. La guida è un arco di circonferenza con il centro $O$ in basso: il blocchetto sta sopra la guida, sulla sua faccia esterna (come su una cupola), nel punto $P$ a $30°$ dalla verticale, a destra della sommità. La forza $\vec F$ è tangente alla guida e punta verso la sommità, cioè "in salita".

Impostazione

Grandezze

Assi tangente e normale

Su una guida circolare conviene scomporre le forze lungo due direzioni che seguono il blocchetto:

• normale $n$: lungo il raggio $OP$, verso l'esterno (via da $O$);
• tangente $t$: perpendicolare al raggio, verso la sommità (lo stesso verso di $\vec F$).

Il peso $m\vec g$ è verticale, e la verticale forma l'angolo $\vartheta$ con il raggio $OP$. Quindi il peso ha

• componente lungo la normale: $-mg\cos\vartheta$ (verso il centro);
• componente lungo la tangente: $-mg\sin\vartheta$ (in discesa, cioè opposta a $\vec F$).

Controllo intuitivo: in cima ($\vartheta = 0$) il peso è tutto normale e non spinge lungo la guida; più si scende di lato, più cresce la componente tangente, che tende a far scivolare il blocchetto via dalla sommità.

Le altre forze: la reazione normale $\vec\Phi$ della guida, lungo il raggio verso l'esterno (la guida spinge il blocchetto "fuori", perché il blocchetto vi è appoggiato sopra), e la forza $\vec F$, tangente.

a) Equilibrio senza attrito

All'equilibrio statico la risultante delle forze è nullaPrima legge: un corpo fermo resta fermo se la somma delle forze che agiscono su di lui è zero, componente per componente.Leggi di Newton →. Proiettando lungo la tangente (l'unica direzione in cui agiscono $F$ e una parte del peso):

$$F - mg\sin\vartheta = 0 \quad \Longrightarrow \quad F = mg\sin\vartheta = 0{,}3 \cdot 9{,}81 \cdot 0{,}5 = 1{,}47\ \text{N}$$

La forza deve bilanciare esattamente la componente del peso che fa scivolare il blocchetto giù dalla cupola. Lungo la normale si ricava la reazione, $\Phi = mg\cos\vartheta = 2{,}55\ \text{N}$, che servirà nel punto b.

b) Coefficiente di attrito statico minimo

Ora $F = 2{,}5\ \text{N}$ è più grande di $mg\sin\vartheta = 1{,}47\ \text{N}$: da sola spingerebbe il blocchetto verso la sommità. Perché resti fermo serve un'attrito staticoForza di contatto parallela alla superficie che impedisce lo scivolamento; si adatta al valore necessario, fino a un massimo μs·N.Forze di attrito radente → diretto in discesa, di modulo $F_{\text{attr}}$. Equilibrio lungo la tangente:

$$F - mg\sin\vartheta - F_{\text{attr}} = 0 \quad \Longrightarrow \quad F_{\text{attr}} = F - mg\sin\vartheta = 2{,}5 - 1{,}47 = 1{,}03\ \text{N}$$

Lungo la normale non è cambiato nulla ($F$ e attrito sono tangenti), quindi $\Phi = mg\cos\vartheta = 0{,}3 \cdot 9{,}81 \cdot 0{,}866 = 2{,}55\ \text{N}$.

L'attrito statico non può superare $\mu_S\,\Phi$. La condizione per restare fermi è

$$F_{\text{attr}} \le \mu_S\,\Phi \quad \Longrightarrow \quad \mu_S \ge \frac{F - mg\sin\vartheta}{mg\cos\vartheta} = \frac{1{,}03}{2{,}55} = 0{,}404$$

Il valore minimo è $\mu_S = 0{,}404$.

c) Accelerazione iniziale (guida liscia)

Senza attrito, all'istante iniziale il blocchetto è fermo. Lungo la tangente la risultante è $F - mg\sin\vartheta \ne 0$, quindi il blocchetto parte con

$$a = \frac{F - mg\sin\vartheta}{m} = \frac{2{,}5 - 1{,}47}{0{,}3} = 3{,}43\ \text{m/s}^2$$

diretta lungo la tangente, verso la sommità.

Perché solo tangente. In generale nel moto su una curva l'accelerazione ha anche una componente normaleNel moto su una circonferenza di raggio R l'accelerazione ha una componente verso il centro di modulo v²/R, oltre a quella tangente.Moto circolare → $v^2/R$, verso il centro. All'istante iniziale però $v = 0$, quindi la componente normale è nulla. (Il testo ufficiale scrive "$3{,}43\ \text{m/s}$": l'unità corretta è $\text{m/s}^2$.)

d) Velocità e reazione vincolare in sommità

La velocità: teorema dell'energia cinetica

La forza $F$ non è conservativa (è applicata dall'esterno e non deriva da un'energia potenziale), quindi si usa direttamente il teorema dell'energia cineticaIl lavoro di tutte le forze tra due posizioni è uguale alla variazione di energia cinetica, ½mv²(fine) − ½mv²(inizio).Energia cinetica e teorema dell'energia cinetica → tra $P$ (fermo) e la sommità:

$$\tfrac12 m v^2 - 0 = W_F + W_{\text{peso}} + W_\Phi$$

Si calcolano i tre lavori.

Lavoro di $F$. La forza è sempre tangente, nel verso del moto, con modulo costante: come visto in lavoro di una forza tangenteSe la forza è sempre parallela allo spostamento e di modulo costante, il lavoro è F per la lunghezza del percorso; su un arco la lunghezza è R per l'angolo in radianti.Lavoro e potenza →, il lavoro è $F$ per la lunghezza dell'arco percorso, $R\vartheta$ (con $\vartheta$ in radianti):

$$W_F = F R\vartheta = 2{,}5 \cdot 0{,}5 \cdot 0{,}5236 = 0{,}654\ \text{J}$$

Lavoro del peso. Conta solo il dislivello. $P$ è alla quota $R\cos\vartheta$ sopra $O$, la sommità alla quota $R$: il blocchetto sale di $h = R - R\cos\vartheta = R(1 - \cos\vartheta)$. Salendo, il peso compie lavoro negativo:

$$W_{\text{peso}} = -mgR(1 - \cos\vartheta) = -0{,}3 \cdot 9{,}81 \cdot 0{,}5 \cdot (1 - 0{,}866) = -0{,}197\ \text{J}$$

Lavoro della reazione. $\vec\Phi$ è sempre perpendicolare alla guida, quindi alla velocità: $W_\Phi = 0$.

Quindi l'energia cinetica in sommità è

$$K = 0{,}654 - 0{,}197 = 0{,}457\ \text{J} \quad \Longrightarrow \quad v = \sqrt{\frac{2K}{m}} = \sqrt{\frac{2 \cdot 0{,}457}{0{,}3}} = 1{,}75\ \text{m/s}$$

La reazione: seconda legge lungo la normale

In sommità il blocchetto si muove su una circonferenza con velocità $v$, quindi ha un'accelerazione verso il centro $O$ (cioè verso il basso) di modulo $v^2/R$. La seconda legge lungo la normaleNel moto curvilineo la risultante delle forze lungo la normale deve fornire massa per v²/R, diretta verso il centro di curvatura.Forza centripeta nel moto curvilineo →, con verso positivo verso l'alto (fuori dalla guida):

$$\Phi - mg = -m\,\frac{v^2}{R}$$

In sommità la forza $F$ è orizzontale (tangente) e non entra nella proiezione verticale. Si ricava

$$\Phi = m\left(g - \frac{v^2}{R}\right) = 0{,}3 \cdot \left(9{,}81 - \frac{1{,}746^2}{0{,}5}\right) = 0{,}3 \cdot (9{,}81 - 6{,}10) = 1{,}11\ \text{N}$$

Controllo fisico: $\Phi > 0$, quindi la guida spinge ancora il blocchetto e questo non si stacca. Se fosse stato $v^2/R > g$, il calcolo avrebbe dato $\Phi < 0$, impossibile per un appoggio (la guida può spingere ma non tirare): significherebbe che il blocchetto si è staccato prima di arrivare in cima. La reazione è minore del peso ($1{,}11\ \text{N}$ contro $2{,}94\ \text{N}$) perché parte del peso "è spesa" per curvare la traiettoria.

Risultati

Errori comuni

• Calcolare il lavoro di $F$ con $F \cdot \Delta r$, usando la corda invece dell'arco: la forza cambia direzione e resta tangente, quindi conta la lunghezza dell'arco $R\vartheta$.
• Usare $\vartheta = 30$ invece di $0{,}524$ rad in $F R\vartheta$.
• Scrivere $\Phi = mg$ in sommità: dimentica che il blocchetto sta curvando e ha accelerazione centripeta.
• Sbagliare il verso dell'attrito nel punto b: l'attrito si oppone alla tendenza a scivolare; qui $F$ vince il peso, quindi l'attrito punta in discesa.