Numeri in virgola mobile IEEE 754

Virgola fissa e virgola mobile

• Virgola fissa: un numero fissato di bit dopo la virgola (es. 8 bit di cui 4 frazionari: $0101{,}1000 = 5{,}5$). Semplice, ma intervallo e precisione sono fissi.
• Virgola mobile: notazione scientifica in base 2, $\pm\, 1{,}m \cdot 2^{E}$. Con lo stesso numero di bit copre valori molto piccoli e molto grandi, con precisione relativa costante.

Un numero si normalizza spostando la virgola finché resta una sola cifra 1 a sinistra: $1101{,}01 = 1{,}10101 \cdot 2^3$; $0{,}00101 = 1{,}01 \cdot 2^{-3}$.

Formato IEEE 754

$$x = (-1)^S \cdot 1{,}M \cdot 2^{\,E - \text{bias}}$$

• L'esponente è in eccesso 127 (vedi Rappresentazione dei numeri interi con segnoInteri con segno su n bit: modulo e segno, complemento a 1, complemento a 2 ed eccesso K; intervalli rappresentabili, calcolo dell'opposto, estensione del segno.Rappresentazione dei numeri interi con segno →): così due float positivi si confrontano come interi senza segno.
• L'1 prima della virgola non si memorizza (bit nascosto): la mantissa ha di fatto 24 bit di precisione.
• Segno e modulo separati: $+x$ e $-x$ differiscono solo per il bit $S$.

Da decimale a IEEE 754 (singola)

Esempio: $-12{,}375$.

1. Segno: negativo → $S = 1$.
2. Binario: $12 = 1100$, $0{,}375 = 0{,}011$ (vedi Sistemi di numerazione posizionaliNotazione posizionale in base b; conversioni tra base 10, 2, 8 e 16 per interi (divisioni successive) e per parti frazionarie (moltiplicazioni successive); numeri periodici in binario.Sistemi di numerazione posizionali →) → $1100{,}011$.
3. Normalizzo: $1{,}100011 \cdot 2^3$.
4. Esponente: $E = 3 + 127 = 130 = 1000\,0010$.
5. Mantissa: i bit dopo la virgola, completati a 23 con zeri: $1000\,1100\,0000\,0000\,0000\,000$.

$$\underbrace{1}_{S}\ \underbrace{1000\,0010}_{E}\ \underbrace{1000\,1100\,0000\,0000\,0000\,000}_{M}$$

Raggruppando a 4 bit: $1100\,0001\,0100\,0110\,0000\dots = \text{C1460000}_{16}$.

Secondo esempio, numero piccolo: $0{,}15625 = 0{,}00101_2 = 1{,}01 \cdot 2^{-3}$ → $S = 0$, $E = 124 = 0111\,1100$, $M = 0100\dots0$ → $\text{3E200000}_{16}$.

Da IEEE 754 a decimale

Esempio: $\text{42C80000}_{16}$.

$$0100\,0010\,1100\,1000\,0000\dots = \underbrace{0}_{S}\ \underbrace{1000\,0101}_{E}\ \underbrace{1001\,0000\dots}_{M}$$

$E = 133$ → esponente $133 - 127 = 6$; valore $+1{,}1001_2 \cdot 2^6 = 1100100_2 = 100$.

Valori speciali

I denormalizzati riempiono il buco tra $0$ e il più piccolo normalizzato (underflow gradualei valori scendono verso zero perdendo precisione un bit alla volta invece di saltare di colpo a zero).

Intervallo e precisione (singola)

• Massimo normalizzato: $(2 - 2^{-23}) \cdot 2^{127} \approx 3{,}4 \cdot 10^{38}$.
• Minimo normalizzato positivo: $2^{-126} \approx 1{,}18 \cdot 10^{-38}$.
• Distanza tra due float consecutivi con esponente $e$: $2^{e-23}$. Vicino a 1 è $2^{-23} \approx 1{,}2 \cdot 10^{-7}$ (epsilon di macchinadistanza tra 1 e il float successivo); vicino a $2^{24} \approx 1{,}7 \cdot 10^7$ è 2: da lì in poi non tutti gli interi sono rappresentabili.
• Overflow: esponente troppo grande → $\infty$. Underflow: troppo piccolo → denormalizzato o 0.

Arrotondamento e operazioni

• I bit in più si arrotondano; l'arrotondamento predefinito è al più vicino, pari in caso di parità. $0{,}1$ ha mantissa periodica e viene arrotondato, per cui $0{,}1 + 0{,}2 \neq 0{,}3$ esattamente.
• Somma: si allinea l'esponente minore al maggiore spostando a destra la sua mantissa, si sommano le mantisse, si rinormalizza e si arrotonda. Con esponenti molto diversi il numero piccolo si perde: in singola $2^{24} + 1 = 2^{24}$.
• Prodotto: si moltiplicano le mantisse e si sommano gli esponenti (togliendo un bias: $E_1 + E_2 - 127$).
• La somma non è associativa: $(a + b) + c$ può differire da $a + (b + c)$.

Errori tipici

• Dimenticare il bias (scrivere $E = 3$ invece di $130$) o metterlo con il segno sbagliato nella decodifica.
• Includere l'1 nascosto nei 23 bit di mantissa.
• Raggruppare in esadecimale partendo dalla mantissa invece che dal bit di segno: i 32 bit vanno presi nell'ordine $S, E, M$ e divisi in 8 gruppi da 4.