Sistemi di numerazione posizionali

Notazione posizionale

In base $b$ si usano le cifre $0, \dots, b-1$ e ogni cifra pesa una potenza di $b$ che dipende dalla posizione:

$$(c_{n-1} \dots c_1 c_0 , c_{-1} \dots c_{-m})_b = \sum_{i=-m}^{n-1} c_i \, b^i$$

• La cifra più a sinistra è la più significativa (MSB per i bit), quella più a destra la meno significativa (LSB).
• Con $n$ cifre in base $b$ si scrivono $b^n$ numeri diversi: da $0$ a $b^n - 1$. Con $n$ bit: da $0$ a $2^n-1$ (8 bit → 0…255).
• Viceversa, per rappresentare $N$ valori distinti servono $\lceil \log_2 N \rceil$ bit (1000 valori → 10 bit, perché $2^{10}=1024$).

Da base $b$ a base 10

Si applica la definizione (somma dei pesi):

$$1011{,}01_2 = 1\cdot 2^3 + 0 \cdot 2^2 + 1\cdot 2^1 + 1\cdot 2^0 + 0\cdot 2^{-1} + 1 \cdot 2^{-2} = 8+2+1+0{,}25 = 11{,}25$$

$$2\text{F}_{16} = 2 \cdot 16 + 15 = 47 \qquad 157_8 = 1\cdot 64 + 5 \cdot 8 + 7 = 111$$

Da base 10 a base $b$: parte intera

Divisioni successive per $b$: i resti, letti dall'ultimo al primo, sono le cifre da sinistra a destra. Funziona perché $N = q \cdot b + c_0$: il primo resto è la cifra meno significativa.

Esempio: $156$ in base 2.

$156 = 10011100_2$. Controllo: $128 + 16 + 8 + 4 = 156$.

Più veloce a mano: sottrarre la potenza di 2 più grande che ci sta ($156 - 128 = 28$, $28 - 16 = 12$, $12 - 8 = 4$, $4 - 4 = 0$ → bit 7, 4, 3, 2 a 1).

Da base 10 a base $b$: parte frazionaria

Moltiplicazioni successive per $b$: a ogni passo la parte intera del prodotto è la cifra successiva dopo la virgola, e si prosegue con la sola parte frazionaria.

Esempio: $0{,}375$ in base 2.

$0{,}375 = 0{,}011_2$ (infatti $\tfrac14 + \tfrac18$).

Numeri periodici. Un numero è finito in base 2 solo se è della forma $k/2^j$. $0{,}1$ non lo è:

$$0{,}1 \to 0{,}2\ (0) \to 0{,}4\ (0) \to 0{,}8\ (0) \to 1{,}6\ (1) \to 1{,}2\ (1) \to 0{,}4\ (0) \to \dots$$

da qui la sequenza si ripete: $0{,}1 = 0{,}0\overline{0011}_2$. Con un numero finito di bit va troncato o arrotondato (vedi Numeri in virgola mobile IEEE 754Virgola fissa e virgola mobile; formato IEEE 754 a 32 e 64 bit (segno, esponente in eccesso 127, mantissa con 1 implicito); conversioni svolte nei due versi; valori speciali, denormalizzati, intervallo, precisione e arrotondamento.Numeri in virgola mobile IEEE 754 →).

Un numero con parte intera e frazionaria si converte separatamente: $12{,}375 = 1100{,}011_2$.

Basi potenze di 2: 2 ↔ 8 ↔ 16

Poiché $8 = 2^3$ e $16 = 2^4$, ogni cifra ottale corrisponde a 3 bit e ogni cifra esadecimale a 4 bit. Si raggruppano i bit a partire dalla virgola (a sinistra per la parte intera, a destra per la frazionaria), completando con zeri.

$$10011100_2 = \underbrace{1001}_{9}\,\underbrace{1100}_{\text{C}} = 9\text{C}_{16} \qquad 10011100_2 = \underbrace{010}_{2}\,\underbrace{011}_{3}\,\underbrace{100}_{4} = 234_8$$

$$\text{3A,8}_{16} = 0011\,1010{,}1000_2 = 111010{,}1_2 = 58{,}5$$

Tra ottale ed esadecimale si passa sempre attraverso il binario.

Errori tipici

• Leggere i resti delle divisioni dall'alto in basso: il primo resto è l'LSB.
• Raggruppare a 4 bit partendo da sinistra invece che dalla virgola: $110101_2$ è $0011\,0101 = 35_{16}$, non $D1_{16}$.
• Dimenticare che le cifre frazionarie pesano $2^{-1} = 0{,}5$, $2^{-2} = 0{,}25$, $2^{-3} = 0{,}125$, …