Esercizio 4parola letta dalla memoria con la sindrome di Hamming

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Idea

Non serve rifare la tabella dei dati: basta la sindrome, XOR tra i bit di controllo memorizzati e quelli ricalcolati sui dati letti. Se è diversa da zero, il suo valore è la posizione del bit cambiato (vedi Codifiche binarie e informazione non numericaBit, byte e multipli (potenze di 2 e di 10); codici BCD e Gray; caratteri ASCII, Unicode e UTF-8; ordine dei byte (little e big endian); bit di parità e codice di Hamming per rilevare e correggere errori.Codifiche binarie e informazione non numerica →).

Sindrome

$$0111 \oplus 1101 = 1010 = 10$$

C'è un errore nel bit in posizione 10.

Quale dato è in posizione 10

Disposizione per $m = 8$, $k = 4$ (dati nelle posizioni che non sono potenze di 2, dal meno significativo in posizione 3):

La posizione 10 contiene $D_6$.

Parola letta

Nella parola memorizzata $D_8 \dots D_1 = 0011\,1001$ il bit $D_6$ (terzo da sinistra) vale 1. In lettura è cambiato, quindi vale 0:

$$\text{parola letta} = 0001\,1001$$

Verifica

Ricalcolo dei bit di controllo sulla parola letta $0001\,1001$ ($D_1 = 1$, $D_4 = 1$, $D_5 = 1$, gli altri 0):

• $C_1$ (posizioni 3, 5, 7, 9, 11) $= 1 \oplus 0 \oplus 1 \oplus 1 \oplus 0 = 1$
• $C_2$ (posizioni 3, 6, 7, 10, 11) $= 1 \oplus 0 \oplus 1 \oplus 0 \oplus 0 = 0$
• $C_4$ (posizioni 5, 6, 7, 12) $= 0 \oplus 0 \oplus 1 \oplus 0 = 1$
• $C_8$ (posizioni 9, 10, 11, 12) $= 1 \oplus 0 \oplus 0 \oplus 0 = 1$

$C_8C_4C_2C_1 = 1101$ ✓, proprio i bit di controllo calcolati del testo. Il sistema di correzione, invertendo $D_6$, restituisce la parola originale $0011\,1001$.