Rappresentazione dei numeri interi con segno

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Con $n$ bit si hanno $2^n$ configurazioni. Per gli interi senza segno vanno da $0$ a $2^n - 1$ (vedi Sistemi di numerazione posizionali); per rappresentare anche i negativi si sceglie una convenzione. In tutte le convenzioni sotto, l'intervallo è circa $[-2^{n-1}, 2^{n-1}]$ .

Modulo e segno

Il bit più significativo è il segno (0 = positivo, 1 = negativo), gli altri $n-1$ bit sono il modulo.

8 bit: $+5 = 0000\,0101$ , $-5 = 1000\,0101$ .
Intervallo: $[-(2^{n-1}-1),\ 2^{n-1}-1]$ (8 bit: $-127 \dots 127$ ).
Difetti: due zeri ( $0000\,0000$ e $1000\,0000$ ) e la somma richiede circuiti diversi a seconda dei segni.

Complemento a 1

Il negativo $-x$ si ottiene invertendo tutti i bit di $x$ .

8 bit: $+5 = 0000\,0101$ , $-5 = 1111\,1010$ .
Intervallo come modulo e segno, ancora con due zeri ( $0000\,0000$ e $1111\,1111$ ).
Nella somma il riporto in uscita va risommato al risultato (end-around carry).

Complemento a 2

È la rappresentazione usata da tutti i processori. Il bit più significativo ha peso negativo:

$x = -c_{n-1}\, 2^{n-1} + \sum_{i=0}^{n-2} c_i \, 2^i$

Equivalentemente: un negativo $-x$ è rappresentato dal numero senza segno $2^n - x$ .

Intervallo: $[-2^{n-1},\ 2^{n-1}-1]$ , asimmetrico (8 bit: $-128 \dots 127$ ; 16 bit: $-32\,768 \dots 32\,767$ ; 32 bit: circa $\pm 2{,}1 \cdot 10^9$ ).
Uno zero solo; MSB = 1 ⇔ numero negativo.
La somma è la stessa degli interi senza segno: un solo sommatore per entrambi (vedi Aritmetica binaria).

Opposto (vale in entrambi i versi): si invertono tutti i bit e si somma 1.

$+20 = 0001\,0100 \ \xrightarrow{\text{inverto}}\ 1110\,1011 \ \xrightarrow{+1}\ 1110\,1100 = -20$

Scorciatoia: partendo da destra si copiano i bit fino al primo 1 compreso, poi si invertono tutti gli altri ( $0001\,0\underline{100} \to 1110\,1\underline{100}$ ).

Da complemento a 2 a decimale. Se MSB = 0 si legge come senza segno. Se MSB = 1 si usa il peso negativo:

$1110\,1100 = -128 + 64 + 32 + 8 + 4 = -20$

oppure si calcola l'opposto ( $0001\,0100 = 20$ ) e si mette il meno.

Caso limite: l'opposto di $-128 = 1000\,0000$ a 8 bit è ancora $1000\,0000$ : $+128$ non è rappresentabile.

Estensione del segno. Per passare da $n$ a $m > n$ bit si replica il bit di segno a sinistra: $-20$ su 8 bit $1110\,1100$ diventa su 16 bit $1111\,1111\,1110\,1100$ ; $+20$ diventa $0000\,0000\,0001\,0100$ . Serve per esempio quando il processore carica un byte con segno in un registro a 32 bit.

Esercizio svolto in aula: Esercizio 1 · conversioni in complemento a 2 su 4 bit.

Eccesso K (polarizzazione)

Si memorizza $x + K$ come intero senza segno; di solito $K = 2^{n-1}$ o $2^{n-1}-1$ .

Eccesso 128 su 8 bit: $-5 \to 123 = 0111\,1011$ ; $0 \to 1000\,0000$ ; $+5 \to 133 = 1000\,0101$ .
L'ordine dei codici coincide con l'ordine dei valori: il confronto si fa come tra senza segno. Per questo si usa per l'esponente in Numeri in virgola mobile IEEE 754 (con $K = 127$ ).

Confronto su 4 bit

Bit	Senza segno	Modulo e segno	Compl. a 1	Compl. a 2	Eccesso 8
0000	0	+0	+0	0	−8
0011	3	+3	+3	+3	−5
0111	7	+7	+7	+7	−1
1000	8	−0	−7	−8	0
1011	11	−3	−4	−5	+3
1111	15	−7	−0	−1	+7

La stessa sequenza di bit ha significati diversi: il valore dipende dalla convenzione con cui la si legge.

Errori tipici

Calcolare l'opposto in complemento a 2 invertendo i bit senza sommare 1 (si ottiene il complemento a 1).
Estendere un negativo aggiungendo zeri a sinistra: $1110\,1100 \to 0000\,0000\,1110\,1100$ vale $+236$ , non $-20$ .
Dimenticare l'asimmetria: con 8 bit il minimo è $-128$ , il massimo $+127$ .

Versione ripasso

Con $n$ bit ci sono $2^n$ configurazioni; senza segno da $0$ a $2^n - 1$ (Sistemi di numerazione posizionali).

Convenzioni

Modulo e segno: MSB = segno. $-5 = 1000\,0101$ . Intervallo $\pm(2^{n-1} - 1)$ , due zeri.
Complemento a 1: $-x$ = bit invertiti ( $-5 = 1111\,1010$ ). Due zeri; il riporto uscente va risommato (end-around carry).
Complemento a 2: MSB di peso negativo, $x = -c_{n-1}2^{n-1} + \sum_{i=0}^{n-2} c_i2^i$ ; $-x$ è il senza segno $2^n - x$ . Intervallo asimmetrico $[-2^{n-1}, 2^{n-1} - 1]$ (8 bit: $-128 \dots 127$ ), uno zero, MSB $= 1 \Leftrightarrow$ negativo, stesso sommatore dei senza segno (Aritmetica binaria).
Eccesso K: si memorizza $x + K$ come senza segno; l'ordine dei codici è quello dei valori. Eccesso 128: $-5 \to 123$ , $0 \to 1000\,0000$ . Esponente di Numeri in virgola mobile IEEE 754 ( $K = 127$ ).

Complemento a 2: operazioni

Opposto: inverti i bit e somma 1: $0001\,0100 \to 1110\,1011 \to 1110\,1100 = -20$ . Scorciatoia: da destra si copiano i bit fino al primo 1 compreso, poi si invertono gli altri.
A decimale: $1110\,1100 = -128 + 64 + 32 + 8 + 4 = -20$ . Caso limite: l'opposto di $-128 = 1000\,0000$ è $1000\,0000$ .
Estensione del segno: si replica il MSB: $-20$ su 16 bit $1111\,1111\,1110\,1100$ .
Esercizio: Esercizio 1 · conversioni in complemento a 2 su 4 bit.
Su 4 bit 1000: 8 senza segno, $-0$ , $-7$ , $-8$ , eccesso 8 $0$ (modulo-segno, compl. a 1, compl. a 2).

Errori tipici: invertire senza sommare 1; estendere un negativo con zeri ( $1110\,1100 \to 0000\,0000\,1110\,1100 = +236$ ); dimenticare l'asimmetria.