Campionamento, aliasing e sample and hold

** tiene il segnale costante durante la conversione. -->

Un µC o un DSP lavora su sequenze di numeri, non su segnali continui. Il passaggio dal segnale $s(t)$ ai numeri avviene con il campionamento (e con la quantizzazione dell'ADC: ADC e DAC - risoluzione, SNR, ENOB ed erroriUn convertitore a $n$ bit con fondo scala $FSR$ ha risoluzione $LSB=FSR/2^n$; il codice vale $C=\mathrm{round}(V/LSB)$ e la tensione corrispondente è $V=C\cdot LSB$ con incertezza $\pm\frac12LSB$ (errore di quantizzazione). Con un modello a rumore uniforme di potenza $LSB^2/12$ il SNR di una sinusoide a fondo scala è $6{,}02,n+1{,}76$ dB; dal SNR misurato si ricava il numero di bit efficaci $ENOB=\frac{SNR-1{,}76}{6{,}02}$. Gli errori reali (offset, guadagno, INL, DNL, missing code) abbassano l'accuratezza. Accuratezza ≠ precisione: alta accuratezza implica alta precisione, non viceversa.ADC e DAC - risoluzione, SNR, ENOB ed errori →). Questa nota studia il campionamentoregistrazione dei valori di una grandezza analogica a istanti periodici: cosa si perde, quando si perde, come si protegge il segnale.

Campionamento e teorema di Shannon

Il campionamento registra i valori di una grandezza analogica in istanti determinati. Per i µC e DSP interessa quello periodico e uniforme, con periodo $T_c$ (frequenza $f_c=1/T_c$): si ottengono i campioni $s(kT_c)$.

Teorema di Shannon (anni '50). Se lo spettrodistribuzione in frequenza delle componenti di un segnale di $s(t)$ è nullo al di sopra di una frequenza $BW$ [Hz], allora $s(t)$ si ricostruisce esattamente dai suoi campioni se $T_c\le\frac1{2BW}$, cioè se $$f_c\ge2\,BW .$$ La formula di ricostruzione è $s(t)=\sum_ks(kT_c)\,\mathrm{sinc}\!\big(\pi f_c(t-kT_c)\big)$ con $\mathrm{sinc}(x)=\sin x/x$: il segnale e la sua versione campionata (secondo la regola) contengono la stessa informazione. La frequenza $f_c/2$ è la frequenza di Nyquist; $2\,BW$ è il limite di Nyquist per la frequenza di campionamento.

Matematicamente il campionamento è la moltiplicazione di $s(t)$ per un treno di impulsi di Dirac a $kT_c$; nel dominio della frequenza vuol dire ripetere lo spettro $S(f)$ attorno ai multipli interi di $f_c$ (repliche in $nf_c$). Se $f_c\ge2BW$ le repliche non si sovrappongono e basta un filtro passa-basso (taglio alla frequenza di Nyquistmetà della frequenza di campionamento) per recuperare $s(t)$: nel caso limite il filtro necessario è quello con risposta in frequenza rettangolare.

Aliasing

Se $f_c<2BW$ le repliche dello spettro si sovrappongono: nel segnale ricostruito compaiono componenti non presenti nell'originale (ripiegamento in banda base). Si parla di aliasing. Gli errori possono essere pesantissimi. Una sinusoide a frequenza $f$ campionata a $f_c=1{,}25f$ viene interpretata come una sinusoide a $f_c-f=0{,}25f$.

Per evitarlo i sistemi di acquisizione hanno in ingresso un filtro anti-aliasing: un passa-bassofiltro che lascia passare le basse frequenze e attenua le alte con frequenza di taglio $f_T<f_c/2$ (può essere di ordine elevato per attenuare rapidamente le componenti oltre $f_T$). Il suo progetto è tanto meno critico quanto più $f_c$ è grande rispetto alla banda $BW$ dei segnali: il rapporto $\frac{f_c}{2BW}$ è il fattore di sovracampionamento.

Quando l'aliasing è utile. Nei sistemi controllati in PWM le grandezze campionate hanno armoniche alla frequenza di modulazione: campionare a $f_c=f_{PWM}$ viola Shannon, ma l'aliasingsovrapposizione delle repliche dello spettro, che fa comparire frequenze non presenti nel segnale originale risultante porta quelle armoniche a frequenza zero, cioè estrae il valore medio (demodulazione implicita), purché si campioni sincronizzati alla portante (PWM e ADC - ritardo di risposta e sincronizzazioneUn modulatore PWM digitale ritarda la risposta: il duty-cycle si aggiorna una volta per periodo (al massimo si attende $T_{PWM}$; $T_{PWM}/2$ se si aggiorna a ogni semiperiodo). Perciò il controllo digitale deve avere banda ben sotto $f_{PWM}$ (cross-over $\lesssim f_{PWM}/10$, margine di fase $\ge60^\circ$). Si campiona di solito a $f_c=f_{PWM}$: viola Shannon, ma se l'ADC è sincronizzato con la portante (trigger dal timer PWM) l'aliasing estrae il valor medio, senza ripple. Il campionamento va fatto a metà del tempo di ON (leading edge: $\frac{DT}2$, in generale a metà dell'impulso) o al picco/valle del contatore (PWM simmetrica).PWM e ADC - ritardo di risposta e sincronizzazione →).

Campionamento non ideale e sample and hold

Un campionamento a impulsi ideali non è realizzabile: si usa un circuito sample and hold (S/H), che genera rettangoli di durata $T_c$ con ampiezza pari a quella del campione ideale. Lo spettro del segnale così campionato è distorto da un fattore di tipo $\mathrm{sinc}$: per ricostruire esattamente il segnale non basta più il passa-basso ma serve anche un equalizzatorefiltro che compensa una distorsione di risposta in frequenza nota che compensi la distorsione (che è nota). Gli effetti sono rilevanti solo se la banda del segnale è prossima alla frequenza di Nyquist.

Perché serve il S/H. Durante la conversione A/D il segnale non deve variare in modo significativo. Esempio: sinusoide da 5 V picco-picco (ampiezza $A=2{,}5$ V) su un ADC a 10 bit con FSR 5 V, $LSB=5/1024=4{,}88$ mV. La variazione tollerabile nel tempo di conversione $T_{conv}$ è $\tfrac12$ LSB $=2{,}44$ mV: la pendenza massima è $2\pi fA$, quindi $2\pi fA\,T_{conv}\le2{,}44$ mV. Con $T_{conv}=2\ \mu$s (frequenza di Nyquist del convertitore 250 kHz) si ottiene $f\le\dfrac{2{,}44\cdot10^{-3}}{2\pi\cdot2{,}5\cdot2\cdot10^{-6}}=77{,}7$ Hz: solo 77,7 Hz contro 250 kHz. Con il S/H il segnale è costante durante la conversione.

Circuito. Un interruttore MOSFETtransistore a effetto di campo usato come interruttore comandato da $V_c$ carica una capacità $C_H$ alla tensione di ingresso $V_i$ (una tensione di comando $V_c>V_{i,max}+V_t$, la velocità di carica cresce con l'overdrive); quando il MOSFET si spegne, la carica su $C_H$ mantiene $V_o=V_i$ (ma non indefinitamente). Non idealità:

• charge injectioniniezione di carica sulla capacità di hold dovuta alle capacità parassite del MOSFET: le capacità parassite $C_{GD}$ e $C_{DS}$ iniettano carica su $C_H$ durante le transizioni di $V_c$ e durante l'hold (al variare di $V_i$); si riduce con $C_H$ grande (a spese della velocità);
• drooplenta variazione della tensione mantenuta, dovuta alle correnti di dispersione: la corrente di leakage del MOS e la corrente di bias dell'operazionale scaricano $C_H$ durante l'hold, più a bassa frequenza di campionamento;
• ritardi (delay), jitter del comando, limite di slew-ratemassima velocità di variazione dell'uscita di un amplificatore nella carica (si usa uno stadio con retroazione e un inseguitore bipolare per fornire la corrente).

Errori comuni

• Dire che $f_c=2BW$ basta sempre: serve $f_c>2BW$ con un filtro reale e un margine (sovracampionamentocampionamento a una frequenza molto maggiore del minimo di Shannon).
• Mettere il filtro anti-aliasingfiltro passa-basso posto prima del campionatore per eliminare le componenti oltre la frequenza di Nyquist dopo il campionatore: serve prima, altrimenti l'aliasing è già avvenuto.
• Confondere frequenza di Nyquist ($f_c/2$) e limite di Nyquist ($2BW$).
• Pensare che l'aliasing si possa correggere via software dopo il campionamento.