Esercizio 29PLL digitale con timer, regolatore dead-beat e margini di tempo di calcolo (esempio del corso)

---

Teoria usata: PLL digitale con i timerUn PLL (anello ad aggancio di fase) tiene un segnale generato a frequenza e fase in relazione costante con un riferimento. In un µC si realizza con un timer in capture (misura il periodo del riferimento) e uno in compare (genera gli impulsi). L'errore di fase $\Delta\phi$ (intervallo tra due eventi) va portato a 0 con un regolatore sul periodo $P$ degli impulsi: compensare solo l'errore istantaneo non basta, serve un PI: $P_{int}(k)=P_{int}(k-1)+\frac{\Delta\phi(k)}N$, $P(k+1)=P_{int}(k)+\frac{\Delta\phi(k)}N$ (con $N$ = rapporto delle frequenze), che è dead-beat (errore nullo in un passo, polo in $z=0$). In pratica si riducono i guadagni per robustezza.PLL digitale con i timer →, Regolatori PI e PID digitaliIl PI digitale è $y(k)=k_p,e(k)+y_I(k)$ con $y_I(k)=k_I',e(k)+y_I(k-1)$ e $k_I'=k_iT_c$ (con una MAC bastano 3 cicli). Nel PID la derivata si calcola come $\frac{k_d}{T_c}[e(k)-e(k-1)]$ ed è sensibile al rumore: si usa la versione filtrata $y_d(k)=\frac{k_d}{T_c+\tau_L}[e(k)-e(k-1)]+\frac{\tau_L}{T_c+\tau_L}y_d(k-1)$ o una media su più campioni. Con la saturazione dell'attuatore serve l'anti-wind-up: $|y_I|\le L(k)=Y_{max}-|k_pe(k)|$. Il controllo dead-beatcontrollo che porta l'errore a zero in un numero finito di passi (predittivo) azzera l'errore in un numero finito di passi ma è poco usato in industria.Regolatori PI e PID digitali →, Timer - prescaler, compare, capture e watchdogUn timer è un contatore binario di periodi di clock: $f_{cont}=f_{clk}/PSC$ ($PSC$ = fattore del prescaler). In modalità compare/match genera un evento (interruzione, reset del conteggio, azione su un pin) quando il conteggio raggiunge il registro di match: per un evento ogni $T$ servono $N=T,f_{clk}/PSC\le2^{16}$ conteggi, e si prende il minimo $PSC$ (massima risoluzione). Con uscita in modo toggle la frequenza dell'onda quadra è metà di quella degli eventi, il duty-cycle 50%. In modalità capture il valore del contatore, salvato a due fronti, dà il periodo: $T=C_2-C_1$ (corretto anche con un overflow), risoluzione $1/f_{clk}$. Il watchdog reinizializza il sistema se non viene azzerato in tempo.Timer - prescaler, compare, capture e watchdog →.

(a) Dead-beat

A regime con il sincronismo a 5 kHz ($P_S=200\ \mu$s): $P=\frac{P_S}{11}=18{,}18\ \mu$s (frequenza degli impulsi 55 kHz), $P_{int}=18{,}18\ \mu$s, $\Delta\phi=0$. Al treno $k=5$ il sincronismo passa a 6 kHz ($P_S=166{,}67\ \mu$s): il treno già in corso dura ancora $11\cdot18{,}18=200\ \mu$s, ma il fronte A arriva dopo $166{,}67\ \mu$s: l'evento A anticipa l'evento B di $\Delta\phi=166{,}67-200=-33{,}33\ \mu$s.

Calcolo del treno 5: $P_{int}(5)=18{,}18+\frac{-33{,}33}{11}=18{,}18-3{,}03=15{,}15\ \mu$s; $P(6)=P_{int}(5)+\frac{-33{,}33}{11}=15{,}15-3{,}03=12{,}12\ \mu$s. Il treno 6 dura $11\cdot12{,}12=133{,}3\ \mu$s: recupera il ritardo (rispetto al fronte A atteso ogni $166{,}67\ \mu$s) e $\Delta\phi(6)=0$; da allora $P=P_{int}=15{,}15\ \mu$s, cioè $f=66$ kHz $=11\cdot6$ kHz ✓. L'aggancio avviene in un solo passo di regolazione dopo il rilevamento dell'errore (due treni dal salto).

(b) Guadagni ridotti

Con lo stesso salto, gli errori $\Delta\phi(k)$ (in µs) per $k=5,6,7,\dots$ sono:

• $g=1$: $-33{,}3;\ 0;\ 0;\ 0;\dots$ (dead-beat);
• $g=0{,}5$: $-33{,}3;\ -33{,}3;\ -16{,}7;\ 0;\ +8{,}3;\ +8{,}3;\ +4{,}2;\ 0;\ -2{,}1;\dots$ (convergenza oscillante con inviluppo che decade);
• $g=0{,}3$: $-33{,}3;\ -46{,}7;\ -42{,}0;\ -26{,}1;\ -7{,}2;\ +8{,}2;\ +16{,}6;\ +17{,}4;\ +12{,}8;\dots$ (molto più lenta, con sovraelongazione). Il dead-beat è il caso più veloce, ma ha il difetto di essere poco robusto: assume che la misura del periodo del riferimento e l'errore siano immediatamente corretti. In un sistema reale la variazione del periodo si vede con un ritardo di un periodo e si riducono i guadagni per avere stabilità (PLL digitale con i timerUn PLL (anello ad aggancio di fase) tiene un segnale generato a frequenza e fase in relazione costante con un riferimento. In un µC si realizza con un timer in capture (misura il periodo del riferimento) e uno in compare (genera gli impulsi). L'errore di fase $\Delta\phi$ (intervallo tra due eventi) va portato a 0 con un regolatore sul periodo $P$ degli impulsi: compensare solo l'errore istantaneo non basta, serve un PI: $P_{int}(k)=P_{int}(k-1)+\frac{\Delta\phi(k)}N$, $P(k+1)=P_{int}(k)+\frac{\Delta\phi(k)}N$ (con $N$ = rapporto delle frequenze), che è dead-beat (errore nullo in un passo, polo in $z=0$). In pratica si riducono i guadagni per robustezza.PLL digitale con i timer →); conviene partire dal valore dead-beat ($k_p=k_I'=\frac1{11}$) e ridurre soprattutto il guadagno integrale.

(c) Tempo di calcolo

L'algoritmo deve aggiornare il periodo prima della fine del primo semiperiodo del primo impulso di ogni treno.

• A regime a 6 kHz: $P=15{,}15\ \mu$s, semiperiodo $\frac{P}2=7{,}58\ \mu$s. (Per il sincronismo al massimo, 6 kHz: $\frac{P_{S,min}}{22}=\frac1{6000\cdot22}=7{,}58\ \mu$s.)
• Caso peggiore (salto 4 → 6 kHz): $\Delta\phi=\frac1{6\text{ kHz}}-\frac1{4\text{ kHz}}=166{,}67-250=-83{,}33\ \mu$s; il nuovo periodo $P(k+1)=\frac1{44\text{ kHz}}-\frac{2\cdot83{,}33\ \mu\text{s}}{11}=22{,}73-15{,}15=7{,}58\ \mu$s (circa 132 kHz) e il calcolo deve concludersi in $\frac{7{,}58}2=\mathbf{3{,}79\ \mu s}$: compatibile con la velocità di un µC a 170 MHz ($\approx640$ cicli).

(d) Perché non basta il proporzionale

Con $P(k+1)=P(k)+\frac{\Delta\phi(k)}{11}$ la correzione "in un passo" porta il periodo al valore giusto ma lascia l'errore di fase invariato al treno successivo: l'errore di fase è l'integrale dell'errore di frequenza (Comunicazione wireless - ASK, OOK, FSK, PLL e antenneMolti µC integrano un trasmettitore RF semplice: PLL che genera la portante a $N$ volte la frequenza di un quarzo, amplificatore (LNA) e antenna con rete di adattamento. Modulazioni digitali: ASK (due livelli di ampiezza), OOK (un livello è zero), FSK (due frequenze). In analogico si usa l'FM con VCO e PLL (CD4046). Il PLL è un anello di retroazione: comparatore di fase, filtro passa-basso, VCO ($k_{VCO}=\frac{f_{max}-f_{min}}{V_{max}-V_{min}}$), divisore per $N$; a regime errore nullo di frequenza e di fase. Antenne a microstriscia: loop (lunghezza $\lesssim\lambda/10$), patch ($f_r\simeq\frac c{2L\sqrt{\varepsilon_r}}$). Standard: Wi-Fi 802.11, Bluetooth 802.15.1, ZigBee 802.15.4 (2,4 GHz, 250 kbit/s, rete mesh, basso consumo).Comunicazione wireless - ASK, OOK, FSK, PLL e antenne →), quindi per annullarlo serve un termine che accumuli le correzioni. Esempio: sincronismo con periodo 11 (unità arbitrarie), $P(k)=0{,}9$, $\Delta\phi=1{,}1$: $P(k+1)=0{,}9+0{,}1=1{,}0$ (valore corretto), ma dopo 11 impulsi l'errore è ancora $11+1{,}1-11\cdot1{,}0=1{,}1$: il sistema non annulla mai l'errore. Con $P_{int}$ ($g=1$): $P_{int}(0)=1{,}0$, $P(1)=1{,}1$: il treno successivo recupera esattamente il ritardo ($11\cdot1{,}1=12{,}1$) e da lì $P=P_{int}=1{,}0$ con errore nullo.

Errori comuni

• Valutare l'errore all'evento A anziché all'evento B (si cambierebbe il periodo in mezzo a un treno).
• Dimenticare di ricostruire l'errore di fase negativo sommando il periodo del sincronismo quando l'evento B precede A.
• Usare un solo termine (proporzionale) e aspettarsi l'azzeramento dell'errore di fase.
• Mantenere i guadagni dead-beat con un riferimento che cambia rapidamente.