Esercizio 15convertitore D-A, sinusoide numerica e DAC a traliccio R-2R (temi d'esame febbraio 2026 e esempio d'appello 2020-21)

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Teoria usata: ADC e DAC - risoluzione, SNR, ENOB ed erroriUn convertitore a $n$ bit con fondo scala $FSR$ ha risoluzione $LSB=FSR/2^n$; il codice vale $C=\mathrm{round}(V/LSB)$ e la tensione corrispondente è $V=C\cdot LSB$ con incertezza $\pm\frac12LSB$ (errore di quantizzazione). Con un modello a rumore uniforme di potenza $LSB^2/12$ il SNR di una sinusoide a fondo scala è $6{,}02,n+1{,}76$ dB; dal SNR misurato si ricava il numero di bit efficaci $ENOB=\frac{SNR-1{,}76}{6{,}02}$. Gli errori reali (offset, guadagno, INL, DNL, missing code) abbassano l'accuratezza. Accuratezza ≠ precisione: alta accuratezza implica alta precisione, non viceversa.ADC e DAC - risoluzione, SNR, ENOB ed errori →, Architetture di ADC e DACADC flash: $2^n-1$ comparatori in parallelo, il più veloce (GS/s) ma costoso, $n<10$. A gradinata/a rampa: contatore + DAC (o rampa) + comparatore, $T_{conv}\le2^n$ cicli di clock (lentissimo). SAR: ricerca binaria con DAC e comparatore, $T_{conv}=(n+1)$ cicli: il più usato nei µC. Sigma-delta: ADC a 1 bit + DAC a 1 bit in retroazione e filtro digitale, sovracampionamento (molti bit, banda ridotta). Multistadio/pipeline: più ADC a pochi bit in serie; la pipeline triplica (con 3 stadi) la frequenza di conversione. DAC: a resistenze pesate, a traliccio R-2R ($V_o=-V_{ref},C/2^n$, corrente costante), a voltage scaling (monotono), seriale.Architetture di ADC e DAC →.

(i) DAC a 12 bit

$LSB=\frac{FSR}{2^{12}}=\frac{3{,}3}{4096}=\mathbf{0{,}806\ mV}$ e $V_{DAC}=FSR\cdot\frac{C}{4096}$:

• $\texttt{0x318}=792\to792\cdot0{,}806\ \text{mV}=\mathbf{0{,}638\ V}$;
• $\texttt{0xA6F}=2671\to\mathbf{2{,}152\ V}$;
• $\texttt{0x800}=2048\to\mathbf{1{,}65\ V}$ (metà del fondo scala: è il punto centrale del campo);
• $\texttt{0x001}=1\to\mathbf{0{,}806\ mV}$ (un solo LSB).

Sinusoide. $z(k)=\texttt{0x600}\sin(\omega kT_c)+\texttt{0x800}$ con $\texttt{0x600}=1536$ e $\texttt{0x800}=2048$:

• valore di picco: $\texttt{0x800}+\texttt{0x600}=\texttt{0xE00}=3584\to3584\cdot0{,}806\ \text{mV}=\mathbf{2{,}8875\ V}$;
• valore di valle: $\texttt{0x800}-\texttt{0x600}=\texttt{0x200}=512\to\mathbf{0{,}4125\ V}$ (oscillazione di $1{,}2375$ V attorno a $1{,}65$ V: ampiezza $1536$ LSB);
• frequenza massima per 200 campioni per periodo: $\frac1{f_{max}}=200\,T_c\Rightarrow f_{max}=\frac{f_c}{200}=\frac{50\text{ kHz}}{200}=\mathbf{250\ Hz}$;
• massima variazione tra due campioni successivi (pendenza massima per il passo $T_c$): $\Delta z_{max}=1536\cdot\omega T_c=1536\cdot2\pi\cdot\frac{f}{f_c}=1536\cdot\frac{2\pi}{200}=48{,}25\ \text{LSB}$ cioè $0{,}0389$ V ($\approx49$ LSB nella soluzione ufficiale, che arrotonda la derivata): è l'errore massimo del mantenimento a gradini rispetto alla sinusoide ideale, che un filtro di ricostruzione (passa-basso) deve attenuare.

(ii) DAC R-2R

Struttura. Una scala di resistenze di valore $R$ (in serie) e $2R$ (rami in parallelo): ciascun ramo da $2R$ ha un deviatore comandato da un bit $D_i$ che lo collega alla massa virtuale dell'amplificatore operazionale (bit = 1) oppure alla massa (bit = 0). Poiché la massa virtuale è anch'essa a 0 V, in entrambi i casi il ramo ha la stessa tensione ai capi e il circuito visto da $V_{ref}$ non cambia.

Correnti. La resistenza vista da ogni nodo della scala, guardando verso destra, è sempre $2R$ (si verifica a partire dall'ultimo nodo: $2R\parallel2R=R$, più $R$ in serie $=2R$ e così via). Quindi la tensione nei nodi si dimezza a ogni passo: $V_{ref},\ \frac{V_{ref}}2,\ \frac{V_{ref}}4,\dots$ e le correnti nei rami da $2R$ sono $I_{n-1}=\frac{V_{ref}}{2R},\ I_{n-2}=\frac{V_{ref}}{4R},\dots,\ I_0=\frac{V_{ref}}{2^nR}$. Solo i rami con $D_i=1$ iniettano la loro corrente nel nodo di somma: $$I_{tot}=\sum_{i=0}^{n-1}D_i\,\frac{V_{ref}}{2R}\,2^{i-(n-1)}=\frac{V_{ref}}{R}\,\frac{C}{2^n},\quad C=\sum_iD_i2^i,$$ e con retroazione $R$ l'uscita è $$\boxed{V_o=-R\,I_{tot}=-V_{ref}\,\frac{C}{2^n}=-V_{ref}\Big(\frac{D_{n-1}}2+\frac{D_{n-2}}4+\dots+\frac{D_0}{2^n}\Big)}.$$ Corrente assorbita da $V_{ref}$: la resistenza vista da $V_{ref}$ è sempre $R$ (indipendentemente dai deviatori, perché ogni ramo da $2R$ è collegato a 0 V in entrambi gli stati): la corrente assorbita è $\frac{V_{ref}}R$ costante, non dipende dai bit (vantaggio rispetto al DAC a resistenze pesate, la cui corrente dipende dal codice).

Numeri. $n=8$, $V_{ref}=5$ V: $LSB=\frac{5}{256}=\mathbf{19{,}5\ mV}$; $C=\texttt{0xA5}=165$: $V_o=-5\cdot\frac{165}{256}=\mathbf{-3{,}223\ V}$ (negativa perché lo schema è invertente).

Errori comuni

• Scrivere $V=FSR\cdot\frac C{2^n-1}$: con $2^n$ l'ultimo gradino è $FSR\cdot\frac{2^n-1}{2^n}$ (il fondo scala vero non si raggiunge).
• Dimenticare che lo schema R-2R con operazionale è invertente.
• Confondere la variazione massima tra campioni (pendenza $\cdot T_c$) con l'errore di quantizzazione ($\pm\frac12$ LSB).
• Dire che nel DAC R-2R la corrente dipende dai bit.