Esercizio 18dal filtro analogico all'algoritmo con la discretizzazione di Eulero, rete anticipatrice, passa-alto e PI (temi d'esame gennaio, luglio e settembre 2026)

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Teoria usata: Discretizzazione di Eulero e TustinPer realizzare numericamente un filtro o regolatore $F(s)$ si approssima $\frac1s$ con un integratore a tempo discreto. Eulero: $\boxed{s=\dfrac{1-z^{-1}}{T_c}}$ (da $\mathrm{Int}(nT)=\mathrm{Int}((n-1)T)+T,x(n)$). Così $\dfrac{1+s\tau_z}{1+s\tau_p}$ diventa $y(k)=\dfrac{\tau_p}{T_c+\tau_p}y(k-1)+\dfrac{T_c+\tau_z}{T_c+\tau_p}x(k)-\dfrac{\tau_z}{T_c+\tau_p}x(k-1)$. Il passaggio inverso (da algoritmo a $F(s)$) usa $z^{-1}\approx1-sT_c$. L'approssimazione è affidabile solo fino a circa $f_c/10$ (distorsione, warping); Tustin $s=\frac2{T_c}\frac{1-z^{-1}}{1+z^{-1}}$ è più fedele.Discretizzazione di Eulero e Tustin →, Regolatori PI e PID digitaliIl PI digitale è $y(k)=k_p,e(k)+y_I(k)$ con $y_I(k)=k_I',e(k)+y_I(k-1)$ e $k_I'=k_iT_c$ (con una MAC bastano 3 cicli). Nel PID la derivata si calcola come $\frac{k_d}{T_c}[e(k)-e(k-1)]$ ed è sensibile al rumore: si usa la versione filtrata $y_d(k)=\frac{k_d}{T_c+\tau_L}[e(k)-e(k-1)]+\frac{\tau_L}{T_c+\tau_L}y_d(k-1)$ o una media su più campioni. Con la saturazione dell'attuatore serve l'anti-wind-up: $|y_I|\le L(k)=Y_{max}-|k_pe(k)|$. Il controllo dead-beatcontrollo che porta l'errore a zero in un numero finito di passi (predittivo) azzera l'errore in un numero finito di passi ma è poco usato in industria.Regolatori PI e PID digitali →.

Metodo

Si sostituisce $s=\dfrac{1-z^{-1}}{T_c}$, si moltiplicano numeratore e denominatore per $T_c$ per eliminare le frazioni, si scrive la funzione di trasferimento in $z^{-1}$ e la si traduce in equazione alle differenze ($z^{-1}Y(z)\leftrightarrow y(k-1)$). Il coefficiente di $y(k)$ si porta a 1 dividendo.

(a) Rete anticipatrice/attenuatrice

$$F(z)=\frac{1+\tau_z\frac{1-z^{-1}}{T_c}}{1+\tau_p\frac{1-z^{-1}}{T_c}}=\frac{(T_c+\tau_z)-\tau_zz^{-1}}{(T_c+\tau_p)-\tau_pz^{-1}}.$$ Quindi $(T_c+\tau_p)\,y(k)-\tau_p\,y(k-1)=(T_c+\tau_z)\,x(k)-\tau_z\,x(k-1)$ e $$\boxed{y(k)=\frac{\tau_p}{T_c+\tau_p}\,y(k-1)+\frac{T_c+\tau_z}{T_c+\tau_p}\,x(k)-\frac{\tau_z}{T_c+\tau_p}\,x(k-1)}$$ con coefficienti $a_1=\frac{\tau_p}{T_c+\tau_p}$, $b_0=\frac{T_c+\tau_z}{T_c+\tau_p}$, $b_1=-\frac{\tau_z}{T_c+\tau_p}$. Controllo: $b_0+b_1=\frac{T_c}{T_c+\tau_p}=1-a_1$, perciò il guadagno in continua è $\frac{b_0+b_1}{1-a_1}=1$, come $F(0)=1$.

Numeri: $T_c+\tau_p=60\ \mu$s: $a_1=\frac{50}{60}=0{,}833$, $b_0=\frac{10+200}{60}=3{,}5$, $b_1=-\frac{200}{60}=-3{,}333$. Risposta a un gradino unitario: $y(0)=3{,}5$, $3{,}083$, $2{,}736$, $2{,}447$, $2{,}206$, $2{,}005,\dots\to1$. Confronto con il filtro analogico $1+3\,e^{-t/\tau_p}$ a $t=kT_c$: $4{,}00$; $3{,}46$; $3{,}01$; $2{,}65$; $2{,}35$; $2{,}10$: stessa forma, con uno scostamento iniziale ($3{,}5$ contro 4) dovuto alla discretizzazione; l'accuratezza di Eulero è migliore con $T_c\ll\tau_p$.

(b) Passa-alto

$$F(z)=\frac{\tau_z\frac{1-z^{-1}}{T_c}}{1+\tau_p\frac{1-z^{-1}}{T_c}}=\frac{\tau_z(1-z^{-1})}{(T_c+\tau_p)-\tau_pz^{-1}}$$ $$\boxed{y(k)=\frac{\tau_p}{T_c+\tau_p}\,y(k-1)+\frac{\tau_z}{T_c+\tau_p}\,\big[x(k)-x(k-1)\big]}$$ (è il caso (a) con $b_0=-b_1$). Numeri: $T_c=50\ \mu$s, $\tau_z=\tau_p=1$ ms: $a_1=\frac{1}{1{,}05}=0{,}952$ e $\frac{\tau_z}{T_c+\tau_p}=0{,}952$: $y(k)=0{,}952\,y(k-1)+0{,}952\,[x(k)-x(k-1)]$ (è il filtro dell'esercizio precedente con $\lambda=0{,}05$, $\tau=20\,T_c$). Il guadagno in continua è 0: $F(0)=0$.

(c) Regolatore PI

$$R(z)=\frac{1+\tau_z\frac{1-z^{-1}}{T_c}}{\tau_p\frac{1-z^{-1}}{T_c}}=\frac{T_c+\tau_z-\tau_zz^{-1}}{\tau_p\,(1-z^{-1})}$$ $$\boxed{y(k)=y(k-1)+\frac{T_c+\tau_z}{\tau_p}\,x(k)-\frac{\tau_z}{\tau_p}\,x(k-1)}$$ Con $R(s)=\frac1{s\tau_p}+\frac{\tau_z}{\tau_p}=k_p+\frac{k_i}s$ si legge $k_p=\dfrac{\tau_z}{\tau_p}$, $k_i=\dfrac1{\tau_p}$. L'algoritmo è equivalente a $y(k)=y(k-1)+k_p\,[x(k)-x(k-1)]+k_iT_c\,x(k)$ (forma "di velocità", con $k_I'=k_iT_c=\frac{T_c}{\tau_p}$): infatti $k_p\,x(k)+k_iT_c\,x(k)=\frac{\tau_z+T_c}{\tau_p}x(k)$ e $-k_p\,x(k-1)=-\frac{\tau_z}{\tau_p}x(k-1)$ ✓.

Numeri: $k_p=2$, $k_i=500\ \text{s}^{-1}$, $T_c=1$ ms: $\tau_p=\frac1{k_i}=2$ ms, $\tau_z=k_p\tau_p=4$ ms; $y(k)=y(k-1)+\frac{1+4}{2}x(k)-\frac42x(k-1)=y(k-1)+2{,}5\,x(k)-2\,x(k-1)$. Verifica con la forma di velocità: $2\,[x(k)-x(k-1)]+0{,}5\,x(k)$ ✓. Con errore costante $x=1$: $y(0)=2{,}5$ (l'azione proporzionale agisce subito: $k_p=2$ più $k_iT_c=0{,}5$), poi $y(k)=y(k-1)+0{,}5$: $2{,}5;\ 3;\ 3{,}5;\dots$ (rampa).

Errori comuni

• Dimenticare di dividere i coefficienti per $(T_c+\tau_p)$ (per il PI per $\tau_p$): il coefficiente di $y(k)$ deve essere 1.
• Scrivere $\tau_z$ al posto di $(T_c+\tau_z)$ nel coefficiente di $x(k)$.
• Dimenticare il segno meno nel coefficiente di $x(k-1)$.
• Confondere $k_i$ (in $\text{s}^{-1}$) con il coefficiente dell'algoritmo $k_iT_c$.