Virgola fissa - formati n.m e normalizzazione

** $2^{m}$ resta sottinteso: il formato **n.m** dice che dei bit disponibili $n$ sono la parte intera (compreso il segno se il numero è con segno, **S**; nessun segno se **U**) e $m$ la parte frazionaria. Il valore è $\text{codice}/2^m$. Passare dal formato **n.m** al decimale, o viceversa, è il calcolo più frequente dell'esame: su 16 bit $\text{valore}=\text{codice}/2^m$, l'intervallo è $[0,2^n)$ (U) oppure $[-2^{n-1},2^{n-1})$ (S), la risoluzione è $2^{-m}$. -->

L'aritmetica a virgola fissa (fixed pointnumeri con la virgola in una posizione stabilita una volta per tutte dal programmatore) è quella usata nella maggior parte dei µC e in molti DSP. In sostanza è l'aritmetica degli interi con segno (Numeri binari e complemento a dueI processori lavorano con un numero fisso di bit $n$. I naturali vanno da $0$ a $2^n-1$; per i negativi si usa il complemento a due: $C_2(N)=2^n-N=\overline N+1$ (si invertono tutti i bit e si somma 1). Con $n$ bit rappresenta $-2^{n-1}\le N\le2^{n-1}-1$, ha un solo zero e unifica somma e sottrazione. Quando il risultato esce dall'intervallo c'è overflow; gli overflow intermedi si compensano se il risultato finale è rappresentabile. La lunghezza di parola non è l'accuratezza.Numeri binari e complemento a due →), più un fattore di normalizzazionecostante 2 elevato a m per cui si moltiplica il valore reale prima di arrotondarlo a intero $2^m$ deciso dal programmatore e mai scritto nel dato. Fissare la normalizzazionescelta del fattore di scala, cioè di dove sta la virgola, per un dato significa fissare l'intervallo dei valori rappresentabili. Senza conoscerla è impossibile decodificare un numero.

Il formato n.m

Si indica con n.m una parola in cui:

• $m$ è il numero di bit della parte frazionaria (la virgola è $m$ posti a destra del bit meno significativo);
• $n$ è il numero di bit della parte intera; se il numero è con segno (S), in $n$ è incluso il bit di segno; se è senza segno (U), tutti gli $n$ bit sono di valore.

Su una parola di $W$ bit si ha $n+m=W$. Il valore del codice intero $C$ (letto come naturale per U, come complemento a 2codifica dei numeri con segno: il negativo di N su n bit è 2 elevato a n meno N per S) è $$\boxed{x=\frac{C}{2^m}}\qquad\text{e viceversa}\qquad C=\mathrm{round}(x\cdot2^m).$$

• Formato U: $0\le x\le2^n-2^{-m}$.
• Formato S: $-2^{n-1}\le x\le2^{n-1}-2^{-m}$.
• Risoluzione (passo tra due valori vicini, il peso del bit meno significativo, LSBLeast Significant Bit: il bit meno significativo; per un valore normalizzato pesa $2^{-m}$): $2^{-m}$. L'errore massimo di arrotondamentosostituzione del valore con il più vicino rappresentabile è metà passo: $2^{-(m+1)}$.

Tabella per $W=16$ (la scelta di $m$ è un compromesso tra intervallo e risoluzioneil più piccolo passo tra due valori rappresentabili consecutivi):

Il caso $n=0$ (U) o $n=1$ (S) si chiama rappresentazione frazionariaformato in cui i numeri sono frazioni minori di 1 in modulo o Qnformato frazionario in cui la virgola è subito dopo il bit di segno: Q15 coincide con 1.15, Q7 con 1.7: i numeri sono frazioni in $[-1,1)$ e il massimo positivo $1-2^{-m}$ è $\texttt{7FFF}_{16}$ su 16 bit. Per un intero puro si ha $m=0$ (virgola a destra dell'LSB). Per le parole a 8 bit Q7 vuol dire 1.7, per 16 bit Q15 vuol dire 1.15.

Decodificare: dal codice esadecimale al decimale

Procedura: (1) leggere il codice come intero (per S, se il bit più alto è 1 sottrarre $2^W$); (2) dividere per $2^m$.

Esempi su 16 bit.

• $\texttt{0xBAAA}$ in 3.13 U: $47786/2^{13}=47786/8192=\mathbf{5{,}833}$.
• $\texttt{0x8ABA}$ in 1.15 S: il bit più alto è 1, quindi $35514-65536=-30022$ e $-30022/32768=\mathbf{-0{,}916}$.
• $\texttt{0xDF00}$ in 2.14 U: $57088/16384=\mathbf{3{,}484}$.
• $\texttt{0x92AA}$ in 9.7 S: $37546-65536=-27990$, $-27990/128=\mathbf{-218{,}67}$.
• Lo stesso codice $\texttt{0x9F68}=40808$ vale in 3.13 S: $(40808-65536)/8192=-3{,}019$; in 3.13 U: $40808/8192=4{,}981$; in 5.11 S: $-24728/2048=-12{,}074$; in 5.11 U: $19{,}926$. Cambiando il formato cambia tutto.
• $\texttt{0xEF00}$ in 8.8 S: $61184-65536=-4352$, $-4352/256=\mathbf{-17}$.

Errori da evitare quando si somma e si moltiplica

Due insidie sempre presenti:

1. Somma: i due addendi devono avere lo stesso fattore di scala. Il processore non allinea da solo le virgole. Esempio: $01.0010_2$ (formato 2.4: $18/16=1{,}125$) più $00.1010_2$ ($10/16=0{,}625$) dà $01.1100_2=28/16=1{,}75$, corretto solo perché le virgole coincidono.
2. Prodotto: moltiplicando due numeri $n_1.m_1$ e $n_2.m_2$ si ottiene un intero che ha $m_1+m_2$ bit frazionari: il fattore di scala del prodotto è il prodotto dei fattori di scala (per questo, dopo il prodotto, serve un riallineamentospostamento (shift) del risultato per riportarlo allo stesso fattore di scala degli altri dati). Esempio: $18\cdot10=180=0000\,1011\,0100_2$; interpretato con 4 bit frazionari vale $11{,}25$ (sbagliato); con $4+4=8$ bit frazionari vale $180/256=0{,}703=1{,}125\cdot0{,}625$ (corretto).

Questi due punti, con il resto delle operazioni, sono in Operazioni in virgola fissa - somma, prodotto e riallineamentoIn virgola fissa il processore opera sugli interi e non sa dov'è la virgola: tocca al programmatore. Regola 1: si sommano solo dati con lo stesso formato (stesso $m$). Regola 2: il prodotto di $n_1.m_1$ per $n_2.m_2$ ha $m_1+m_2$ bit frazionari e il doppio dei bit: va riallineato con uno shift a destra di $m_2$ posizioni (per riportarlo a $m_1$) o preso dalla parte alta. Con la normalizzazione frazionaria $1.15$ il prodotto è $2.30$ e basta uno shift a sinistra di 1 prima di prendere la parte alta. I fattori di scala si scelgono per evitare overflow e perdita di risoluzione.Operazioni in virgola fissa - somma, prodotto e riallineamento →. Come si sceglie il formato e si calcola l'errore è in Rappresentare un valore reale in virgola fissa - formato ottimo ed errorePer rappresentare un reale $x$ su $W$ bit a virgola fissa si sceglie il formato che minimizza l'erroresceglie la rappresentazione per cui la differenza tra il valore rappresentato e quello vero è la più piccola possibile: il maggior numero di bit frazionari $m$ compatibile con l'intervallo ($n=W-m$ bit interi, con U se $x\ge0$, con S se $x<0$). Poi $C=\mathrm{round}(x\cdot2^m)$, scritto in esadecimale (per un negativo, in complemento a 2), e l'errore $\varepsilon=\frac{C}{2^m}-x$, positivo se in eccesso, ha modulo $\le2^{-(m+1)}$. Se invece è dato l'errore massimo, i bit minimi si ricavano da $2^{-(m+1)}\le\varepsilon_{max}$.Rappresentare un valore reale in virgola fissa - formato ottimo ed errore →.

Altre convenzioni usate in esame

• Il formato è dichiarato dal programmatore: il codice dovrebbe riportare in ogni modulo la normalizzazione scelta, per chi lo legge.
• Intero con segno su 8 bit (come $-128\dots127$) corrisponde a 8.0 S; $\texttt{0x80}$ vale $-128$.
• L'allineamento di un dato più corto (per esempio quello dell'ADC a 12 bit) in una parola a 16 bit si fa a destra (i due LSB coincidono, normalizzazione intera) oppure a sinistra (i due MSB coincidono, normalizzazione frazionaria): Realizzare un filtro o un regolatore a virgola fissaRealizzare in C un filtro a virgola fissa vuol dire scegliere per ogni dato il formato (coefficienti $<1$ in 0.16 U, coefficienti $>1$ in 1.15, 4.12, 5.11 S...), moltiplicare con aritmetica a 32 bit ($16\times16\to32$) e riportare il prodotto al formato di arrivo con uno shift a destrascorrimento dei bit verso destra: equivale a dividere per una potenza di 2; per sommare due prodotti con scale diverse si fa lo shift prima di sommare. Con $a+b=2^{16}$ il filtro $y=\big(a,y_{k-1}+b,(u\ll4)\big)\gg16$ non va in overflow in un uint32_t. Nel codice il formato di ogni variabile va dichiarato in un commento; la funzione $\sin x\approx x-\frac{x^3}6+\frac{x^5}{120}$ mostra come si approssima una funzione con polinomi a coefficienti in virgola fissa.Realizzare un filtro o un regolatore a virgola fissa →.
• L'errore di rappresentazione si indica con segno positivo se il valore rappresentato è in eccesso rispetto al vero.

Errori comuni

• Dimenticare che in un formato S il segno fa parte di $n$ (1.15 S: un bit di segnoil bit più significativo: vale 1 per i negativi e 15 frazionari, non 16 frazionari).
• Leggere un codice negativo come naturale (o viceversa) perché si è sbagliata la "S/U".
• Sommare due numeri con $m$ diversi senza riallineare.
• Scambiare Q15 e 0.15: Q15 è 1.15 S (16 bit totali).