Esercizio 1da reale a esadecimale con formato ottimo, errore e bit minimi (temi d'esame febbraio 2023, gennaio 2022 e settembre 2026)

---

Teoria usata: Rappresentare un valore reale in virgola fissa - formato ottimo ed errorePer rappresentare un reale $x$ su $W$ bit a virgola fissa si sceglie il formato che minimizza l'erroresceglie la rappresentazione per cui la differenza tra il valore rappresentato e quello vero è la più piccola possibile: il maggior numero di bit frazionari $m$ compatibile con l'intervallo ($n=W-m$ bit interi, con U se $x\ge0$, con S se $x<0$). Poi $C=\mathrm{round}(x\cdot2^m)$, scritto in esadecimale (per un negativo, in complemento a 2), e l'errore $\varepsilon=\frac{C}{2^m}-x$, positivo se in eccesso, ha modulo $\le2^{-(m+1)}$. Se invece è dato l'errore massimo, i bit minimi si ricavano da $2^{-(m+1)}\le\varepsilon_{max}$.Rappresentare un valore reale in virgola fissa - formato ottimo ed errore →, Virgola fissa - formati n.m e normalizzazioneIn virgola fissa il processore fa aritmetica sugli interi (con segno) e il fattore di scalacostante per cui si moltiplica un valore reale per ottenere l'intero memorizzato $2^{m}$ resta sottinteso: il formato n.m dice che dei bit disponibili $n$ sono la parte intera (compreso il segno se il numero è con segno, S; nessun segno se U) e $m$ la parte frazionaria. Il valore è $\text{codice}/2^m$. Passare dal formato n.m al decimale, o viceversa, è il calcolo più frequente dell'esame: su 16 bit $\text{valore}=\text{codice}/2^m$, l'intervallo è $[0,2^n)$ (U) oppure $[-2^{n-1},2^{n-1})$ (S), la risoluzione è $2^{-m}$.Virgola fissa - formati n.m e normalizzazione →.

Il metodo

Per ogni numero $x$: (1) U se $x\ge0$, S se $x<0$; (2) $n$ = minimo numero di bit interi che contiene $x$ (per S il segno è compreso); (3) $m=16-n$; (4) $C=\mathrm{round}(x\cdot2^m)$, con $C+2^{16}$ se negativo; (5) $\varepsilon=C/2^m-x$.

(a)

Per $+\frac8{11}$ il numero è minore di 1 e positivo, quindi tutti i 16 bit sono frazionari (0.16 U); per $-\frac8{11}$ serve il bit di segno e restano 15 frazionari. Per $-123{,}34$: $2^7=128>123{,}34$, quindi servono 8 bit interi con il segno (8.8 S). $1{,}625=\frac{13}8$ è esatto.

(b)

$+\frac43=1{,}3333$: 1.15 U, $C=\mathrm{round}(1{,}3333\cdot32768)=43691=\texttt{0xAAAB}$, $\varepsilon=+1{,}0\cdot10^{-5}$. $-\frac43$: tra $-1$ e $-2$, serve 2.14 S ($[-2,2)$), $C=\mathrm{round}(-21845{,}3)=-21845\to43691=\texttt{0xAAAB}$ (stesso codice del positivo: letto come 2.14 S vale $-1{,}3333$), $\varepsilon=+2{,}0\cdot10^{-5}$. $+8{,}625$: $8{,}625<16$: 4.12 U, $C=8{,}625\cdot4096=35328=\texttt{0x8A00}$, $\varepsilon=0$. $-1{,}75$: 2.14 S, $C=-1{,}75\cdot16384=-28672\to36864=\texttt{0x9000}$, $\varepsilon=0$.

(c)

• $\frac{14}9=1{,}5556$: 1.15 U, $C=\mathrm{round}(50972{,}4)=50972=\texttt{0xC71C}$, $\varepsilon=-1{,}36\cdot10^{-5}$.
• $-0{,}1357$: 1.15 S, $C=\mathrm{round}(-4446{,}6)=-4447\to61089=\texttt{0xEEA1}$, $\varepsilon=-1{,}17\cdot10^{-5}$.
• $+3{,}275$: 2.14 U ($3{,}275<4$), $C=\mathrm{round}(53657{,}6)=53658=\texttt{0xD19A}$, $\varepsilon=+2{,}44\cdot10^{-5}$.
• $-9{,}922$: $|x|<16$ quindi serve $n-1=4$ bit di modulo più il segno: 5.11 S, $C=\mathrm{round}(-20320{,}3)=-20320\to45216=\texttt{0xB0A0}$, $\varepsilon=+1{,}25\cdot10^{-4}$.

(d) Bit minimi per $\varepsilon<5\cdot10^{-5}$

• $\frac13$ (U, $n=0$): con $m=12$: $C=1365$, $\varepsilon=8{,}1\cdot10^{-5}$ (troppo); con $m=13$: $C=2731$, $\varepsilon=4{,}1\cdot10^{-5}$ ✓. 13 bit (0.13 U).
• $23{,}57$ (U, $n=5$): $m=13$: $C=193085$, $\varepsilon=-5{,}4\cdot10^{-5}$ (troppo); $m=14$: $C=386171$, $\varepsilon=+7{,}3\cdot10^{-6}$ ✓. $5+14=19$ bit.
• $-31{,}125=-\frac{249}8$: esatto con $m=3$; per S serve l'intervallo $[-32,32)$, $n=6$: $6+3=9$ bit, errore nullo.

(e) Q7 con troncamento

Q7 = 1.7 S: $C=\mathrm{trunc}(x\cdot128)$ (troncamento del modulo).

• $-0{,}567\cdot128=-72{,}576\to-72=10111000_2=\texttt{0xB8}$; valore rappresentato $-72/128=-0{,}5625$; $\varepsilon=+0{,}0045$.
• $0{,}123\cdot128=15{,}74\to15=00001111_2=\texttt{0x0F}$; rappresentato $0{,}1172$; $\varepsilon=-5{,}8\cdot10^{-3}$. Con arrotondamento si avrebbe $-73$ ($\varepsilon=-0{,}0033$) e $16$ ($\varepsilon=+0{,}0020$): l'errore massimo di troncamento è $2^{-7}=0{,}0078$, doppio di quello di arrotondamento ($0{,}0039$).

Errori comuni

• Usare S per un numero positivo e perdere un bit di precisione ($+\frac8{11}$ in 1.15 S invece di 0.16 U).
• Scegliere $n$ senza controllare che il numero entri nell'intervallo (per esempio $-4/3$ in 1.15 S non entra).
• Scrivere il modulo di un negativo senza il complemento a 2.
• Dimenticare di verificare la soglia: per (d) la formula $m\ge\log_2\frac1{2\varepsilon}$ non basta.