Esercizio 30istruzione MAC con accumulatore a 32 bit e arrotondamento (tema d'esame luglio 2020)

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Teoria usata: Operazioni in virgola fissa - somma, prodotto e riallineamentoIn virgola fissa il processore opera sugli interi e non sa dov'è la virgola: tocca al programmatore. Regola 1: si sommano solo dati con lo stesso formato (stesso $m$). Regola 2: il prodotto di $n_1.m_1$ per $n_2.m_2$ ha $m_1+m_2$ bit frazionari e il doppio dei bit: va riallineato con uno shift a destra di $m_2$ posizioni (per riportarlo a $m_1$) o preso dalla parte alta. Con la normalizzazione frazionaria $1.15$ il prodotto è $2.30$ e basta uno shift a sinistra di 1 prima di prendere la parte alta. I fattori di scala si scelgono per evitare overflow e perdita di risoluzione.Operazioni in virgola fissa - somma, prodotto e riallineamento →, Architettura del repertorio di istruzioni - RISC, CISC, VLIW e indirizzamentoL'architettura è l'insieme delle risorse visibili al programmatore (istruzioni, modi di indirizzamento). RISC: poche istruzioni semplici, di uguale lunghezza, decodifica cablata, quasi tutte a 1 ciclo; CISC: molte istruzioni complesse, decodifica microprogrammata, più cicli. I DSP sono RISC "potenziati" (MAC, saturazione, barrel shifter, arrotondamento, VLIW, SIMD); i modi di indirizzamento tipici sono immediato, a registro, diretto, indiretto, con auto-incremento, circolare e a bit rovesciati (per la FFT).Architettura del repertorio di istruzioni - RISC, CISC, VLIW e indirizzamento →, Quantizzazione, fattori di scala e cicli limiteUn algoritmo di filtro o regolatore pensato per un processore ideale va adattato alla realtà: temporizzazionedistribuzione nel tempo delle operazioni di un algoritmo (l'algoritmo nella ISR dell'ADC, durata minore di $T_c$), acquisizione (condizionamento del segnale per sfruttare tutto il fondo scala dell'ADC), fattori di scala (normalizzazione intera o 1.15; evitare overflow), quantizzazione di ingresso, uscita, coefficienti e prodotti (sposta i poli, genera errori a regime e cicli limite). Una frequenza di campionamento troppo alta rende più critica la quantizzazione dei coefficienti: va scelta coerente con la lunghezza di parola.Quantizzazione, fattori di scala e cicli limite →.

Interpretazione dei dati

In formato frazionario 1.15 con segno, $x_0=\texttt{0x3FFF}=16383$, cioè $\frac{16383}{32768}=0{,}49997$ (quasi $0{,}5$). $y_0=\texttt{0xB000}=45056$, bit di segno 1: $45056-65536=-20480$, cioè $\frac{-20480}{32768}=-0{,}625$. $ACC=\texttt{0x3B00FFFF}$ è un numero positivo a 32 bit che in formato 1.31 vale $\frac{989\,921\,279}{2^{31}}=0{,}4609$.

Moltiplicazione

Il prodotto intero dei due codici è $16383\cdot(-20480)=-335\,523\,840=\texttt{0xEC005000}$ (in complemento a 2 a 32 bit): è un numero in formato 2.30 ($15+15$ bit frazionari). La modalità frazionaria automatica sposta il risultato a sinistra di 1 bit (perché il prodotto di due frazioni 1.15 deve essere letto in 1.31): $-335\,523\,840\cdot2=-671\,047\,680=\texttt{0xD800A000}$ (valore $-0{,}3125$, coerente con $0{,}49997\cdot(-0{,}625)=-0{,}31248$).

Somma sull'accumulatore

$ACC_{new}=ACC+\texttt{0xD800A000}$ (somma modulo $2^{32}$, il secondo addendo è negativo): in decimale $989\,921\,279-671\,047\,680=318\,873\,599$, cioè $$ACC_{new}=\texttt{0x13019FFF}\ \ (\text{valore }0{,}1485\text{ in 1.31}).$$ Non c'è overflow (positivo più negativo: segni opposti).

Parte alta con arrotondamento

La parte alta dell'accumulatore è $ACCH=\texttt{0x1301}$ (troncamento) e la parte bassa è $\texttt{0x9FFF}$. Per ridurre l'accumulatore da 32 a 16 bit con arrotondamento si somma metà LSB della parte alta ($\texttt{0x8000}$) prima di scartare la parte bassa: poiché $\texttt{0x9FFF}\ge\texttt{0x8000}$ (il primo bit scartato è 1), la parte alta si incrementa di 1: $$\boxed{ACCH=\texttt{0x1302}}\qquad(0{,}1485\ \text{in 1.15: }\tfrac{4866}{32768}=0{,}14850).$$

Verifica del valore: $0{,}46096+0{,}49997\cdot(-0{,}625)=0{,}46096-0{,}31248=0{,}14848$; in 1.15: $0{,}14848\cdot32768=4865{,}5\to4866=\texttt{0x1302}$ ✓ (la parte bassa $\texttt{0x9FFF}$ vale circa $0{,}62$ LSB della parte alta, quindi si arrotonda per eccesso).

Errori comuni

• Dimenticare lo shift a sinistra di 1 della modalità frazionaria (il prodotto sarebbe interpretato come 2.30).
• Trattare $y_0=\texttt{0xB000}$ come positivo ($45056$): è negativo ($-20480$).
• Sommare la parte alta del prodotto alla parte alta di $ACC$ senza tenere conto della parte bassa e del riporto.
• Troncare invece di arrotondare quando la parte bassa è $\ge\texttt{0x8000}$.