Esercizio 2da esadecimale a decimale con formato assegnato (temi d'esame febbraio 2023, gennaio 2025, gennaio 2021 e luglio 2020)

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Teoria usata: Virgola fissa - formati n.m e normalizzazioneIn virgola fissa il processore fa aritmetica sugli interi (con segno) e il fattore di scalacostante per cui si moltiplica un valore reale per ottenere l'intero memorizzato $2^{m}$ resta sottinteso: il formato n.m dice che dei bit disponibili $n$ sono la parte intera (compreso il segno se il numero è con segno, S; nessun segno se U) e $m$ la parte frazionaria. Il valore è $\text{codice}/2^m$. Passare dal formato n.m al decimale, o viceversa, è il calcolo più frequente dell'esame: su 16 bit $\text{valore}=\text{codice}/2^m$, l'intervallo è $[0,2^n)$ (U) oppure $[-2^{n-1},2^{n-1})$ (S), la risoluzione è $2^{-m}$.Virgola fissa - formati n.m e normalizzazione →, Numeri binari e complemento a dueI processori lavorano con un numero fisso di bit $n$. I naturali vanno da $0$ a $2^n-1$; per i negativi si usa il complemento a due: $C_2(N)=2^n-N=\overline N+1$ (si invertono tutti i bit e si somma 1). Con $n$ bit rappresenta $-2^{n-1}\le N\le2^{n-1}-1$, ha un solo zero e unifica somma e sottrazione. Quando il risultato esce dall'intervallo c'è overflow; gli overflow intermedi si compensano se il risultato finale è rappresentabile. La lunghezza di parola non è l'accuratezza.Numeri binari e complemento a due →.

Metodo

Si legge il codice esadecimale come numero intero $C$ senza segno (da 0 a 65535). Se il formato è S e il bit più alto è 1 (cioè $C\ge32768$, prima cifra esadecimale da 8 a F) il numero è negativo: $C\leftarrow C-65536$. Poi $x=C/2^m$, con $m$ il numero dopo il punto del formato.

Svolgimento

(a)

• $\texttt{0xECCC}=60620$; U: $x=\frac{60620}{2^{14}}=\mathbf{3{,}700}$ (più precisamente $3{,}69995$).
• $\texttt{0x99F0}=39408\ge32768$: $C=39408-65536=-26128$; $x=\frac{-26128}{2^{15}}=\mathbf{-0{,}797}$.
• $\texttt{0x80F0}=33008$; U: $\frac{33008}{2^{13}}=\mathbf{4{,}029}$ (lo stesso codice in S sarebbe negativo).
• $\texttt{0xA9BC}=43452$: $C=-22084$; $x=\frac{-22084}{2^9}=\mathbf{-43{,}13}$.

(b)

• $\texttt{0x2CA0}=11424$ (prima cifra 2: positivo): $\frac{11424}{2^{13}}=\mathbf{1{,}395}$.
• $\texttt{0xABC0}=43968$: $C=-21568$; $x=\frac{-21568}{256}=\mathbf{-84{,}25}$ (esatto: $\texttt{0xABC0}=\texttt{0xAB}\cdot256+\texttt{0xC0}$).
• $\texttt{0xCB33}=52019$: $C=-13517$; $x=\frac{-13517}{2^9}=\mathbf{-26{,}40}$.

(c)

• $\texttt{0x4E19}=19993$; 4.12 U: $\frac{19993}{4096}=\mathbf{4{,}881}$.
• $\texttt{0x9F68}=40808$. In 3.13 S: $C=40808-65536=-24728$, $x=-24728/8192=\mathbf{-3{,}019}$. In 3.13 U: $x=40808/8192=\mathbf{4{,}981}$. Lo stesso codice dà due numeri molto diversi: senza il formato, il codice non ha significato.
• $\texttt{0xEF00}=61184$: $C=-4352$ in 8.8 S: $x=-4352/256=\mathbf{-17}$ (infatti $\texttt{0xEF}=-17$ come byte con segno).

(d)

• $\texttt{0xBD13}$ in 4.12 S: $48403-65536=-17133$, $x=-17133/4096=\mathbf{-4{,}183}$.
• $\texttt{0x6F98}$ in 13.3 S: $28568/8=\mathbf{3571}$ (positivo; $m=3$ bit frazionari, quindi precisione $0{,}125$).
• $\texttt{0xFFFF}$ in 1.15 S: $C=-1$: $x=-2^{-15}=\mathbf{-3{,}05\cdot10^{-5}}$ (il più piccolo negativo, un LSB).
• $\texttt{0x7523}$ in 2.14 S: $29987/16384=\mathbf{1{,}830}$.
• $\texttt{0x85AA}$ in 3.13 S: $34218-65536=-31318$, $x=-31318/8192=\mathbf{-3{,}823}$.

Controllo

Il valore ottenuto deve cadere nell'intervallo del formato: per 2.14 U $[0,4)$ ✓ ($3{,}70$); per 1.15 S $[-1,1)$ ✓ ($-0{,}797$); per 3.13 U $[0,8)$ ✓ ($4{,}03$); per 7.9 S $[-64,64)$ ✓ ($-43{,}13$ e $-26{,}40$); per 8.8 S $[-128,128)$ ✓.

Errori comuni

• Leggere un codice con prima cifra $\ge8$ come positivo in un formato S (o come negativo in U).
• Dividere per $2^n$ invece che per $2^m$ (si scambiano parte intera e parte frazionaria).
• Dimenticare che in S il segno fa parte di $n$ (1.15 S ha 15 bit frazionari, intervallo $[-1,1)$).
• Convertire male l'esadecimale (per esempio $\texttt{0xCB33}=12\cdot4096+11\cdot256+3\cdot16+3=52019$).