Esercizio 3calcolo di y = a·x + b e di un polinomio in virgola fissa a 32 bit (temi d'esame gennaio 2026 e settembre 2026)

Teoria usata: Operazioni in virgola fissa - somma, prodotto e riallineamentoIn virgola fissa il processore opera sugli interi e non sa dov'è la virgola: tocca al programmatore. Regola 1: si sommano solo dati con lo stesso formato (stesso $m$). Regola 2: il prodotto di $n_1.m_1$ per $n_2.m_2$ ha $m_1+m_2$ bit frazionari e il doppio dei bit: va riallineato con uno shift a destra di $m_2$ posizioni (per riportarlo a $m_1$) o preso dalla parte alta. Con la normalizzazione frazionaria $1.15$ il prodotto è $2.30$ e basta uno shift a sinistra di 1 prima di prendere la parte alta. I fattori di scala si scelgono per evitare overflow e perdita di risoluzione.Operazioni in virgola fissa - somma, prodotto e riallineamento →, Rappresentare un valore reale in virgola fissa - formato ottimo ed errorePer rappresentare un reale $x$ su $W$ bit a virgola fissa si sceglie il formato che minimizza l'erroresceglie la rappresentazione per cui la differenza tra il valore rappresentato e quello vero è la più piccola possibile: il maggior numero di bit frazionari $m$ compatibile con l'intervallo ($n=W-m$ bit interi, con U se $x\ge0$, con S se $x<0$). Poi $C=\mathrm{round}(x\cdot2^m)$, scritto in esadecimale (per un negativo, in complemento a 2), e l'errore $\varepsilon=\frac{C}{2^m}-x$, positivo se in eccesso, ha modulo $\le2^{-(m+1)}$. Se invece è dato l'errore massimo, i bit minimi si ricavano da $2^{-(m+1)}\le\varepsilon_{max}$.Rappresentare un valore reale in virgola fissa - formato ottimo ed errore →, Realizzare un filtro o un regolatore a virgola fissaRealizzare in C un filtro a virgola fissa vuol dire scegliere per ogni dato il formato (coefficienti $<1$ in 0.16 U, coefficienti $>1$ in 1.15, 4.12, 5.11 S...), moltiplicare con aritmetica a 32 bit ($16\times16\to32$) e riportare il prodotto al formato di arrivo con uno shift a destrascorrimento dei bit verso destra: equivale a dividere per una potenza di 2; per sommare due prodotti con scale diverse si fa lo shift prima di sommare. Con $a+b=2^{16}$ il filtro $y=\big(a,y_{k-1}+b,(u\ll4)\big)\gg16$ non va in overflow in un uint32_t. Nel codice il formato di ogni variabile va dichiarato in un commento; la funzione $\sin x\approx x-\frac{x^3}6+\frac{x^5}{120}$ mostra come si approssima una funzione con polinomi a coefficienti in virgola fissa.Realizzare un filtro o un regolatore a virgola fissa →.

(i) Formati e codici

Si sceglie per ciascun dato il formato con il massimo numero di bit frazionari che contiene il valore:

• $a=0{,}35$: positivo, minore di 1: 0.16 U, $C_a=\mathrm{round}(0{,}35\cdot65536)=22938=\texttt{0x599A}$ ($\varepsilon=+6{,}1\cdot10^{-6}$);
• $x=-2{,}725$: negativo, $|x|<4$: 3.13 S (segno + 2 bit interi + 13 frazionari), $C_x=\mathrm{round}(-2{,}725\cdot8192)=-22323\to65536-22323=43213=\texttt{0xA8CD}$ ($\varepsilon=+2{,}4\cdot10^{-5}$);
• $b=1{,}52$: positivo, tra 1 e 2: 1.15 U, $C_b=\mathrm{round}(1{,}52\cdot32768)=49807=\texttt{0xC28F}$ ($\varepsilon=-1{,}1\cdot10^{-5}$);
• $y$: il valore atteso è $0{,}35\cdot(-2{,}725)+1{,}52=-0{,}95375+1{,}52=0{,}56625$: positivo e minore di 1: 0.16 U.

Riallineamento del calcolo

Il prodotto $a\cdot x$ ha $16+13=29$ bit frazionari. Per sommare $b$ (15 bit frazionari) i due addendi devono avere lo stesso numero di bit frazionari: si sposta $b$ a sinistra di 14 posti (29 bit frazionari). La somma ha 29 bit frazionari; per ottenere $y$ in 0.16 U (16 bit frazionari) si sposta a destra di 13: $$y_{16}=\big(C_a\cdot C_x+(C_b\ll14)\big)\gg13 .$$ Controllo di non overflow su 32 bit con segno: $|C_aC_x|\le65535\cdot32768=2{,}147\cdot10^9<2^{31}$; $C_b\ll14=816\,037\,888$; la somma è $303\,992\,914<2^{31}$ ✓.

Numeri: $C_aC_x=22938\cdot(-22323)=-512\,044\,974$; $C_b\ll14=49807\cdot16384=816\,037\,888$; somma $=303\,992\,914$ (a 29 bit frazionari vale $0{,}56623$); $\gg13$: $y_{16}=37108=\texttt{0x90F4}$, cioè $37108/65536=0{,}566223$.

Errore assoluto su $y$: $|0{,}566223-0{,}56625|=\mathbf{2{,}7\cdot10^{-5}}$ (dovuto ai tre arrotondamenti dei dati e al troncamento dello shift finale).

In C (con uint16_t a16=0x599A; int16_t x16=(int16_t)0xA8CD; uint16_t b16=0xC28F;):

y16 = (uint16_t)( ( (int32_t)a16 * (int32_t)x16 + ((int32_t)b16 << 14) ) >> 13 );   // y in 0.16 U

Notare i cast a int32_t prima del prodotto (per evitare l'overflow di int a 16 bit e perché x16 è con segno) e che lo shift a destra di un intero con segno è aritmetico.

(ii) Polinomio per il seno

(a) Coefficienti in 0.16 U con arrotondamento: $b=\frac16=0{,}166667$: $\mathrm{round}(10922{,}67)=10923=\texttt{0x2AAB}$, $\varepsilon=+5{,}1\cdot10^{-6}$; $c=\frac1{120}=0{,}008333$: $\mathrm{round}(546{,}13)=546=\texttt{0x0222}$, $\varepsilon=-2{,}0\cdot10^{-6}$. ($a=1$ non è rappresentabile in 0.16 U: si tratta come $x$ stesso, senza moltiplicazione.)

(b) Il valore di $x$. $x=60^\circ=\frac\pi3=1{,}047198$ rad, in 1.15 U ($x\in[0,2)$): $C_x=\mathrm{round}(1{,}047198\cdot32768)=34315=\texttt{0x860B}$; il valore realmente usato è $\frac{34315}{32768}=\mathbf{1{,}047211}$ (errore $+1{,}3\cdot10^{-5}$).

(c) Il valore calcolato. Il polinomio con coefficienti esatti calcolato in $x=1{,}047211$ dà $y_{vero}=1{,}047211-0{,}191404+0{,}010495=0{,}866302$. Il processore calcola: $x^2=(C_xC_x)\gg15$, $x^3=(x^2C_x)\gg15$, $x^5=(x^3x^2)\gg15$ (tutti in 1.15); poi $y=(C_x\ll1)-(C_b\,x^3\gg15)+(C_c\,x^5\gg15)$ in formato 0.16 U (i prodotti $0.16\cdot1.15$ hanno 31 bit frazionari: si scartano 15 bit; $C_x\ll1$ converte 1.15 in 0.16 U). Risultato: $y_{16}=\texttt{0xDDC5}=0{,}866287$; errore rispetto a $y_{vero}$: $-1{,}5\cdot10^{-5}$. Rispetto a $\sin60^\circ=0{,}866025$ l'errore è $+2{,}6\cdot10^{-4}$: è dominato dall'errore di troncamento della serie di Taylor (ordine 5), non dalla rappresentazione.

Errori comuni

• Usare per $x=-2{,}725$ il formato 2.14 S (non contiene $-2{,}725$, intervallo $[-2,2)$).
• Sommare $a\cdot x$ (29 bit frazionari) e $b$ (15) senza riallineare.
• Fare il prodotto in 16 bit (uint16_t*int16_t è promosso a int che può andare bene su ARM a 32 bit, ma il risultato va riportato con shift; con tipi più corti si perde il segno).
• Dimenticare che il risultato dello shift su un intero negativo va ottenuto con shift aritmetico.