Esercizio 7virgola mobile a 16 bit, codifica, decodifica e somma (temi d'esame luglio 2020, febbraio 2025 e settembre 2026)

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Teoria usata: Virgola mobile - formato IEEE 754 e formato a 16 bitIn virgola mobile un numero è $(-1)^S,(1+F),2^{E-B}$: segno $S$, mantissa frazionaria $F$ (con l'$1$ iniziale implicito) ed esponente $E$ con offset $B$. La precisione relativa è costante ($\varepsilon=2^{-n_F}$) e cambia la spaziatura tra i valori; in $n$ bit si rappresentano gli stessi $2^n$ numeri della virgola fissa, ma distribuiti diversamente. Nello standard IEEE 754 a 32 bit: 1 bit di segno, 8 di esponente ($B=127$), 23 di mantissa. All'esame compare un formato a 16 bit (1+4+11, $B=7$): codifica, decodifica e somma con allineamento degli esponenti. Il campo esponente tutto a 0 con mantissa nulla è lo zero.Virgola mobile - formato IEEE 754 e formato a 16 bit →, Numeri binari e complemento a dueI processori lavorano con un numero fisso di bit $n$. I naturali vanno da $0$ a $2^n-1$; per i negativi si usa il complemento a due: $C_2(N)=2^n-N=\overline N+1$ (si invertono tutti i bit e si somma 1). Con $n$ bit rappresenta $-2^{n-1}\le N\le2^{n-1}-1$, ha un solo zero e unifica somma e sottrazione. Quando il risultato esce dall'intervallo c'è overflow; gli overflow intermedi si compensano se il risultato finale è rappresentabile. La lunghezza di parola non è l'accuratezza.Numeri binari e complemento a due →.

Richiami

$x=(-1)^S(1+F)\,2^{E-7}$ con $F=M/2^{11}$ ($M$ = mantissa a 11 bit). La codifica: $e=\lfloor\log_2|x|\rfloor$, $E=e+7$, $M=\mathrm{round}\big((|x|/2^e-1)\,2^{11}\big)$. Gli esponenti validi sono $E=1,\dots,14$ (0 e 15 sono riservati): $2^{-6}\le|x|<2^8$.

(a) $223{,}75+(-83{,}375)$

• $223{,}75=11011111{,}11_2=1{,}101111111\cdot2^7$: $e=7$, $E=14=1110$; $M=0{,}748046875\cdot2048=1532=10111111100_2$. Parola: $0\;1110\;10111111100=\texttt{0x75FC}$. È esatto (la mantissa ha solo 9 cifre significative).
• $-83{,}375=-1010011{,}011_2=-1{,}010011011\cdot2^6$: $e=6$, $E=13=1101$; $M=0{,}302734375\cdot2048=620=01001101100_2$. Parola: $1\;1101\;01001101100=\texttt{0xEA6C}$. Esatto.
• Somma. Mantisse con 1 implicito, in unità $2^{-11}$ (cioè $2048+M$): $223{,}75\to2048+1532=3580$; $83{,}375\to2048+620=2668$. Gli esponenti sono 7 e 6: si allinea il secondo spostando la sua mantissa a destra di 1 posto: $2668\gg1=1334$ (nessun bit perso: 2668 è pari). Segni opposti, quindi si sottrae: $3580-1334=2246$. Poiché $2048\le2246<4096$ la mantissa è già normalizzata (tra 1 e 2) e l'esponente resta $E=14$. $M=2246-2048=198=00011000110_2$. Risultato: $0\;1110\;00011000110=\texttt{0x70C6}$, valore $\frac{2246}{2048}\cdot128=140{,}375$, esatto: errore nullo.

(b) Decodifica e somma

• (a) $0\;1010\;01100110101$: $S=0$; $E=1010_2=10\Rightarrow e=3$; $M=01100110101_2=821$, $F=0{,}4009$: $x=1{,}4009\cdot8=\mathbf{11{,}207}$.
• (b) $1\;1000\;01100110101$: $S=1$; $E=1000_2=8\Rightarrow e=1$; stessa mantissa: $x=-1{,}4009\cdot2=\mathbf{-2{,}802}$.
• (c) $0\;1100\;11100011000$: $E=12\Rightarrow e=5$; $M=11100011000_2=1816$, $F=0{,}8867$: $x=1{,}8867\cdot32=\mathbf{60{,}375}$.

Somma $b+c=-2{,}8018+60{,}375=57{,}5732$. Si allinea l'addendo con esponente minore ($b$, $e=1$) a quello di $c$ ($e=5$): spostamento di 4 posti a destra. Mantisse con 1 implicito: $b$: $2048+821=2869$; $c$: $2048+1816=3864$. $2869\gg4=179$ (si perdono i 4 bit bassi: $2869/16=179{,}3$: troncamento o arrotondamento danno lo stesso 179). Segni opposti: $3864-179=3685=111001100101_2$, in $[2048,4096)$ quindi già normalizzato; esponente $E=12$. $M=3685-2048=1637=11001100101_2$. Risultato: $0\;1100\;11001100101$, cioè $\frac{3685}{2048}\cdot32=57{,}578$ (il valore esatto è $57{,}5732$: errore $4{,}9\cdot10^{-3}$, dovuto ai bit persi nell'allineamento).

(c) $n=-104{,}871$

$S=1$. $|n|=104{,}871=1{,}638609\cdot2^6$ ($64\cdot1{,}6386=104{,}871$): $e=6$, $E=13=1101$. $M=\mathrm{round}\big((1{,}638609-1)\cdot2048\big)=\mathrm{round}(1307{,}9)=1308=10100011100_2$. Parola: $1\;1101\;10100011100=\texttt{0xED1C}$. Valore rappresentato: $-(1+1308/2048)\cdot64=-104{,}875$; errore assoluto $|\varepsilon|=\mathbf{4\cdot10^{-3}}$ (precisamente $0{,}004$).

Errori comuni

• Dimenticare l'$1$ implicito nella decodifica e nelle somme tra mantisse.
• Usare l'esponente come numero senza sottrarre l'offset (7).
• Sommare le mantisse prima di avere uguagliato gli esponenti.
• Non verificare la normalizzazione dopo la somma (mantissa $\ge2$ → shift a destra e $E+1$; mantissa $<1$ → shift a sinistra e $E-1$).