Virgola mobile - formato IEEE 754 e formato a 16 bit

L'aritmetica a virgola fissa (Virgola fissa - formati n.m e normalizzazioneIn virgola fissa il processore fa aritmetica sugli interi (con segno) e il fattore di scalacostante per cui si moltiplica un valore reale per ottenere l'intero memorizzato $2^{m}$ resta sottinteso: il formato n.m dice che dei bit disponibili $n$ sono la parte intera (compreso il segno se il numero è con segno, S; nessun segno se U) e $m$ la parte frazionaria. Il valore è $\text{codice}/2^m$. Passare dal formato n.m al decimale, o viceversa, è il calcolo più frequente dell'esame: su 16 bit $\text{valore}=\text{codice}/2^m$, l'intervallo è $[0,2^n)$ (U) oppure $[-2^{n-1},2^{n-1})$ (S), la risoluzione è $2^{-m}$.Virgola fissa - formati n.m e normalizzazione →) tiene la virgola in una posizione stabilita una volta per tutte. Questo può compromettere l'accuratezzaquanto il valore rappresentato è vicino a quello vero: un esempio tipico è $\frac{A+B}{A-B}$ con $A=234{,}235$ e $B=234{,}234$, quasi uguali. Il risultato di $A-B$ ha una sola cifra significativa e quindi l'accuratezza del quoziente è bassissima (cosa succede con $B=234{,}233$?). Alcuni DSP, e pochissimi µC, usano allora la virgola mobile (floating point).

Precisione e accuratezza non sono la stessa cosa. La precisionenumero di cifre significative usate per rappresentare un numero è il numero di cifre significative usate; l'accuratezza misura quanto il valore rappresentato è vicino al vero. $\pi=3{,}14$ è meno preciso di $\pi=3{,}241592$ ma è più accurato.

La rappresentazione

Si usa la notazione scientifica normalizzatascrittura di un numero come una mantissa tra 1 e 2 per una potenza della base in base 2: $1{,}xxxxx\cdot2^{yyy}$. La parte $xxxxx$ è la mantissa, $yyy$ l'esponente. Lo standard IEEE 754standard internazionale adottato da tutti i processori recenti per la virgola mobile scrive $$x=(-1)^S\,(1+F)\,2^{E-B},$$ dove $S$ è il bit di segno, $F\in[0,1)$ la parte frazionaria della mantissa (l'$1$ a sinistra della virgola è implicito, non si memorizza), $E$ il campo esponentela potenza di 2 per cui si moltiplica la mantissa (un intero senza segno) e $B$ l'offsetcostante sottratta al campo esponente per ottenere l'esponente vero, così gli esponenti negativi si scrivono con un campo non negativo (bias). La parola ha tre campi: $S\;|\;E\;|\;F$.

Singola precisione (32 bit): $S$: 1 bit; $E$: 8 bit (valori $0\dots255$, offset $B=127$); $F$: 23 bit. Esistono anche la doppia (64 bit) e la quadrupla (128 bit) precisione. Intervallo dei positivi: $2^{-126}\approx1{,}2\cdot10^{-38}\le x\le2^{127}\approx1{,}7\cdot10^{38}$.

Per ogni valore dell'esponente i valori possibili della mantissala parte del numero che contiene le cifre significative sono "solo" $2^{23}$; poiché gli esponenti sono $2^8$, i positivi rappresentabili sono in totale $2^{31}$: tanti quanti quelli rappresentabili in virgola fissa su 32 bit. Cambia solo la spaziaturadistanza tra due numeri rappresentabili consecutivi: non è costante ma cresce con l'esponente. La distanza relativa tra due numeri consecutivi, rapportata a $2^{E-B}$, è invece costante e vale $\varepsilon=2^{-n_F}$ (precisione di macchinadistanza relativa minima tra due numeri rappresentabili: 2 elevato a meno il numero di bit della mantissa, $n_F$ numero di bit della mantissa).

Valori riservati: il campo esponente tutto a 0 (valore $-B$ dopo l'offset) serve a codificare lo zero, che non si potrebbe rappresentare con una mantissa nulla a causa dell'$1$ implicito; lo zerovalore 0: ha una codifica propria perché la mantissa implicita parte da 1 è quindi una parola priva di uni. Il campo esponente tutto a 1 serve per gli overflowvalore troppo grande per essere rappresentato e i valori non numerici (NaNNot a Number: codice che indica un risultato non rappresentabile o non definito).

Il formato a 16 bit dell'esame

Nelle prove di Elettronica Industriale si usa una ALU a virgola mobilerappresentazione in cui la posizione della virgola cambia con un esponente a 16 bit con: bit 15 = segno $S$; bit 14-11 = esponente (4 bit, offset $B=7$); bit 10-0 = mantissa (11 bit, $1$ implicito). Gli esponenti validi sono $E=1\dots14$, cioè $2^{-6}\dots2^{7}$, quindi il massimo valore è circa $2^8=256$.

Decodifica

Esempio: $0\;1010\;01100110101$. $S=0$; $E=1010_2=10$, esponente $10-7=3$; $F=01100110101_2=821/2048=0{,}4009$. Valore: $(1+0{,}4009)\cdot2^3=11{,}207$. Con $S=1$, $E=1000_2=8$ (esponente $1$) e la stessa mantissa: $-(1{,}4009)\cdot2=-2{,}802$. Con $0\;1100\;11100011000$: $E=12$ (esponente 5), $F=1816/2048=0{,}8867$: $1{,}8867\cdot32=60{,}375$.

Codifica

1. Il segno: bit $S$.
2. Normalizzazione: scrivere $|x|=1{,}f\cdot2^e$ con $e=\lfloor\log_2|x|\rfloor$.
3. Campo esponente $E=e+7$.
4. Mantissa: $F=\mathrm{round}\big((|x|/2^e-1)\cdot2^{11}\big)$ (11 bit; con arrotondamento, o con troncamentoeliminazione dei bit bassi senza arrotondare se richiesto).
5. Errore: $|x_{rap}-x|$.

Esempio $x=-104{,}871$: $104{,}871=1{,}6386\cdot2^6$, $e=6$, $E=13=1101_2$; $F=(104{,}871/64-1)\cdot2048=0{,}6386\cdot2048=1307{,}9\to1308=10100011100_2$. Parola: $1\;1101\;10100011100=\texttt{0xED1C}$. Valore rappresentato $-(1+1308/2048)\cdot64=-104{,}875$; errore $|\varepsilon|=0{,}004$. Per $-110{,}256$ con troncamento della mantissa: $1\;1101\;10111001000$ (cioè $\texttt{0xEDC8}$), valore $-110{,}25$, errore $6\cdot10^{-3}$.

Gli interi e le frazioni con pochi bit significativi sono rappresentati esattamente: $223{,}75=1{,}101111111\cdot2^7$ ($\texttt{0x75FC}$: $0\;1110\;10111111100$) e $-83{,}375$ ($\texttt{0xEA6C}$: $1\;1101\;01001101100$) non hanno errore.

Somma in virgola mobile

L'operazione richiede (1) identificare l'addendo con l'esponente minore; (2) allinearlo spostando a destra la sua mantissa fino a rendere uguali gli esponenti (nello shift si perdono i bit bassi: troncamento); (3) sommare (o sottrarre) le mantisse; (4) normalizzareriportare la mantissa tra 1 e 2 correggendo l'esponente il risultato (mantissa tra 1 e 2) correggendo l'esponente.

Esempio (formato a 16 bit con 5 bit di esponente, $B=15$, 10 di mantissa). $152{,}8-35{,}4$. $152{,}8\to0\;10110\;0011000110$ ($=152{,}75$, esponente $7$); $35{,}4\to1\;10100\;0001101101$ come addendo negativo (esponente $5$, $=-35{,}406$). Gli esponenti differiscono di 2: la mantissa del secondo (con 1 implicito: $1\,0001101101=1133$) si sposta di 2 posti a destra: $283$ (si perdono i due bit bassi: troncamento!). Mantisse con 1 implicito: $1222-283=939=1110101011_2$. Il risultato è già normalizzato per l'esponente 7: $939/1024\cdot2^7=117{,}375$. Il valore esatto è $117{,}4$: errore $0{,}025$, dovuto ai bit persi nell'allineamento.

Nell'esempio d'esame $223{,}75+(-83{,}375)=140{,}375=1{,}0001100011\cdot2^7$: i due operandi sono esatti, e si allineano (esponenti 7 e 6) senza perdere bit: risultato $\texttt{0x70C6}$ ($0\;1110\;00011000110$), errore nullo.

Quando conviene la virgola mobile

I circuiti sono molto più complessi di quelli per la virgola fissa (due ALU, due shifter, circuito per gli esponenti, arrotondamento), ma i µC/DSP in virgola mobile mantengono comunque anche la sezione a virgola fissa, che costa poco. Alcuni µC hanno un'unità aritmetica ausiliaria a virgola mobile in singola precisione (ARM Cortex-M4). I DSP per il controllo real time sono ancora tutti a virgola fissa; per il signal processing prevale la virgola mobile. Nei numeri a virgola mobile il segno è un bit separato dalla mantissa (codifica in modulo e segno), non il complemento a 2.

Errori comuni

• Dimenticare l'$1$ implicito (decodificando $(F)\,2^{E-B}$ invece di $(1+F)\,2^{E-B}$).
• Dimenticare l'offset: $E=1010$ vale esponente $3$, non $10$.
• Sommare le mantisse prima di avere uguagliato gli esponenti.
• Confondere precisione (cifre significative) e accuratezza (vicinanza al valore vero).