Esercizio 4somme in complemento a 2, overflow e flag (temi d'esame gennaio 2023, luglio 2026 e esempi di prova)

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Teoria usata: Numeri binari e complemento a dueI processori lavorano con un numero fisso di bit $n$. I naturali vanno da $0$ a $2^n-1$; per i negativi si usa il complemento a due: $C_2(N)=2^n-N=\overline N+1$ (si invertono tutti i bit e si somma 1). Con $n$ bit rappresenta $-2^{n-1}\le N\le2^{n-1}-1$, ha un solo zero e unifica somma e sottrazione. Quando il risultato esce dall'intervallo c'è overflow; gli overflow intermedi si compensano se il risultato finale è rappresentabile. La lunghezza di parola non è l'accuratezza.Numeri binari e complemento a due →, ALU - sommatore, overflow, carry look-ahead e shiftL'ALU è un insieme di celle a 1 bit (full adder + selettori) collegate in parallelo: somma, sottrae ($A-B=A+\overline B+1$: si inverte $B$ e si porta il riporto iniziale a 1), fa AND/OR. Il ritardo è dominato dal riporto: nel ripple-carry cresce linearmente con i bit; col carry look-aheadtecnica che calcola in anticipo i riporti da generazione e propagazione, riducendo il ritardo i riporti si calcolano da generazione $g_i=A_iB_i$ e propagazione $p_i=A_i+B_i$ in pochi livelli di logica. L'overflow è $V=C_{in,n-1}\oplus C_{out,n-1}$. Gli shift logici inseriscono 0, gli aritmetici estendono il segno; il barrel shiftercircuito che sposta una parola di un numero qualsiasi di posizioni in un solo ciclo sposta di $m$ posti in un ciclo.ALU - sommatore, overflow, carry look-ahead e shift →, Virgola fissa - formati n.m e normalizzazioneIn virgola fissa il processore fa aritmetica sugli interi (con segno) e il fattore di scalacostante per cui si moltiplica un valore reale per ottenere l'intero memorizzato $2^{m}$ resta sottinteso: il formato n.m dice che dei bit disponibili $n$ sono la parte intera (compreso il segno se il numero è con segno, S; nessun segno se U) e $m$ la parte frazionaria. Il valore è $\text{codice}/2^m$. Passare dal formato n.m al decimale, o viceversa, è il calcolo più frequente dell'esame: su 16 bit $\text{valore}=\text{codice}/2^m$, l'intervallo è $[0,2^n)$ (U) oppure $[-2^{n-1},2^{n-1})$ (S), la risoluzione è $2^{-m}$.Virgola fissa - formati n.m e normalizzazione →.

(i) Ordine delle somme

Con 8 bit con segno l'intervallo è $[-128,127]$.

$(55+121)-82$. Prima somma: $55+121=176>127$: overflow (due positivi danno un negativo): su 8 bit $176-256=-80$ ($\texttt{0xB0}$). Nell'ultima cella il riporto in ingresso è 1 e quello in uscita è 0: $V=C_{in}\oplus C_{out}=1$. Seconda operazione: $-80-82=-80+(-82)$; $-82=\texttt{0xAE}$: $\texttt{0xB0}+\texttt{0xAE}=\texttt{0x15E}\to\texttt{0x5E}=94$. Due negativi hanno dato un positivo: di nuovo overflow ($C_{in}=0$, $C_{out}=1$). Il risultato finale è $94$, corretto ($176-82=94$, rappresentabile): per la circolarità del complemento a 2 gli overflow intermedi si compensano. Il flag di overflow si attiva 2 volte.

$(121-82)+55$. $121-82=39$ (positivo meno positivo: nessun overflow, $V=0$: segni opposti dopo la negazione di 82); $39+55=94$, nessun overflow. Risultato 94, 0 volte il flag.

Riassunto: stesso risultato (94), ma nel primo ordine il flag si accende due volte. Un overflow non compensato renderebbe invece il risultato errato: per esempio $121+55=176$ come risultato finale su 8 bit è $-80$ (errato) e il flag segnala il problema.

(ii) Formato 2.6

Il formato 2.6 su 8 bit ha intervallo $[-2,2)$ e risoluzione $\frac1{64}$.

• $01101011=107$, cioè $1{,}672$; $10010110=-106$ (cioè $-1{,}656$). Somma: $107-106=1\to00000001=\frac1{64}=\mathbf{0{,}0156}$. Segni opposti: nessun overflow.
• $01111110=126$ ($1{,}969$); $10000000=-128$ ($-2{,}0$): somma $-2=11111110=\mathbf{-0{,}03125}$. Segni opposti: nessun overflow.
• $10001111=-113$ ($-1{,}766$) meno $01100110=102$ ($1{,}594$): $-113-102=-215$, fuori da $[-128,127]$: overflow. Il risultato nel circuito è $-215+256=41=00101001=\mathbf{0{,}6406}$, errato (il valore vero è $-215/64=-3{,}359$, non rappresentabile in 2.6). In termini di riporti: nell'ultima cella $C_{in}=0$ e $C_{out}=1$, $V=1$.

(iii) Somme esadecimali

$\texttt{73}=115$ e $\texttt{CA}=-54$: $115-54=\mathbf{61}$ ($\texttt{0x3D}$), nessun overflow. $\texttt{7F}=127$ e $\texttt{80}=-128$: $127-128=\mathbf{-1}$ ($\texttt{0xFF}$), nessun overflow (segni opposti). In decimale (con le tabelle del 2004): $01010111+11011010=87-38=49$; $01111110+10000001=126-127=-1$.

(iv) Vero o falso

• a. Vero. Tutti i processori rilevano l'overflow con un bit del registro di stato (flag V, che vale $C_{in}\oplus C_{out}$ nell'ultima cella: ALU - sommatore, overflow, carry look-ahead e shiftL'ALU è un insieme di celle a 1 bit (full adder + selettori) collegate in parallelo: somma, sottrae ($A-B=A+\overline B+1$: si inverte $B$ e si porta il riporto iniziale a 1), fa AND/OR. Il ritardo è dominato dal riporto: nel ripple-carry cresce linearmente con i bit; col carry look-aheadtecnica che calcola in anticipo i riporti da generazione e propagazione, riducendo il ritardo i riporti si calcolano da generazione $g_i=A_iB_i$ e propagazione $p_i=A_i+B_i$ in pochi livelli di logica. L'overflow è $V=C_{in,n-1}\oplus C_{out,n-1}$. Gli shift logici inseriscono 0, gli aritmetici estendono il segno; il barrel shiftercircuito che sposta una parola di un numero qualsiasi di posizioni in un solo ciclo sposta di $m$ posti in un ciclo.ALU - sommatore, overflow, carry look-ahead e shift →).
• b. Vero. I flag (zero, segno, riporto, overflow) formano il registro di stato.
• c. Falso. Il program counter contiene l'indirizzo dell'istruzione successiva da prelevare (durante l'esecuzione, in una pipeline, è già avanzato).
• d. Falso. Il vettore delle eccezioni è una tabella in memoria, non un registro della ALU.
• e. Falso. Molte ALU (e molti µC) sono prive del moltiplicatore hardware: il prodotto si fa con somme e shift (Moltiplicazione e algoritmo di BoothLa moltiplicazione hardware imita il calcolo a mano: somme e shift ripetuti. Per numeri senza segno si somma il moltiplicando se il bit del moltiplicatore è 1 e si fa shift a destra del prodotto parziale; il moltiplicatore sta nella metà bassa del registro del prodotto. Per i numeri con segno serve l'algoritmo di Booth: si guardano i bit del moltiplicatore a coppie (bit corrente, bit precedente, all'inizio 0): 10 → si sottrae il moltiplicando, 01 → si somma, 00/11 → niente; poi shift aritmeticoscorrimento che conserva il segno: a destra ripete il bit di segno a destra. Dopo $n$ passi si hanno $2n$ bit in complemento a 2. Va eseguito sui compiti d'esame a mano con lo schema di registri $A,|,Q,|,q_{-1}$.Moltiplicazione e algoritmo di Booth →).
• f. Falso. Ogni processore ha una ALU (anche i µC più semplici, a 4 o 8 bit).

Errori comuni

• Dire che l'overflow intermedio rende errato il risultato finale quando questo è rappresentabile.
• Cercare overflow con operandi di segno opposto (non si verifica mai in una somma).
• Confondere riporto uscente e overflow: l'overflow è lo XOR dei riporti in ingresso e in uscita dall'ultima cella.
• Interpretare i bit del formato 2.6 come interi nel risultato finale (dividere per 64 dopo la somma).