Esercizio 22filtro numerico a 8 bit, coefficienti, prodotti parziali ed errore di troncamento (esercizi del 4 dicembre 2020)

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Teoria usata: Realizzare un filtro o un regolatore a virgola fissaRealizzare in C un filtro a virgola fissa vuol dire scegliere per ogni dato il formato (coefficienti $<1$ in 0.16 U, coefficienti $>1$ in 1.15, 4.12, 5.11 S...), moltiplicare con aritmetica a 32 bit ($16\times16\to32$) e riportare il prodotto al formato di arrivo con uno shift a destrascorrimento dei bit verso destra: equivale a dividere per una potenza di 2; per sommare due prodotti con scale diverse si fa lo shift prima di sommare. Con $a+b=2^{16}$ il filtro $y=\big(a,y_{k-1}+b,(u\ll4)\big)\gg16$ non va in overflow in un uint32_t. Nel codice il formato di ogni variabile va dichiarato in un commento; la funzione $\sin x\approx x-\frac{x^3}6+\frac{x^5}{120}$ mostra come si approssima una funzione con polinomi a coefficienti in virgola fissa.Realizzare un filtro o un regolatore a virgola fissa →, Operazioni in virgola fissa - somma, prodotto e riallineamentoIn virgola fissa il processore opera sugli interi e non sa dov'è la virgola: tocca al programmatore. Regola 1: si sommano solo dati con lo stesso formato (stesso $m$). Regola 2: il prodotto di $n_1.m_1$ per $n_2.m_2$ ha $m_1+m_2$ bit frazionari e il doppio dei bit: va riallineato con uno shift a destra di $m_2$ posizioni (per riportarlo a $m_1$) o preso dalla parte alta. Con la normalizzazione frazionaria $1.15$ il prodotto è $2.30$ e basta uno shift a sinistra di 1 prima di prendere la parte alta. I fattori di scala si scelgono per evitare overflow e perdita di risoluzione.Operazioni in virgola fissa - somma, prodotto e riallineamento →, Filtri numerici IIR e FIRUn filtro numerico è una equazione alle differenzerelazione che dà il campione di uscita in funzione di campioni di ingresso e di uscita passati $y(k)=\sum_ib_ix(k-i)+\sum_ia_iy(k-i)$. IIR (ricorsivo: qualche $a_i\ne0$) ha risposta impulsiva infinita e bastano pochi termini; FIR (tutti $a_i=0$) è sempre stabile ma richiede molti termini. Il passa-basso IIR del primo ordine $y(k)=b,x(k)+a,y(k-1)$ con $a+b=1$ ha guadagno 1 ed è stabile se $|a|<1$; la risposta al gradino è $y(k)=1-a^{k+1}$. Il filtro analogico equivalente (Eulero) ha $\tau=\dfrac{a,T_c}{1-a}$ e $f_T=\dfrac1{2\pi\tau}$. La media mobile di $N$ campioni è un FIR passa-basso che si assesta in $N$ passi.Filtri numerici IIR e FIR →, Discretizzazione di Eulero e TustinPer realizzare numericamente un filtro o regolatore $F(s)$ si approssima $\frac1s$ con un integratore a tempo discreto. Eulero: $\boxed{s=\dfrac{1-z^{-1}}{T_c}}$ (da $\mathrm{Int}(nT)=\mathrm{Int}((n-1)T)+T,x(n)$). Così $\dfrac{1+s\tau_z}{1+s\tau_p}$ diventa $y(k)=\dfrac{\tau_p}{T_c+\tau_p}y(k-1)+\dfrac{T_c+\tau_z}{T_c+\tau_p}x(k)-\dfrac{\tau_z}{T_c+\tau_p}x(k-1)$. Il passaggio inverso (da algoritmo a $F(s)$) usa $z^{-1}\approx1-sT_c$. L'approssimazione è affidabile solo fino a circa $f_c/10$ (distorsione, warping); Tustin $s=\frac2{T_c}\frac{1-z^{-1}}{1+z^{-1}}$ è più fedele.Discretizzazione di Eulero e Tustin →.

(a) Guadagno in continua

$G_{DC}=\dfrac{b}{1-a}=\dfrac{1{,}3}{1-0{,}35}=\dfrac{1{,}3}{0{,}65}=\mathbf2$.

(b) Costante di tempo

$T_c=\frac1{12\text{ kHz}}=83{,}3\ \mu$s. Con Eulero, $a=\frac{\tau}{T_c+\tau}\Rightarrow\tau=\frac{a}{1-a}T_c=\frac{0{,}35}{0{,}65}\cdot83{,}3\ \mu\text{s}=\mathbf{44{,}9\ \mu s}$.

(c) $y(k-1)$ in volt

Con $FSR=3{,}3$ V e 8 bit, $LSB=\frac{3{,}3}{256}=12{,}89$ mV. $y(k-1)=\texttt{0x0A}=10$: $V=10\cdot12{,}89\ \text{mV}=\mathbf{128{,}9\ mV}$. Con il profilo uniforme ($\frac12$ LSB, 1 LSB, 1 LSB, ...) il codice 10 corrisponde a un intervallo di ampiezza 1 LSB $=\mathbf{12{,}89\ mV}$ (da $9{,}5$ a $10{,}5$ LSB): il valore vero è $128{,}9\pm6{,}4$ mV.

(d) Rappresentazione interna

• $a=0{,}35$ in 0.8 U: $0{,}35\cdot256=89{,}6\to90=\texttt{0x5A}=\mathbf{01011010}$; $\varepsilon=\frac{90}{256}-0{,}35=\mathbf{+1{,}56\cdot10^{-3}}$.
• $b=1{,}3$ in 1.7 U: $1{,}3\cdot128=166{,}4\to166=\texttt{0xA6}=\mathbf{10100110}$; $\varepsilon=\frac{166}{128}-1{,}3=\mathbf{-3{,}13\cdot10^{-3}}$.
• $x(k)=0{,}33$ V è la frazione $\frac{0{,}33}{3{,}3}=0{,}1$ del fondo scala: in 0.8 U $0{,}1\cdot256=25{,}6\to26=\texttt{0x1A}=\mathbf{00011010}$; $\varepsilon=\frac{26}{256}-0{,}1=\mathbf{+1{,}56\cdot10^{-3}}$.

(e) Prodotti a 16 bit e riallineamento

• $a\cdot y(k-1)=90\cdot10=900=\texttt{0x0384}=\mathbf{0000\,0011\,1000\,0100}$. I due fattori sono in 0.8: il prodotto ha $8+8=16$ bit frazionari; la sua parte alta (byte alto) ha già 8 bit frazionari, come $y$: nessuno shift di riallineamento.
• $b\cdot x(k)=166\cdot26=4316=\texttt{0x10DC}=\mathbf{0001\,0000\,1101\,1100}$. Qui $b$ ha 7 bit frazionari e $x$ 8: il prodotto ha $7+8=15$ bit frazionari. La parte alta (byte alto) ne avrebbe 7: per portarla a 8 bit frazionari (formato di $y$, 0.8) serve uno shift a sinistra di 1 bit (equivale a prendere i bit 14-7 invece dei bit 15-8).

(f) Valore di $y(k)$ ed errore

Con arrotondamento nella riduzione a 8 bit:

• $a\,y(k-1)$: $900/256=3{,}516\to\mathbf4$ ($\texttt{0x04}$);
• $b\,x(k)$: $4316/128=33{,}72\to\mathbf{34}$ ($\texttt{0x22}$) (shift sinistra di 1 della parte alta con arrotondamento). Somma: $4+34=38=\texttt{0x26}=\mathbf{00100110}$, cioè $y(k)=\frac{38}{256}=0{,}1484$. Il valore "vero", con $y(k-1)$ al centro dell'intervallo $\frac{10}{256}=0{,}0391$: $0{,}35\cdot0{,}0391+1{,}3\cdot0{,}1=0{,}01367+0{,}13=0{,}14367$. Errore assoluto $0{,}14844-0{,}14367=\mathbf{+4{,}77\cdot10^{-3}}$.

Con troncamento (dati e prodotti troncati): $a=\lfloor89{,}6\rfloor=89$, $b=\lfloor166{,}4\rfloor=166$, $x=\lfloor25{,}6\rfloor=25$; $a\,y(k-1)=890\gg8=3$; $b\,x(k)=166\cdot25=4150\to\lfloor4150/128\rfloor=32$; $y(k)=35=\frac{35}{256}=0{,}1367$; errore $0{,}1367-0{,}14367=\mathbf{-6{,}95\cdot10^{-3}}$: peggiore del caso con arrotondamento (e di segno sempre negativo).

Errori comuni

• Usare il formato 0.8 per $b=1{,}3$ (non rappresentabile: $>1$).
• Dimenticare lo shift di 1 bit per il prodotto con $b$ in 1.7.
• Interpretare $\texttt{0x0A}$ come $0{,}10$ V invece che come $10\cdot LSB=128{,}9$ mV.
• Calcolare $\tau$ con $a\,T_c$ senza il fattore $\frac1{1-a}$.