Discretizzazione di Eulero e Tustin

Un filtro o un regolatore sono quasi sempre progettati nel dominio continuo, con una funzione di trasferimentorapporto tra trasformata dell'uscita e dell'ingresso di un sistema lineare $F(s)$. Per realizzarlo in un µC o DSP bisogna trasformarlo in un algoritmo a tempo discreto (Filtri numerici IIR e FIRUn filtro numerico è una equazione alle differenzerelazione che dà il campione di uscita in funzione di campioni di ingresso e di uscita passati $y(k)=\sum_ib_ix(k-i)+\sum_ia_iy(k-i)$. IIR (ricorsivo: qualche $a_i\ne0$) ha risposta impulsiva infinita e bastano pochi termini; FIR (tutti $a_i=0$) è sempre stabile ma richiede molti termini. Il passa-basso IIR del primo ordine $y(k)=b,x(k)+a,y(k-1)$ con $a+b=1$ ha guadagno 1 ed è stabile se $|a|<1$; la risposta al gradino è $y(k)=1-a^{k+1}$. Il filtro analogico equivalente (Eulero) ha $\tau=\dfrac{a,T_c}{1-a}$ e $f_T=\dfrac1{2\pi\tau}$. La media mobile di $N$ campioni è un FIR passa-basso che si assesta in $N$ passi.Filtri numerici IIR e FIR →). Il modo più comune è la discretizzazione: si approssima l'operatore integrale $\frac1s$ con una sua versione a tempo discreto. Il periodo di campionamento $T_c=1/f_c$ è anche detto passo di integrazionel'intervallo di tempo tra due campioni usato per approssimare l'integrale.

Approssimazione di Eulero

Sia $x(k)$ il segnale campionato. L'integrale si approssima con una somma di rettangoli: $$\int_0^{nT_c}x\,dt\approx T_c\sum_{k=1}^nx(k)\quad\Rightarrow\quad\mathrm{Int}(nT_c)=\mathrm{Int}\big((n-1)T_c\big)+T_c\,x(n).$$ In termini di operatori: con $z^{-1}$ ritardo di un campioneoperatore z elevato a meno 1: restituisce il campione precedente, $I(z)=T_c\,\dfrac{X(z)}{1-z^{-1}}$ e quindi $$\boxed{\ s=\frac{1-z^{-1}}{T_c}\ }\qquad\Longleftrightarrow\qquad\frac1s=\frac{T_c}{1-z^{-1}} .$$ Nel codice vuol dire: la moltiplicazione per $s$ è la differenza $\frac{x(k)-x(k-1)}{T_c}$ e la divisione per $s$ è un accumulatorevariabile a cui si somma a ogni passo un nuovo termine $y(k)=y(k-1)+T_c\,x(k)$.

Dall'analogico all'algoritmo

Si sostituisce $s=\frac{1-z^{-1}}{T_c}$ in $F(s)$, si moltiplica numeratore e denominatore per $T_c$ e si riconosce l'equazione alle differenze (il coefficiente di $y(k)$ si porta a 1).

• Passa-basso $F(s)=\dfrac1{1+s\tau}$: $\ \dfrac{Y}{X}=\dfrac{T_c}{(T_c+\tau)-\tau z^{-1}}$, quindi $$y(k)=\frac{\tau}{T_c+\tau}\,y(k-1)+\frac{T_c}{T_c+\tau}\,x(k).$$ Esempio: banda 500 Hz, $f_c=50$ kHz: $\tau=\frac1{2\pi\,500}=3{,}1831\cdot10^{-4}$ s, $T_c=2\cdot10^{-5}$ s: $a_1=\frac{\tau}{\tau+T_c}=0{,}940883$, $b_1=\frac{T_c}{\tau+T_c}=0{,}059117$ ($a_1+b_1=1$: guadagno in continua 1).
• Anticipatrice/attenuatrice $F(s)=\dfrac{1+s\tau_z}{1+s\tau_p}$: $$y(k)=\frac{\tau_p}{T_c+\tau_p}\,y(k-1)+\frac{T_c+\tau_z}{T_c+\tau_p}\,x(k)-\frac{\tau_z}{T_c+\tau_p}\,x(k-1).$$
• Passa-alto $F(s)=\dfrac{s\tau_z}{1+s\tau_p}$: $$y(k)=\frac{\tau_p}{T_c+\tau_p}\,y(k-1)+\frac{\tau_z}{T_c+\tau_p}\big[x(k)-x(k-1)\big].$$
• Integratore $\frac1{s\tau}$: $y(k)=y(k-1)+\frac{T_c}{\tau}x(k)$. Derivatore $s\tau$: $y(k)=\frac\tau{T_c}\big[x(k)-x(k-1)\big]$.
• PI $R(s)=\dfrac{1+s\tau_z}{s\tau_p}=k_p+\dfrac{k_i}s$ (con $k_p=\tau_z/\tau_p$, $k_i=1/\tau_p$): $$y(k)=y(k-1)+\frac{T_c+\tau_z}{\tau_p}\,x(k)-\frac{\tau_z}{\tau_p}\,x(k-1)$$ (la forma "di velocità" equivalente a $y=y(k-1)+k_p[x(k)-x(k-1)]+k_iT_c\,x(k)$): vedi Regolatori PI e PID digitaliIl PI digitale è $y(k)=k_p,e(k)+y_I(k)$ con $y_I(k)=k_I',e(k)+y_I(k-1)$ e $k_I'=k_iT_c$ (con una MAC bastano 3 cicli). Nel PID la derivata si calcola come $\frac{k_d}{T_c}[e(k)-e(k-1)]$ ed è sensibile al rumore: si usa la versione filtrata $y_d(k)=\frac{k_d}{T_c+\tau_L}[e(k)-e(k-1)]+\frac{\tau_L}{T_c+\tau_L}y_d(k-1)$ o una media su più campioni. Con la saturazione dell'attuatore serve l'anti-wind-up: $|y_I|\le L(k)=Y_{max}-|k_pe(k)|$. Il controllo dead-beatcontrollo che porta l'errore a zero in un numero finito di passi (predittivo) azzera l'errore in un numero finito di passi ma è poco usato in industria.Regolatori PI e PID digitali →.

Dall'algoritmo all'analogico equivalente

Dato $y(k)=a_1y(k-1)+b_0x(k)+b_1x(k-1)$, la funzione di trasferimento è $F(z)=\dfrac{b_0+b_1z^{-1}}{1-a_1z^{-1}}$. Con $z^{-1}\approx e^{-sT_c}\approx1-sT_c$: $$F(s)\approx\frac{(b_0+b_1)-b_1T_c\,s}{(1-a_1)+a_1T_c\,s}=\underbrace{\frac{b_0+b_1}{1-a_1}}_{\text{guadagno in continua}}\cdot\frac{1+s\tau_z}{1+s\tau_p},\qquad\tau_p=\frac{a_1T_c}{1-a_1},\quad\tau_z=-\frac{b_1T_c}{b_0+b_1}.$$ Esempio (tema d'esame febbraio 2026): $y(k)=0{,}8\,y(k-1)+12{,}2\,x(k)-12\,x(k-1)$. Guadagno in continua $\frac{12{,}2-12}{1-0{,}8}=1$; $\tau_p=\frac{0{,}8}{0{,}2}T_c=4T_c$ (poloradice del denominatore della funzione di trasferimento in $\omega_p=\frac{f_c}4$ [rad/s con $f_c$ in Hz]); $\tau_z=\frac{12}{0{,}2}T_c=60T_c$ (zeroradice del numeratore della funzione di trasferimento in $\omega_z=\frac{f_c}{60}$). Zero prima del polo: il guadagno sale da 1 (bassa frequenza) a $\frac{\tau_z}{\tau_p}=15$ (alta frequenza): è una reteblocco lineare con una data funzione di trasferimento anticipatricerete con uno zero prima del polo, che aumenta il guadagno e anticipa la fase (un passa-alto "con guadagno in continua 1"). Per esempio, il valore finale della risposta al gradino è 1 e il rapporto tra guadagno in alta e in bassa frequenza è 15.

Per il passa-basso $y(k)=a\,y(k-1)+b\,x(k)$ si ritrova $\tau=\frac{a}{1-a}T_c$ (Filtri numerici IIR e FIRUn filtro numerico è una equazione alle differenzerelazione che dà il campione di uscita in funzione di campioni di ingresso e di uscita passati $y(k)=\sum_ib_ix(k-i)+\sum_ia_iy(k-i)$. IIR (ricorsivo: qualche $a_i\ne0$) ha risposta impulsiva infinita e bastano pochi termini; FIR (tutti $a_i=0$) è sempre stabile ma richiede molti termini. Il passa-basso IIR del primo ordine $y(k)=b,x(k)+a,y(k-1)$ con $a+b=1$ ha guadagno 1 ed è stabile se $|a|<1$; la risposta al gradino è $y(k)=1-a^{k+1}$. Il filtro analogico equivalente (Eulero) ha $\tau=\dfrac{a,T_c}{1-a}$ e $f_T=\dfrac1{2\pi\tau}$. La media mobile di $N$ campioni è un FIR passa-basso che si assesta in $N$ passi.Filtri numerici IIR e FIR →).

Limiti dell'approssimazione e Tustin

Trattandosi di un procedimento approssimato, la discretizzazionetrasformazione di un filtro a tempo continuo in un algoritmo a tempo discreto non conserva la risposta in frequenza del filtro originale: introduce una distorsione (warpingdeformazione dell'asse delle frequenze introdotta dall'approssimazione). Regola di comodo: i risultati sono affidabili solo fino a $\frac1{10}f_c$. Per il filtro a 500 Hz con $f_c=50$ kHz si ha:

L'errore di fase di Eulero cresce rapidamente: $+3^\circ$ a 1 kHz, $+18^\circ$ a $f_c/10$ e oltre. Metodi più accurati:

• Tustin (integrazione trapezoidaleapprossimazione dell'integrale con trapezi invece che con rettangoli): $s=\dfrac2{T_c}\dfrac{1-z^{-1}}{1+z^{-1}}$; per il passa-basso $\frac1{1+s\tau}$: $y(k)=\frac{2\tau-T_c}{2\tau+T_c}y(k-1)+\frac{T_c}{2\tau+T_c}\big[x(k)+x(k-1)\big]$. Mantiene la fase molto vicina all'originale (per esempio $-63{,}5^\circ$ a 1 kHz), ma ha uno zero in $z=-1$ (guadagno nullo alla frequenza di Nyquistmetà della frequenza di campionamento).
• Metodi basati sull'invarianza della risposta a un segnale canonico (gradino, rampa).

Errori comuni

• Dimenticare di dividere per $(T_c+\tau_p)$ (il coefficiente di $y(k)$ deve essere 1).
• Scambiare $\tau_z$ e $\tau_p$ nelle formule dei coefficienti.
• Usare la discretizzazione di Eulero per frequenze oltre $f_c/10$.
• Confondere $T_c$ (periodo) con $f_c$ (frequenza) nel calcolo di $\tau=\frac{a\,T_c}{1-a}$.