Rappresentare un valore reale in virgola fissa - formato ottimo ed errore

**: il maggior numero di bit frazionari $m$ compatibile con l'intervallo ($n=W-m$ bit interi, con **U** se $x\ge0$, con **S** se $x<0$). Poi $C=\mathrm{round}(x\cdot2^m)$, scritto in esadecimale (per un negativo, in complemento a 2), e l'errore $\varepsilon=\frac{C}{2^m}-x$, **positivo se in eccesso**, ha modulo $\le2^{-(m+1)}$. Se invece è dato l'errore massimo, i bit minimi si ricavano da $2^{-(m+1)}\le\varepsilon_{max}$. -->

Questa nota risponde alla domanda tipica dell'esame: "convertire questi numeri frazionari in valori esadecimali a quattro cifre, arrotondando e normalizzando nel modo più conveniente, cioè minimizzando l'errore introdotto". Il formato n.m è definito in Virgola fissa - formati n.m e normalizzazioneIn virgola fissa il processore fa aritmetica sugli interi (con segno) e il fattore di scalacostante per cui si moltiplica un valore reale per ottenere l'intero memorizzato $2^{m}$ resta sottinteso: il formato n.m dice che dei bit disponibili $n$ sono la parte intera (compreso il segno se il numero è con segno, S; nessun segno se U) e $m$ la parte frazionaria. Il valore è $\text{codice}/2^m$. Passare dal formato n.m al decimale, o viceversa, è il calcolo più frequente dell'esame: su 16 bit $\text{valore}=\text{codice}/2^m$, l'intervallo è $[0,2^n)$ (U) oppure $[-2^{n-1},2^{n-1})$ (S), la risoluzione è $2^{-m}$.Virgola fissa - formati n.m e normalizzazione →; qui si impara a sceglierlo.

Il metodo in cinque passi

Dato $x$ e la lunghezza di parolanumero di bit con cui il processore rappresenta un dato $W$ (16 negli esempi):

1. Segno. Se $x\ge0$ conviene U (senza segnoil bit più alto di un numero in complemento a 2: 1 vuol dire negativo): il bit di segno risparmiato diventa un bit in più di precisione. Se $x<0$ serve S (con segno).
2. Bit interi $n$. Il minimo $n$ tale che $|x|$ entri nell'intervalloinsieme dei valori rappresentabili, tra il minimo e il massimo: per U $x<2^n$; per S $-2^{n-1}\le x<2^{n-1}$ (in S, $n\ge1$ perché c'è il segno).
3. Bit frazionari $m=W-n$: più è grande $m$, più è piccolo l'errore, quindi si usa tutto quello che avanza.
4. Codice $C=\mathrm{round}(x\cdot2^m)$; per un negativo si scrive in complemento a 2codifica dei numeri con segno su W bit: si somma 2 elevato a W al valore negativo: $C\bmod2^W$. Poi si scrive in esadecimalesistema in base 16: ogni cifra vale 4 bit (4 bit per cifra).
5. Errore $\varepsilon=\dfrac{C}{2^m}-x$ (il valore rappresentato meno il vero): è positivo se il numero rappresentato è in eccesso; vale $|\varepsilon|\le2^{-(m+1)}$, e zero se $x$ è multiplo dinumero che si ottiene moltiplicando per un intero $2^{-m}$.

Perché non usare sempre molti bit frazionari? Perché i bit interii bit che stanno prima della virgola, segno compreso se il numero è con segno servono per non uscire dall'intervallo: con $m=15$ (1.15 S) il massimo è meno di 1 e un numero come $1{,}6$ non entra (andrebbe in overflowvalore fuori dall'intervallo rappresentabile: il codice si avvolge e il numero risulta sbagliato). Si prende il formato con meno bit interi che contiene il numero.

Esempi svolti (su 16 bit)

$+8/11=0{,}72727$. Positivo e minore di 1: 0.16 U, $m=16$. $C=\mathrm{round}(0{,}72727\cdot65536)=\mathrm{round}(47662{,}5)=47663=\texttt{0xBA2F}$. Rappresentato $=47663/65536=0{,}727279$; $\varepsilon=+6{,}9\cdot10^{-6}$.

$-8/11$. Negativo e in modulo minore di 1: 1.15 S, $m=15$. $C=\mathrm{round}(-0{,}72727\cdot32768)=-23831$; in complemento a 2: $65536-23831=41705=\texttt{0xA2E9}$. $\varepsilon=+8{,}3\cdot10^{-6}$.

$-123{,}34$. Serve $|x|<2^{n-1}$ con $n-1=7$ ($2^7=128$): 8.8 S. $C=\mathrm{round}(-123{,}34\cdot256)=-31575$; $65536-31575=33961=\texttt{0x84A9}$; $\varepsilon=+1{,}56\cdot10^{-4}$.

$+1{,}625$. Positivo, tra 1 e 2: 1.15 U. $C=1{,}625\cdot32768=53248=\texttt{0xD000}$. $1{,}625=13/8$ è multiplo di $2^{-3}$, quindi $\varepsilon=0$ (rappresentazione esatta).

$+4/3$ e $-4/3$. $+4/3=1{,}3333$: 1.15 U, $C=43691=\texttt{0xAAAB}$, $\varepsilon=+1{,}0\cdot10^{-5}$. $-4/3$: negativo tra $-1$ e $-2$: 2.14 S, $C=\mathrm{round}(-1{,}3333\cdot16384)=-21845\to65536-21845=43691=\texttt{0xAAAB}$ (stesso codice del positivo, ma letto in un altro formato!), $\varepsilon=+2{,}0\cdot10^{-5}$.

$+8{,}625$ e $-1{,}75$. $8{,}625=69/8$: 4.12 U ($8{,}625<16$), $C=8{,}625\cdot4096=35328=\texttt{0x8A00}$, errore nullo. $-1{,}75$: 2.14 S, $C=-28672\to\texttt{0x9000}$, errore nullo.

$14/9=1{,}5556$ (set 2026): 1.15 U, $\texttt{0xC71C}$, $\varepsilon=-1{,}36\cdot10^{-5}$. $-0{,}1357$: 1.15 S, $\texttt{0xEEA1}$, $\varepsilon=-1{,}2\cdot10^{-5}$. $+3{,}275$: 2.14 U, $\texttt{0xD19A}$, $\varepsilon=+2{,}4\cdot10^{-5}$. $-9{,}922$: 5.11 S, $\texttt{0xB0A0}$, $\varepsilon=+1{,}25\cdot10^{-4}$.

Si nota che il segno del numero decide anche quanti bit frazionarii bit che stanno dopo la virgola: dopo la scalatura pesano 2 elevato a meno 1, meno 2, e così via restano: $+8/11$ ha $m=16$, $-8/11$ solo $m=15$.

Troncamento invece di arrotondamento

Il troncamento scarta i bit meno significativi senza arrotondare: l'errore è sempre dello stesso segno e può arrivare a $2^{-m}$, il doppio dell'errore massimo di arrotondamentosostituzione del valore con il più vicino rappresentabile. Per la modalità "troncamentoeliminazione dei bit meno significativi senza arrotondare del modulo" l'errore è per un positivo $\le0$ (si rappresenta meno del vero): per $0{,}123$ in Q7, $C=\lfloor15{,}7\rfloor=15$, rappresentato $15/128=0{,}1172$, $\varepsilon=-5{,}8\cdot10^{-3}$. Per un negativo il troncamento del modulo dà errore positivo: $-0{,}567\to-72/128=-0{,}5625$, $\varepsilon=+4{,}5\cdot10^{-3}$ (invece lo scarto dei bit in complemento a 2 equivale a $\lfloor\cdot\rfloor$ e va verso $-\infty$). L'arrotondamento ha errore medio nullo, il troncamento no: per questo si preferisce l'arrotondamento (e, nel caso "esattamente a metà", l'arrotondamento convergentearrotondamento al pari nel caso di valore esattamente a metà tra due codici: Architettura del repertorio di istruzioni - RISC, CISC, VLIW e indirizzamentoL'architettura è l'insieme delle risorse visibili al programmatore (istruzioni, modi di indirizzamento). RISC: poche istruzioni semplici, di uguale lunghezza, decodifica cablata, quasi tutte a 1 ciclo; CISC: molte istruzioni complesse, decodifica microprogrammata, più cicli. I DSP sono RISC "potenziati" (MAC, saturazione, barrel shifter, arrotondamento, VLIW, SIMD); i modi di indirizzamento tipici sono immediato, a registro, diretto, indiretto, con auto-incremento, circolare e a bit rovesciati (per la FFT).Architettura del repertorio di istruzioni - RISC, CISC, VLIW e indirizzamento →).

Quanti bit servono per un errore assegnato

Se è dato l'errore massimo $\varepsilon_{max}$ (per esempio 50 ppmparti per milione: 50 ppm sono 5 per 10 alla meno 5 $=5\cdot10^{-5}$) si cerca il minimo numero di bit totali $W=n+m$ tale che l'errore effettivo sia minore di $\varepsilon_{max}$. Il limite $2^{-(m+1)}\le\varepsilon_{max}$ dà $m\ge\log_2\frac1{2\varepsilon_{max}}$ ($m\ge13{,}3$ per $5\cdot10^{-5}$), ma l'errore effettivo dipende dal numero e quindi va verificato:

• $x=\frac13$: con $m=12$, $C=1365$, $\varepsilon=8{,}1\cdot10^{-5}$ (troppo); con $m=13$, $C=2731$, $\varepsilon=4{,}1\cdot10^{-5}$ ✓. U con $n=0$: $W=13$ bit.
• $x=23{,}57$: serve $n=5$ (U, $23{,}57<32$); con $m=13$ ($W=18$) $C=193085$ e $\varepsilon=-5{,}4\cdot10^{-5}$ (supera $5\cdot10^{-5}$); con $m=14$ ($W=19$) $C=386171$ e $\varepsilon=+7{,}3\cdot10^{-6}$ ✓. Quindi $W=19$ bit, anche se la formula $m\ge13{,}3$ avrebbe fatto sperare in $m=13$: l'errore effettivo va sempre verificato.
• $x=-31{,}125=-\frac{249}8$: multiplo di $2^{-3}$, quindi $m=3$ basta con errore nullo; servono $n=6$ bit (S, intervallo $[-32,32)$): $W=9$.

Morale: per i numeri "periodicicon infinite cifre ripetute dopo la virgola, come 1/3 in decimale e binario" in binario ($\frac13$, $\frac8{11}$, $23{,}57$) servono molti bit; per i numeri con denominatore potenza di 2 ($31{,}125$, $1{,}625$) bastano pochissimi bit.

Errori comuni

• Usare S per un positivo: si perde un bit.
• Scegliere $n$ senza controllare che $x$ entri nell'intervallo (soprattutto per il limite superiore di S, che è $2^{n-1}$ escluso).
• Dimenticare il complemento a 2 per i negativi (scrivere il modulo in esadecimale).
• Confondere il segno dell'errore: positivo se il valore rappresentato è più grande del vero.