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1. Energia immagazzinata (giugno 2024; luglio 2025 con carica da $0$)

La variazione di energia immagazzinata in $C_L$ al termine del transitorio di carica da $V_1$ a $V_2$ vale: a. $\tfrac12C_LV_2^2$; b. $\tfrac12C_L(V_2-V_1)^2$; c. $\tfrac12C_L(V_2^2-V_1^2)$.

Risposta: c. $E_C=\tfrac12C_LV^2$ in ogni istante, quindi la variazione è la differenza. (Luglio 2025: carica da $0$ a $V_2$ con generatore a $V_{DD}$: l'energia immagazzinata è $\tfrac12C_LV_2^2$: opzione c di quel tema.) Per $V_2=V_H=1{,}8\ \mathrm V$: $\tfrac12\cdot100\ \mathrm{fF}\cdot3{,}24=162\ \mathrm{fJ}$.

2. Energia assorbita dall'alimentazione (settembre 2024, settembre 2026, giugno 2025, luglio 2026)

L'energia assorbita dall'alimentazione $V_{DD}$ durante la carica di $C_L$ da $0$ vale $V_{DD}^2C_L$: a. indipendentemente dalla tensione finale $V(\infty)$; b. solo se $V(\infty)=V_{DD}$, perché l'energia è in realtà proporzionale a $V(\infty)$; c. solo se $V(\infty)=V_{DD}$, perché è proporzionale a $V(\infty)^2$.

Risposta: b. L'alimentazione eroga la carica $Q=C_LV(\infty)$ a tensione $V_{DD}$: $E_{DD}=V_{DD}Q=C_LV_{DD}V(\infty)$, lineare in $V(\infty)$ (non quadratica: il termine $\tfrac12C_LV^2$ è solo l'energia immagazzinata). Con $V(\infty)=1{,}8\ \mathrm V$: $E_{DD}=100\cdot2{,}5\cdot1{,}8=450\ \mathrm{fJ}$ (non $625\ \mathrm{fJ}=C_LV_{DD}^2$); immagazzinata $162\ \mathrm{fJ}$; dissipata nel p-MOS $450-162=288\ \mathrm{fJ}$. (Luglio 2026: "durante la carica di $C_L$ l'energia prelevata dall'alimentazione vale: a. $\tfrac12C_LV_{DD}^2$; b. $C_LV_{DD}^2$; c. $2C_LV_{DD}^2$": b per una carica completa a $V_{DD}$.)

3. Riduzione di $V_{DD}$ (giugno 2024, luglio 2025, settembre 2024, settembre 2026)

Nella logica CMOS complementare la diminuzione di $V_{DD}$ è vantaggiosa perché: a. permette la riduzione della potenza dinamica a parità di frequenza; b. permette di migliorare i margini al rumore; c. permette di diminuire i tempi di propagazione.

Risposta: a. $P=\alpha C_LV_{DD}^2f$: il quadrato della tensione. Variante (settembre 2024): "in un invertitore CMOS la diminuzione di $V_{DD}$ comporta: a. $P\downarrow$ e nessuna variazione di $t_p$; b. $P\uparrow$ e $t_p\uparrow$; c. $P\downarrow$ e $t_p\uparrow$": c, perché la corrente dei transistor, $\propto(V_{DD}-V_T)^2$, diminuisce molto e le resistenze equivalenti aumentano. Numeri: a $V_{DD}=2{,}5$ la corrente di picco dell'inverter di riferimento è $124{,}6\ \mu\mathrm A$, a $2\ \mathrm V$ è $62\ \mu\mathrm A$, a $1{,}5\ \mathrm V$ è $21\ \mu\mathrm A$; con $V_{DD}$ dimezzata ($1{,}25\ \mathrm V$) la potenza dinamica diventa un quarto (da $31{,}25$ a $7{,}8\ \mu\mathrm W$ a $100\ \mathrm{MHz}$, $C_L=50\ \mathrm{fF}$).

4. Aumento del tempo di salita dell'ingresso (giugno 2025)

In un invertitore CMOS con ingresso da $0$ a $V_{DD}$, che conseguenze ha sull'assorbimento di energia l'aumento del tempo di salita $t_r$: a. aumenta perché aumenta il valore di picco della corrente; b. aumenta perché aumenta il tempo durante il quale scorre corrente tra $V_{DD}$ e massa; c. nessuna, perché in scarica non viene assorbita corrente da $V_{DD}$.

Risposta: b. Con $t_r$ maggiore l'ingresso passa più a lungo nell'intervallo $V_{Tn}<V_{in}<V_{DD}-\lvert V_{Tp}\rvert$ in cui entrambi conducono (corrente di corto circuito); il picco non cambia (è la corrente in $V_M$); la scarica assorbe in effetti solo la corrente di corto circuito, ma questa è proprio il contributo che cresce.

5. Potenza per cammino diretto (settembre 2024, settembre 2026)

Inverter bilanciato con carico esterno dominante: se $W/L$ dei due transistor è raddoppiato, la potenza dissipata per cammino diretto: a. raddoppia; b. dipende dallo stadio che pilota l'ingresso; c. rimane costante.

Risposta ragionevole: b. La corrente di picco raddoppia ($\propto Z$), ma l'energia di corto circuito dipende anche dal tempo di salita dell'ingresso, imposto dallo stadio pilota, la cui capacità di carico (la capacità di ingresso dell'inverter) a sua volta raddoppia. Non c'è la chiave di questi appelli: la scelta (a) vale a parità di forma d'onda in ingresso.

6. Altre relazioni utili

• Potenza dinamica: $P=\alpha C_LV_{DD}^2f$ (non dipende da $W/L$): $C_L=50\ \mathrm{fF}$, $V_{DD}=2{,}5\ \mathrm V$, $f=100\ \mathrm{MHz}$: $31{,}25\ \mu\mathrm W$.
• Con probabilità degli ingressi: $\alpha=p_0p_1$ (Esercizio 1 · porta AOI a tre ingressi, dimensionamento, ritardi e consumo dinamico (tema d'esame giugno 2025)).

Verifica numerica

Python: energie ($450$, $162$, $288$ e $625\ \mathrm{fJ}$) e potenze; correnti di picco al variare di $V_{DD}$.

Errori comuni

• Scrivere $E_{DD}=\tfrac12C_LV_{DD}^2$: è l'energia immagazzinata.
• Dire che l'energia assorbita dipende quadraticamente da $V(\infty)$.
• Pensare che abbassare $V_{DD}$ accorci i ritardi.

Esercizio 12 - quesiti rapidi su energia, potenza e tensione di alimentazione (temi d'esame 2024-2026)

• Energia immagazzinata: $\tfrac12C_L(V_2^2-V_1^2)$ (c).
• Energia dall'alimentazione: $C_LV_{DD}V(\infty)$, lineare in $V(\infty)$ (b); $=C_LV_{DD}^2$ se $V(\infty)=V_{DD}$ ($100$ fF, $1{,}8$ V: $450$ fJ erogati, $162$ fJ immagazzinati, $288$ fJ dissipati; $625$ fJ a $2{,}5$ V).
• $V_{DD}\downarrow$: potenza dinamica $\downarrow$ (a), $t_p\uparrow$ (c nella variante); $V_{DD}/2\Rightarrow P/4$.
• $t_r\uparrow$: più tempo di corrente diretta, picco invariato (b).
• Cammino diretto con $W/L\times2$: dipende dallo stadio pilota (b, ragionevole).
• Errori: $\frac12CV^2$ erogata; quadratica in $V(\infty)$; $V_{DD}\downarrow$ accelera.