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1. Soglia logica

$V_M=\dfrac{V_{Tn}+r(V_{DD}+V_{Tp})}{1+r}$, $r=\sqrt{\lvert k'_p\rvert Z_p/(k'_nZ_n)}$. (a) $r=\sqrt{30\cdot11{,}5/(115\cdot3)}=1$: $V_M=\dfrac{0{,}4+2{,}1}2=1{,}25\ \mathrm V$. (b) $r=\sqrt{30/115}=0{,}511$: $V_M=\dfrac{0{,}4+0{,}511\cdot2{,}1}{1{,}511}=0{,}975\ \mathrm V$.

2. $V_{IL}$ e $V_{IH}$: punti a pendenza $-1$

$V_{IL}$: per $V_{in}$ piccolo l'n-MOS è in saturazione e il p-MOS in zona lineare. Con $a=\tfrac12k'_nZ_n$, $b=\lvert k'_p\rvert Z_p$, $u=V_{DD}-V_{out}$, $w=V_{DD}-V_{in}-\lvert V_{Tp}\rvert$ l'uguaglianza delle correnti è $$a\,(V_{in}-V_{Tn})^2=b\,\big(w\,u-\tfrac12u^2\big).$$ Derivando rispetto a $V_{in}$ e imponendo $dV_{out}/dV_{in}=-1$ (cioè $du/dV_{in}=+1$, $dw/dV_{in}=-1$): $$2a\,(V_{in}-V_{Tn})=b\,(w-2u)\ \Rightarrow\ u=\frac{w-k_r(V_{in}-V_{Tn})}2,\quad k_r=\frac{k'_nZ_n}{\lvert k'_p\rvert Z_p}.$$ Sostituendo $u$ nella prima equazione si ottiene un'equazione in $V_{in}$ sola, risolta numericamente: $V_{IL}$ e la relativa $V_{out}$. $V_{IH}$: n-MOS lineare, p-MOS in saturazione: $\tfrac12\lvert k'_p\rvert Z_p\,w^2=k'_nZ_n\big[(V_{in}-V_{Tn})V_{out}-\tfrac12V_{out}^2\big]$; con $dV_{out}/dV_{in}=-1$: $V_{out}=\tfrac12\big[(V_{in}-V_{Tn})-\lvert k'_p\rvert Z_pw/(k'_nZ_n)\big]$, da cui $V_{IH}$.

Risultati (verificati derivando numericamente la VTC: pendenza $-1{,}00$ nei due punti):

($V_{OL}=0$, $V_{OH}=V_{DD}=2{,}5\ \mathrm V$.)

3. Commento

• Nel caso (a) la VTC è simmetrica: $V_M=V_{DD}/2$ e i margini sono uguali ($\approx0{,}42\,V_{DD}$ ciascuno, $42\%$ dell'alimentazione).
• Con $Z_p=Z_n$ la caratteristica trasla a sinistra: $V_M$, $V_{IL}$ e $V_{IH}$ diminuiscono (e viceversa aumentano se $Z_p$ cresce): $NM_L$ si riduce a $0{,}70\ \mathrm V$ e $NM_H$ sale a $1{,}40\ \mathrm V$: un disturbo positivo di $0{,}8\ \mathrm V$ sullo $0$ può già essere letto come $1$.
• In entrambi i casi la regione di transizione $[V_{IL},V_{IH}]$ è stretta ($0{,}42$ e $0{,}40\ \mathrm V$ di ampiezza su $2{,}5\ \mathrm V$): la pendenza maggiore di $1$ in tutta questa zona rende l'inverter rigenerativo.
• Con $\lambda_n=0{,}06$ e $\lvert\lambda_p\rvert=0{,}1$ (modello completo) il caso (a) dà $V_{IL}=1{,}00$, $V_{IH}=1{,}52\ \mathrm V$ ($NM_L=1{,}00$, $NM_H=0{,}98\ \mathrm V$), a conferma che $\lambda$ cambia i margini di qualche percento.

Verifica numerica

Python: soluzione del sistema (derivata nulla) e confronto con la derivata numerica della VTC del modello a $\lambda=0$ (pendenza $-0{,}9995$ in $V_{IL}$ e $V_{IH}$); tabella sopra.

Errori comuni

• Confondere $V_{IL}$ con $V_M$ o prendere $V_{IL}=V_{TN}$.
• Calcolare i margini con $V_{OH}$ e $V_{OL}$ non ideali per un inverter CMOS (sono $V_{DD}$ e $0$).
• Dimenticare che per $V_{IL}$ il p-MOS è lineare e per $V_{IH}$ è l'n-MOS ad essere lineare.

Esercizio 22 - margini di rumore di un inverter dalla caratteristica statica (esempio dalle slide)

Testo. $k'_n=115$, $k'_p=-30$, $V_T=\pm0{,}4$, $V_{DD}=2{,}5$, $\lambda=0$; (a) $Z_n=3$, $Z_p=11{,}5$; (b) $Z_n=Z_p=3$.

• $V_M$: $\frac{V_{Tn}+r(V_{DD}+V_{Tp})}{1+r}$: (a) $r=1$, $1{,}25$ V; (b) $r=0{,}511$, $0{,}975$ V.
• $V_{IL}$: n sat, p lineare: $a(V_{in}-V_{Tn})^2=b(wu-u^2/2)$ con pendenza $-1$: $2a(V_{in}-V_{Tn})=b(w-2u)$. $V_{IH}$: n lineare, p sat: $V_{out}=\frac12[(V_{in}-V_{Tn})-\lvert k'_p\rvert Z_pw/(k'_nZ_n)]$.
• Risultati: (a) $V_{IL}=1{,}038$, $V_{IH}=1{,}463$, $NM_L=NM_H=1{,}04$ V; (b) $V_{IL}=0{,}699$, $V_{IH}=1{,}101$, $NM_L=0{,}70$, $NM_H=1{,}40$ V.
• Commento: $Z_p\downarrow$ sposta la VTC a sinistra; margini uguali solo nel bilanciato; con $\lambda$: $1{,}00/1{,}52$ V.
• Errori: $V_{IL}=V_M$; $V_{OL},V_{OH}$ non ideali; regioni scambiate.