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1. Oscillatore ad anello (settembre 2024, settembre 2026)

Per un oscillatore ad anello formato dalla cascata di $N$ invertitori, qual è il valore minimo di $N$ che garantisce l'oscillazione? a. $N=1$; b. $N=2$; c. $N=3$.

Risposta: c. Servono un numero dispari di stadi (inversione totale: con $N=2$ l'anello è bistabile, come un latch, e resta in uno dei due stati) e almeno tre stadi. Con $N=1$ l'uscita è l'ingresso: la caratteristica di trasferimento ha un'unica intersezione con la retta $V_{out}=V_{in}$ in $V_M$ (punto instabile ma stazionario) e un sistema del primo ordine non oscilla; con tre stadi, ciascuno con un polo, si ottiene lo sfasamento di $180^\circ$ con guadagno $>1$. Il periodo è $T=2N\,t_p$: con $N=3$ e $t_p=100\ \mathrm{ps}$, $T=600\ \mathrm{ps}$ ($f=1{,}67\ \mathrm{GHz}$); con $N=5$: $1\ \mathrm{GHz}$; con $N=101$ e $t_p=20\ \mathrm{ps}$: $0{,}25\ \mathrm{GHz}$ (l'anello serve a misurare $t_p$ di un processo).

2. Catena ottimizzata di inverter (luglio 2026)

In una catena ottimizzata di inverter CMOS: a. solo il primo stadio è dimensionato; b. tutti gli stadi hanno lo stesso ritardo; c. il carico è applicato solo all'ultimo stadio.

Risposta: b. Il minimo del ritardo si ha con lo stesso fan-out $f=F^{1/N}$ in ogni stadio, quindi ogni stadio ha lo stesso ritardo $t_{p0}(1+f/\gamma)$; ogni stadio è la media geometrica di quelli adiacenti. Il carico finale $C_L$ è applicato all'ultimo stadio, ma i dimensionamenti coinvolgono tutti.

3. Progetto di un buffer (esempio dalle slide)

Un inverter di ingresso $C_{in}$ deve pilotare $C_L=64\,C_{in}$. Quanti stadi servono e come si dimensionano? ($\gamma=C_{int}/C_g=1$, ritardi in unità di $t_{p0}$.)

$$t_p(N)=N\,(1+F^{1/N}/\gamma),\quad F=64.$$

Il fan-out ottimo per $\gamma=1$ vale $f\approx3{,}6$ ($\ln f=1+1/f$) e $N_{opt}=\ln64/\ln3{,}6=3{,}2$: $N=3$ con $f=4$: dimensioni $1,\,4,\,16$ volte l'inverter minimo. Se serve che il buffer non inverta, si sceglie $N$ pari: $N=4$ ($f=2{,}83$: $15{,}3\,t_{p0}$, solo il $2\%$ in più).

Con i dati del corso ($0{,}25\ \mu\mathrm m$, $\gamma=1{,}6$, $t_{p0}=15{,}4\ \mathrm{ps}$, $C_g=1{,}07\ \mathrm{fF}$, $C_L=68{,}5\ \mathrm{fF}$): $N=1$: $630\ \mathrm{ps}$; $N=2$: $184\ \mathrm{ps}$; $N=3$: $161\ \mathrm{ps}$; $N=4$: $170\ \mathrm{ps}$; $N=5$: $187\ \mathrm{ps}$. Con $\gamma=1{,}6$ l'ottimo è $f=4{,}04$ e $N_{opt}=2{,}98$: ancora $N=3$. Il fattore di scala degli stadi è $Z_n=1,4,16$ e $Z_p=2{,}42,\,9{,}7,\,38{,}8$ (rapporto fisso $r=2{,}42$).

Verifica numerica

Python: $t_p(N)$ per $N=1,\ldots,6$ con $\gamma=1$ e $\gamma=1{,}6$, soluzione di $\ln f=1+\gamma/f$ ($f=3{,}59$ e $4{,}04$), frequenze del ring oscillator.

Errori comuni

• Usare $N=2$ per l'oscillazione.
• Calcolare il fan-out come $F/N$ invece di $F^{1/N}$.
• Dimensionare gli stadi in progressione aritmetica (devono essere in progressione geometrica).
• Dimenticare la polarità (il buffer non invertente richiede $N$ pari).

Esercizio 20 - catena di inverter, buffer ottimo e ring oscillator (temi d'esame 2024-2026 ed esempio dalle slide)

• Ring oscillator: $N$ dispari e $\ge3$ (c); $T=2Nt_p$ ($N=3$, $100$ ps: $600$ ps, $1{,}67$ GHz).
• Catena ottimizzata: tutti gli stadi hanno lo stesso ritardo (b); $f=F^{1/N}$.
• Buffer $F=64$, $\gamma=1$: $N=1,2,3,4\to65,18,15,15{,}3\ t_{p0}$; $\ln f=1+\gamma/f$ ($f\approx3{,}6$), $N=3$, $f=4$, dimensioni $1,4,16$.
• Dati del corso ($\gamma=1{,}6$): $630,184,161,170,187$ ps per $N=1\ldots5$; ottimo $f=4{,}04$.
• Errori: $N=2$; $f=F/N$; progressione aritmetica; polarità.