Carica e scarica di un condensatore

Segue Circuiti in corrente continuaUn generatore mantiene la corrente grazie a una forza elettromotrice ℰ (lavoro per unità di carica del campo elettromotore non conservativo); con resistenza interna r fornisce V = ℰ − r i. Resistori in serie: R1 + R2; in parallelo: inversi che si sommano. Le leggi di Kirchhoff (nodi e maglie) risolvono qualunque rete; amperometro in serie con resistenza piccola, voltmetro in parallelo con resistenza grande.Circuiti in corrente continua →. Usa Capacità e condensatoriLa capacità C = Q/V misura quanta carica un conduttore (o una coppia di conduttori) accumula per ogni volt. Condensatore piano C = ε0S/d, cilindrico C = 2πε0h/ln(R2/R1), sferico C = 4πε0R1R2/(R2−R1). In parallelo le capacità si sommano, in serie si sommano gli inversi.Capacità e condensatori → ed Energia elettrostatica e forza tra le armatureCaricare un condensatore costa lavoro, che resta immagazzinato come energia U = Q²/2C = CV²/2 = QV/2. L'energia si può pensare distribuita nel campo con densità u = ε0E²/2. La forza tra le armature si ricava derivando l'energia rispetto alla distanza (F = Q²/2ε0S); a tensione costante il generatore fornisce il doppio dell'energia che finisce nel condensatore.Energia elettrostatica e forza tra le armature →. Seguito: Campo magnetico e forza di Lorentz. Esercizi: Esercizio 22 · circuito RC che alimenta delle lampadine, Esercizio 23 · condensatore con strati di dielettrico che si scarica, Esercizio 24 · rottura del dielettrico durante la carica, Esercizio 25 · sfera metallica e condensatori in un circuito RC.

Il circuito RC

Un generatore ideale di f.e.m. $\mathcal E$, una resistenza $R$ e un condensatore $C$ in serie, con un interruttore. A interruttore aperto il condensatore è scarico. Chiuso l'interruttore all'istante $t = 0$, la corrente comincia a portare carica sulle armature; man mano che il condensatore si carica, la sua tensione $q/C$ si oppone a quella del generatore e la corrente cala. Alla fine la corrente si annulla e il condensatore ha la tensione $\mathcal E$.

Il nuovo ingrediente rispetto ai circuiti con soli resistori è che la tensione del condensatore non può cambiare di colpo: per cambiarla serve spostare carica, e la carica arriva con una corrente finita. Il passaggio da una situazione all'altra si chiama transitorio.

Carica

L'equazione. Legge delle maglie a un istante qualsiasi, con $q$ carica del condensatore e $i = dq/dt$ corrente (positiva mentre il condensatore si carica):

$$\mathcal E = R\,i + \frac{q}{C} = R\,\frac{dq}{dt} + \frac{q}{C}$$

È un'equazione differenziale del primo ordine a variabili separabili. Si riscrive come

$$\frac{dq}{C\mathcal E - q} = \frac{dt}{RC}$$

e si integra da $(t = 0,\ q = 0)$ a $(t,\ q)$:

$$-\ln\frac{C\mathcal E - q}{C\mathcal E} = \frac{t}{RC} \quad\Longrightarrow\quad \boxed{q(t) = C\mathcal E\left(1 - e^{-t/\tau}\right), \qquad \tau = RC}$$

Derivando si trova la corrente, e dividendo per $C$ la tensione del condensatore:

$$i(t) = \frac{\mathcal E}{R}\,e^{-t/\tau}, \qquad V_C(t) = \mathcal E\left(1 - e^{-t/\tau}\right)$$

Come leggerle.

• All'istante iniziale $q = 0$: il condensatore scarico si comporta come un filo (cortocircuito) e la corrente è massima, $\mathcal E/R$, come se ci fosse solo la resistenza.
• Dopo tanto tempo $i \to 0$: il condensatore carico si comporta come un circuito aperto e ha tensione $\mathcal E$ e carica $C\mathcal E$.
• In mezzo, tutto cambia esponenzialmente con la costante di tempo $\tau = RC$ (in secondi: $\Omega \cdot \text{F} = \frac{\text{V}}{\text{A}}\cdot\frac{\text{C}}{\text{V}} = \text{s}$).

In pratica dopo $5\tau$ il transitorio è finito. Per sapere quando si raggiunge una frazione $f$ della carica finale si inverte con il logaritmo: $1 - e^{-t/\tau} = f \Rightarrow t = -\tau\ln(1 - f)$. Per esempio l'80% si raggiunge a $t = \tau\ln 5 = 1{,}61\,\tau$.

Perché la costante di tempo è proprio $RC$. Con $R$ grande la corrente è piccola e ci vuole più tempo a portare la carica; con $C$ grande c'è più carica da portare. Se la corrente restasse quella iniziale $\mathcal E/R$, il condensatore si caricherebbe completamente in un tempo $C\mathcal E/(\mathcal E/R) = RC$: $\tau$ è il tempo di carica "se non rallentasse".

Scarica

Il condensatore carico ($q_0$, tensione $V_0 = q_0/C$) viene collegato a una resistenza $R$, senza generatore. Ora la corrente esce dall'armatura positiva e $i = -dq/dt$:

$$0 = R\,i - \frac{q}{C} \quad\Longrightarrow\quad \frac{dq}{dt} = -\frac{q}{RC} \quad\Longrightarrow\quad \boxed{q(t) = q_0\,e^{-t/\tau}}$$

$$V_C(t) = V_0\,e^{-t/\tau}, \qquad i(t) = \frac{V_0}{R}\,e^{-t/\tau}$$

Dopo un tempo $\tau$ resta il $36{,}8\%$ della carica ($1/e$). L'energia del condensatore va come $q^2$, quindi cala più in fretta, con costante di tempo $\tau/2$: $U(t) = U_0\,e^{-2t/\tau}$.

Bilancio energetico della carica

Durante tutta la carica:

• il generatore sposta la carica $C\mathcal E$ alla tensione $\mathcal E$: $W_{\text{gen}} = C\mathcal E^2$;
• nel condensatore finisce $U = \frac12 C\mathcal E^2$;
• nella resistenza si dissipa $$W_R = \int_0^\infty R\,i^2\,dt = R\,\frac{\mathcal E^2}{R^2}\int_0^\infty e^{-2t/\tau}\,dt = \frac{\mathcal E^2}{R}\cdot\frac{\tau}{2} = \frac12 C\mathcal E^2$$

Esattamente metà dell'energia del generatore va in calore, indipendentemente da $R$: una resistenza piccola dà una corrente intensa per poco tempo, una grande una corrente debole per tanto tempo, ma il totale è lo stesso. È il risultato già incontrato in Energia elettrostatica e forza tra le armatureCaricare un condensatore costa lavoro, che resta immagazzinato come energia U = Q²/2C = CV²/2 = QV/2. L'energia si può pensare distribuita nel campo con densità u = ε0E²/2. La forza tra le armature si ricava derivando l'energia rispetto alla distanza (F = Q²/2ε0S); a tensione costante il generatore fornisce il doppio dell'energia che finisce nel condensatore.Energia elettrostatica e forza tra le armature → ("il generatore fornisce il doppio"). Nella scarica, invece, tutta l'energia $\frac12 CV_0^2$ del condensatore si dissipa nella resistenza.

Circuiti più complicati

Se intorno al condensatore ci sono più resistenze e generatori, si procede così:

1. valori iniziali: subito dopo una commutazione la tensione del condensatore è quella di prima (non può saltare);
2. valori finali: a regime nel ramo del condensatore non passa corrente, e lo si toglie dal circuito per calcolare le tensioni;
3. costante di tempo: $\tau = R_{\text{eq}}C$, dove $R_{\text{eq}}$ è la resistenza "vista" dai morsetti del condensatore spegnendo i generatori (al posto di un generatore ideale di tensione si mette un filo). Un generatore reale contribuisce con la sua resistenza interna;
4. in mezzo, ogni grandezza va esponenzialmente dal valore iniziale a quello finale: $x(t) = x_\infty + (x_0 - x_\infty)\,e^{-t/\tau}$.

Con più condensatori si sostituisce prima la loro capacità equivalente (serie o parallelo).

Errori comuni

• Usare $e^{+t/\tau}$: le esponenziali di un circuito RC sono sempre decrescenti.
• Confondere carica e scarica: in carica $q$ tende a $C\mathcal E$ (la formula ha "$1 - e^{-t/\tau}$"), in scarica tende a zero.
• Dimenticare la resistenza interna del generatore nella costante di tempo: $\tau = (R + r)C$.
• Pensare che con $R \to 0$ non si dissipi energia: si dissipa sempre la metà (nei fili, per irraggiamento, nella scintilla).