Esercizio 6energia di un quadrato di cariche e lavoro per spostarne una

Testo (IV appello, 14 settembre 2020, problema 1). Quattro cariche puntiformi, $q_1 = q_2 = q$ e $q_3 = q_4 = -q$, sono poste ai vertici di un quadrato di lato $d = 0{,}3\ \text{m}$: le due positive sul lato superiore, le due negative su quello inferiore. Sapendo che l'energia elettrostatica del sistema è $U = -0{,}4\ \text{J}$, calcolare:

1. il valore della carica $q$.

Si pone la carica $q' = 2\ \mu\text{C}$ nel punto $P$, posto a metà fra $q_3$ e $q_4$. Calcolare:

2. il lavoro $W$ fatto da un agente esterno per portare la carica $q'$ dal punto $P$ al centro $C$ del quadrato;
3. la forza $\vec F$ da applicare per mantenere $q'$ ferma in $C$.

Teoria: Lavoro elettrico e potenziale elettrostaticoLa forza elettrostatica è conservativa: il suo lavoro dipende solo dagli estremi e si scrive come differenza di energia potenziale. Il potenziale V è l'energia potenziale per unità di carica; per una carica puntiforme V = kq/r, e il campo è E = −grad V, perpendicolare alle superfici equipotenziali.Lavoro elettrico e potenziale elettrostatico →, Campo elettrostatico e principio di sovrapposizioneIl campo elettrostatico E è la forza per unità di carica che una carica di prova sentirebbe in ogni punto; per più cariche i campi si sommano come vettori, e per distribuzioni continue si integra usando le densità di carica λ, σ, ρ.Campo elettrostatico e principio di sovrapposizione →.

Figura e coordinate

Origine nel vertice in basso a sinistra, $x$ verso destra, $y$ verso l'alto:

1) La carica $q$

Energia di un sistema di cariche. È il lavoro che un agente esterno deve fare per portare le cariche da distanza infinita fino alle loro posizioni, una alla volta. Il risultato è la somma su tutte le coppie, ciascuna contata una volta sola (energia di un sistema di caricheU = somma su tutte le coppie i < j di k qi qj / rij. Ogni coppia compare una volta sola: con quattro cariche le coppie sono sei.Lavoro elettrico e potenziale elettrostatico →):

$$U = \sum_{i<j} \frac{k\,q_i q_j}{r_{ij}}$$

Con quattro cariche le coppie sono $\binom42 = 6$: quattro lati e due diagonali.

I quattro lati si cancellano a due a due; restano le diagonali, entrambe tra cariche opposte:

$$U = -\frac{2kq^2}{d\sqrt2} = -\frac{\sqrt2\,kq^2}{d}$$

$U$ è negativa, coerente con il dato $-0{,}4\ \text{J}$: il sistema è "legato", per smontarlo servirebbe lavoro. Ricavando $q$ (si prende il valore positivo, dato che $q_1 = q$ è indicata come carica positiva):

$$q = \sqrt{\frac{-U\,d}{\sqrt2\,k}} = \sqrt{\frac{0{,}4 \cdot 0{,}3}{1{,}414 \cdot 8{,}99 \cdot 10^9}} = \sqrt{9{,}44 \cdot 10^{-12}} = 3{,}07 \cdot 10^{-6}\ \text{C}$$

2) Lavoro per portare $q'$ da $P$ a $C$

Il lavoro dell'agente esterno. Se $q'$ viene spostata lentamente (senza acquistare energia cinetica), l'agente esterno compie un lavoro uguale e opposto a quello del campo, cioè uguale alla variazione di energia potenziale di $q'$:

$$W = \Delta U = q'\,[V(C) - V(P)]$$

dove $V$ è il potenziale prodotto dalle quattro cariche fisse.

Potenziale in $C$. Il centro è alla stessa distanza $d/\sqrt2$ da tutti i vertici, e le cariche sono due $+q$ e due $-q$:

$$V(C) = \frac{k}{d/\sqrt2}\,(q + q - q - q) = 0$$

Potenziale in $P$. Le distanze da $P = (d/2, 0)$:

• dalle negative $q_3$, $q_4$ (sullo stesso lato): $d/2$;
• dalle positive $q_1$, $q_2$: $\sqrt{(d/2)^2 + d^2} = \dfrac{\sqrt5}{2}\,d$.

$$V(P) = 2\,\frac{kq}{\frac{\sqrt5}{2}d} - 2\,\frac{kq}{d/2} = \frac{4kq}{d}\left(\frac{1}{\sqrt5} - 1\right) = \frac{4 \cdot 8{,}99 \cdot 10^9 \cdot 3{,}07 \cdot 10^{-6}}{0{,}3} \cdot (0{,}447 - 1) = -2{,}04 \cdot 10^5\ \text{V}$$

$P$ è vicinissimo alle due cariche negative: il potenziale lì è fortemente negativo.

Lavoro:

$$W = q'\,[0 - V(P)] = 2 \cdot 10^{-6} \cdot 2{,}04 \cdot 10^5 = +0{,}407\ \text{J}$$

Il segno. $q'$ è positiva e sta in $P$, tra le due cariche negative che la attraggono: per allontanarla verso il centro bisogna tirarla contro l'attrazione, quindi l'agente esterno fa lavoro positivo. In termini di potenziale: una carica positiva che sale da $-2{,}04 \cdot 10^5\ \text{V}$ a $0\ \text{V}$ aumenta la sua energia potenziale. (La soluzione ufficiale riporta $-0{,}407\ \text{J}$: il modulo è giusto, il segno dell'ultimo passaggio è invertito.)

3) Forza per tenere $q'$ ferma in $C$

Campo in $C$. Ogni carica dista $d/\sqrt2$ da $C$, quindi ogni campo ha lo stesso modulo

$$E_1 = \frac{kq}{(d/\sqrt2)^2} = \frac{2kq}{d^2} = \frac{2 \cdot 8{,}99 \cdot 10^9 \cdot 3{,}07 \cdot 10^{-6}}{0{,}09} = 6{,}14 \cdot 10^5\ \text{V/m}$$

Le direzioni, ricordando che il campo esce dalle positive ed entra nelle negative:

• $q_1$ (alto a sinistra, $+$): punta da $q_1$ verso $C$ e oltre, cioè in basso a destra;
• $q_2$ (alto a destra, $+$): in basso a sinistra;
• $q_3$ (basso a destra, $-$): punta verso $q_3$, cioè in basso a destra;
• $q_4$ (basso a sinistra, $-$): verso $q_4$, in basso a sinistra.

Tutti e quattro hanno una componente verso il basso; le componenti orizzontali si cancellano a coppie (due verso destra, due verso sinistra, con lo stesso modulo). Ogni campo forma $45°$ con la verticale, quindi la sua componente verticale è $E_1\cos 45° = E_1/\sqrt2$:

$$\vec E(C) = -4\,\frac{E_1}{\sqrt2}\,\hat u_y = -2\sqrt2 \cdot 6{,}14 \cdot 10^5\,\hat u_y = -1{,}74 \cdot 10^6\ \text{V/m}\ \hat u_y$$

Il potenziale in $C$ è zero ma il campo no: V = 0 non implica E = 0Il campo dipende da come varia il potenziale intorno al punto. Qui V passa da positivo (in alto) a negativo (in basso) e quindi cambia molto rapidamente proprio in C.Lavoro elettrico e potenziale elettrostatico →.

Forza. Il campo esercita su $q'$ la forza $q'\vec E$, verso il basso; per tenerla ferma serve una forza uguale e opposta:

$$\vec F = -q'\vec E(C) = +2 \cdot 10^{-6} \cdot 1{,}74 \cdot 10^6\,\hat u_y = 3{,}47\ \text{N}\ \hat u_y$$

diretta verso l'alto, verso le cariche positive. Una forza di qualche newton su una carica di qualche microcoulomb: le cariche dell'ordine del $\mu\text{C}$ a decimetri di distanza producono forze ben percepibili.

Verifica numerica

import numpy as np
k, d, U = 8.99e9, 0.3, -0.4
q = np.sqrt(-U*d/(np.sqrt(2)*k))
cariche = [((0, d), q), ((d, d), q), ((d, 0), -q), ((0, 0), -q)]
V = lambda P: sum(k*c/np.hypot(P[0]-x, P[1]-y) for (x, y), c in cariche)
def E(P):
    tot = np.zeros(2)
    for (x, y), c in cariche:
        r = np.array(P) - np.array([x, y]); tot += k*c*r/np.linalg.norm(r)**3
    return tot
qp, P, C = 2e-6, (d/2, 0), (d/2, d/2)
print(q)                          # 3.07e-6 C
print(V(P), qp*(V(C) - V(P)))     # -2.04e5 V, +0.407 J
print(E(C), -qp*E(C))             # [0, -1.74e6] V/m, [0, 3.47] N

Risultati

Errori comuni

• Contare le coppie due volte nell'energia del sistema (la formula con $\frac12\sum_{i \ne j}$ è equivalente, ma ci vuole il $\frac12$).
• Confondere il lavoro del campo con quello dell'agente esterno: $W_{\text{campo}} = -\Delta U$, $W_{\text{est}} = +\Delta U$.
• Dimenticare il $\cos 45°$ nel sommare le componenti verticali in $C$.