Esercizio 16condensatore a semicilindri

Testo (I appello, 25 gennaio 2022, problema 1). Un condensatore è formato da due semicilindri metallici coassiali di altezza indefinita, affacciati completamente l'uno all'altro. Si vuole avere una capacità per unità di lunghezza $C/h = 24\ \text{pF/m}$, considerando il mezzo (aria) come se fosse vuoto ($\varepsilon_r \approx 1$).

1. Sapendo che il raggio del cilindro interno vale $R_1 = 1{,}2\ \text{cm}$, quanto deve essere il raggio esterno $R_2$?
2. Se il condensatore viene tenuto a una differenza di potenziale $V_0 = 10000\ \text{V}$, quanta energia cinetica $E_c$ (in eV) acquista un elettrone, rilasciato con velocità nulla appena sopra la superficie caricata negativamente, quando raggiunge l'altra?
3. Quanto vale l'intensità $F$ della forza che subisce l'elettrone quando si trova a metà fra i due semicilindri?

La metà sinistra del condensatore viene riempita con un dielettrico di costante dielettrica relativa $\varepsilon_r = 5$.

4. Quanto lavoro $W$ ha fatto il generatore per ristabilire l'equilibrio, se il condensatore ha altezza $h = 10\ \text{m}$?

Si trascurino gli effetti di bordo.

Teoria: Capacità e condensatoriLa capacità C = Q/V misura quanta carica un conduttore (o una coppia di conduttori) accumula per ogni volt. Condensatore piano C = ε0S/d, cilindrico C = 2πε0h/ln(R2/R1), sferico C = 4πε0R1R2/(R2−R1). In parallelo le capacità si sommano, in serie si sommano gli inversi.Capacità e condensatori →, Energia elettrostatica e forza tra le armatureCaricare un condensatore costa lavoro, che resta immagazzinato come energia U = Q²/2C = CV²/2 = QV/2. L'energia si può pensare distribuita nel campo con densità u = ε0E²/2. La forza tra le armature si ricava derivando l'energia rispetto alla distanza (F = Q²/2ε0S); a tensione costante il generatore fornisce il doppio dell'energia che finisce nel condensatore.Energia elettrostatica e forza tra le armature →, Dielettrici e polarizzazioneUn isolante in un campo elettrico si polarizza: le sue molecole diventano (o si orientano come) piccoli dipoli. Il vettore polarizzazione ℘ = ε0χE fa comparire cariche di polarizzazione σp = ℘·n sulle superfici, che riducono il campo interno di un fattore εr = 1 + χ. Per questo un dielettrico moltiplica la capacità per εr. Il vettore D = ε0E + ℘ ha come sorgenti solo le cariche libere: il suo flusso è la carica libera racchiusa.Dielettrici e polarizzazione → (punto 4).

1) Raggio esterno

Mezzo cilindro, metà capacità. Trascurando i bordi, tra i due semicilindri il campo è radiale come nel condensatore cilindrico completo, ma le armature hanno metà superficie. Con Gauss su un semicilindro di raggio $r$ e altezza $h$ (solo la superficie curva è attraversata dalle linee di campo, e la sua area è $\pi r h$):

$$E\,\pi r h = \frac{Q}{\varepsilon_0} \quad\Longrightarrow\quad E(r) = \frac{Q}{\pi\varepsilon_0 h\,r}$$

Integrando da $R_1$ a $R_2$ come per il condensatore cilindricoC = 2πε0h/ln(R2/R1): il campo radiale Q/(2πε0hr) integrato tra i due raggi dà un logaritmo.Capacità e condensatori →, il risultato è la metà di quello del cilindro intero (sono due semicilindri in parallelo, uguali, e se ne usa uno):

$$\frac{C}{h} = \frac{\pi\varepsilon_0}{\ln(R_2/R_1)}$$

Inversione. Si isola il logaritmo e lo si "scioglie" con l'esponenziale:

$$\ln\frac{R_2}{R_1} = \frac{\pi\varepsilon_0}{C/h} \quad\Longrightarrow\quad R_2 = R_1\,e^{\pi\varepsilon_0 h/C}$$

$$\frac{\pi\varepsilon_0}{C/h} = \frac{\pi \cdot 8{,}854 \cdot 10^{-12}}{24 \cdot 10^{-12}} = 1{,}159 \quad\Longrightarrow\quad R_2 = 1{,}2\ \text{cm} \cdot e^{1{,}159} = 1{,}2 \cdot 3{,}187 = 3{,}82\ \text{cm}$$

2) Energia cinetica dell'elettrone

L'elettrone parte da fermo dall'armatura negativa e arriva su quella positiva: attraversa tutta la differenza di potenziale $V_0$. Per la conservazione dell'energia, l'energia potenziale persa diventa cinetica:

$$E_c = e\,V_0 = 10^4\ \text{eV} = 10\ \text{keV}$$

In elettronvolt il conto è immediato: una carica elementare che attraversa $V_0$ volt guadagna $V_0$ eV (elettronvolt1 eV è l'energia che una carica e acquista attraversando 1 V; per una carica e, l'energia in eV è uguale alla differenza di potenziale in volt.Lavoro elettrico e potenziale elettrostatico →). In joule: $1{,}6 \cdot 10^{-15}\ \text{J}$. Non serve sapere come è fatto il campo lungo il percorso.

3) Forza a metà strada

La carica sulle armature. $Q = C V_0$, quindi $\dfrac{Q}{h} = \dfrac{C}{h}V_0 = 24 \cdot 10^{-12} \cdot 10^4 = 2{,}4 \cdot 10^{-7}\ \text{C/m}$.

Il campo a distanza $r$ dall'asse (punto 1):

$$E(r) = \frac{Q/h}{\pi\varepsilon_0 r}$$

"A metà fra i due cilindri" vuol dire a $r = \dfrac{R_1 + R_2}{2} = \dfrac{1{,}2 + 3{,}82}{2} = 2{,}51\ \text{cm}$:

$$E = \frac{2{,}4 \cdot 10^{-7}}{\pi \cdot 8{,}854 \cdot 10^{-12} \cdot 0{,}0251} = 3{,}43 \cdot 10^5\ \text{V/m}$$

$$F = eE = 1{,}602 \cdot 10^{-19} \cdot 3{,}43 \cdot 10^5 = 5{,}5 \cdot 10^{-14}\ \text{N}$$

diretta verso l'armatura positiva. Si noti che il campo non è uniforme: va come $1/r$, e vale $E(R_1) = 7{,}2 \cdot 10^5\ \text{V/m}$ sull'armatura interna e $E(R_2) = 2{,}3 \cdot 10^5\ \text{V/m}$ su quella esterna (il rapporto è $R_2/R_1 = 3{,}2$).

4) Metà riempita di dielettrico

Nuova capacità. Riempire la metà sinistra significa dividere il condensatore in due zone affiancate, ciascuna un quarto di cilindro, entrambe alla stessa differenza di potenziale: sono due condensatori in parallelo. Il quarto vuoto ha metà della capacità di prima; il quarto pieno ha la stessa geometria, ma il dielettrico ne moltiplica la capacità per $\varepsilon_r$ (vedi dielettrici nei condensatoriRiempire completamente un condensatore con un dielettrico di costante εr ne moltiplica la capacità per εr.Dielettrici e polarizzazione →):

$$\frac{C'}{h} = \frac12\,\frac{C}{h} + \frac12\,\varepsilon_r\frac{C}{h} = \frac{1 + \varepsilon_r}{2}\,\frac{C}{h} = 3 \cdot 24 = 72\ \text{pF/m}$$

Per $h = 10\ \text{m}$: $C = 240\ \text{pF}$ prima, $C' = 720\ \text{pF}$ dopo.

Lavoro del generatore. Il generatore tiene la tensione fissa a $V_0$; la capacità aumenta e quindi la carica aumenta di $\Delta Q = (C' - C)V_0$. Il generatore porta questa carica attraverso la tensione $V_0$:

$$W = \Delta Q\,V_0 = (C' - C)\,V_0^2 = (720 - 240) \cdot 10^{-12} \cdot 10^8 = 0{,}048\ \text{J}$$

L'energia del condensatore aumenta solo della metà, $\Delta U = \frac12(C' - C)V_0^2 = 0{,}024\ \text{J}$: come visto nella teoria, a tensione costante il generatore fornisce il doppioIl generatore sposta ΔQ alla tensione V e compie il lavoro V ΔQ = (C' − C)V², mentre il condensatore guadagna solo (C' − C)V²/2.Energia elettrostatica e forza tra le armature →. L'altra metà (anche lei $0{,}024\ \text{J}$) è il lavoro fatto sul dielettrico: il campo lo attira dentro il condensatore, e se non lo si trattiene questa energia diventa energia cinetica del dielettrico o calore.

Verifica numerica

import numpy as np
eps0, e = 8.854e-12, 1.602e-19
Ch, R1, V0, h, er = 24e-12, 0.012, 1e4, 10, 5
R2 = R1*np.exp(np.pi*eps0/Ch)
r = (R1 + R2)/2
E = Ch*V0/(np.pi*eps0*r)
C, C1 = Ch*h, Ch*h*(1 + er)/2
print(R2, E, e*E)                  # 0.0382 m, 3.43e5 V/m, 5.5e-14 N
print(C1, (C1 - C)*V0**2)          # 7.2e-10 F, 0.048 J

Risultati

Errori comuni

• Usare $2\pi\varepsilon_0$ per i semicilindri: la superficie affacciata è metà, quindi la capacità è metà.
• Mettere le due metà in serie: zone affiancate alla stessa tensione sono in parallelo.
• Uguagliare il lavoro del generatore alla variazione di energia del condensatore: a tensione costante è il doppio.