Esercizio 20condensatore sferico riempito a metà

Testo (prova in itinere del 24 novembre 2023, problema 2). Un condensatore sferico di raggi $R_1 = 17\ \text{cm}$ e $R_2 = 30\ \text{cm}$ è riempito per metà di dielettrico liquido con $\varepsilon_r = 3{,}33$ e collegato a una tensione di $22{,}92\ \text{V}$. Si trovi la carica di polarizzazione del dielettrico.

Teoria: Dielettrici e polarizzazioneUn isolante in un campo elettrico si polarizza: le sue molecole diventano (o si orientano come) piccoli dipoli. Il vettore polarizzazione ℘ = ε0χE fa comparire cariche di polarizzazione σp = ℘·n sulle superfici, che riducono il campo interno di un fattore εr = 1 + χ. Per questo un dielettrico moltiplica la capacità per εr. Il vettore D = ε0E + ℘ ha come sorgenti solo le cariche libere: il suo flusso è la carica libera racchiusa.Dielettrici e polarizzazione →, Capacità e condensatoriLa capacità C = Q/V misura quanta carica un conduttore (o una coppia di conduttori) accumula per ogni volt. Condensatore piano C = ε0S/d, cilindrico C = 2πε0h/ln(R2/R1), sferico C = 4πε0R1R2/(R2−R1). In parallelo le capacità si sommano, in serie si sommano gli inversi.Capacità e condensatori →.

Metà vuoto e metà pieno: un parallelo

"Riempito per metà" vuol dire che il liquido occupa la semisfera inferiore dell'intercapedine (come se lo si versasse dentro), con la superficie libera sul piano equatoriale. Il condensatore si divide in due semigusci affiancati, uno vuoto e uno pieno, entrambi tra le stesse due armature: hanno la stessa tensione $V$, quindi sono in paralleloZone affiancate tra le stesse armature: stessa tensione, le capacità si sommano.Capacità e condensatori →.

Perché la separazione funziona: con questa geometria il campo resta radiale in entrambe le metà, e alla superficie di separazione (il piano equatoriale) il campo è parallelo alla superficie. La componente tangente di $\vec E$ è continua attraverso un'interfaccia, quindi il campo è lo stesso nelle due metà, $E(r) = \dfrac{V}{r^2}\dfrac{R_1 R_2}{R_2 - R_1}$; cambia invece $D = \varepsilon_0\varepsilon_r E$, e con esso la carica libera sulle armature, che è $\varepsilon_r$ volte più densa dalla parte del liquido.

Le due capacità

Un condensatore sferico completo vuoto ha $C_0 = 4\pi\varepsilon_0\dfrac{R_1R_2}{R_2 - R_1}$; mezzo condensatore ha metà capacità:

$$C_{\text{vuoto}} = \frac{C_0}{2} = 2\pi\varepsilon_0\,\frac{R_1R_2}{R_2 - R_1}, \qquad C_{\text{pieno}} = \varepsilon_r\,\frac{C_0}{2}$$

$$C_0 = 4\pi \cdot 8{,}854 \cdot 10^{-12} \cdot \frac{0{,}17 \cdot 0{,}30}{0{,}13} = 43{,}6\ \text{pF}$$

quindi $C_{\text{vuoto}} = 21{,}8\ \text{pF}$ e $C_{\text{pieno}} = 72{,}7\ \text{pF}$ (totale $94{,}5\ \text{pF}$).

Carica libera sulla metà piena

$$q_{\text{lib}} = C_{\text{pieno}}\,V = 72{,}7 \cdot 10^{-12} \cdot 22{,}92 = 1{,}67 \cdot 10^{-9}\ \text{C}$$

Carica di polarizzazione

Sulla superficie del dielettrico a contatto con un'armatura, la carica di polarizzazione è una frazione fissa della carica libera dell'armatura (carica di polarizzazioneσp = (εr − 1)/εr · σ: la carica legata sulla faccia del dielettrico è opposta alla carica libera dell'armatura con cui è a contatto, e ne è una frazione.Dielettrici e polarizzazione →):

$$q_p = \frac{\varepsilon_r - 1}{\varepsilon_r}\,q_{\text{lib}} = \frac{2{,}33}{3{,}33} \cdot 1{,}67 \cdot 10^{-9} = 1{,}17 \cdot 10^{-9}\ \text{C}$$

Mettendo insieme le formule, $q_p = 2\pi\varepsilon_0(\varepsilon_r - 1)\dfrac{R_1R_2}{R_2 - R_1}V$: il fattore $\varepsilon_r$ al denominatore si semplifica con quello della capacità.

Segni e posizione. Questa è la carica sulla faccia del liquido a contatto con l'armatura interna (di segno opposto a quella dell'armatura). Sulla faccia a contatto con l'armatura esterna c'è una carica di polarizzazione uguale e opposta: il dielettrico resta complessivamente neutro.

Perché $\frac{\varepsilon_r - 1}{\varepsilon_r}$. Nella metà piena la densità libera è $\sigma = D = \varepsilon_0\varepsilon_r E$, la polarizzazione è $\wp = \varepsilon_0(\varepsilon_r - 1)E$, e il rapporto è proprio $\frac{\varepsilon_r - 1}{\varepsilon_r}$. Il campo $E$ che compare in entrambe è quello comune alle due metà.

Verifica numerica

import numpy as np
eps0, R1, R2, er, V = 8.854e-12, 0.17, 0.30, 3.33, 22.92
C0 = 4*np.pi*eps0*R1*R2/(R2 - R1)
q_lib = er*C0/2*V
print(C0, q_lib, (er - 1)/er*q_lib)     # 43.6 pF, 1.67e-9 C, 1.17e-9 C

Risultati

Errori comuni

• Trattare il riempimento a metà come una serie (strato interno e strato esterno): quello sarebbe un dielettrico che occupa i raggi da $R_1$ a un raggio intermedio, non metà del volume affiancata.
• Usare la carica libera totale (comprese le zone vuote) per calcolare la polarizzazione: conta solo la carica a contatto con il dielettrico.
• Dimenticare il fattore $\frac{\varepsilon_r - 1}{\varepsilon_r}$: la carica di polarizzazione è sempre minore di quella libera.