Esercizio 21rete di sei resistori

Testo (III appello, 21 giugno 2018, problema 1). Il circuito in figura è composto da un generatore di forza elettromotrice ideale $V_0 = 10\ \text{V}$ e da resistenze il cui valore in $\text{k}\Omega$ è proporzionale all'indice, ovvero $R_i = (10\,i)\ \text{k}\Omega$.

a) Quanto vale la potenza $\mathcal P$ erogata dal generatore? b) Quanto vale la tensione $V_3$ ai capi della resistenza $R_3$? c) Se la tensione viene variata linearmente dal valore massimo fino a zero in $T = 12\ \text{s}$, quanta energia $U_d$ è dissipata in questo processo dalla resistenza $R_4$?

La figura, a parole: dal polo positivo del generatore la corrente passa per $R_1$ e arriva a un nodo $A$; da $A$ partono due rami che si ricongiungono in un nodo $B$: il ramo centrale con $R_6$, e il ramo esterno con $R_2$, $R_3$ e $R_4$ uno dopo l'altro. Da $B$ la corrente torna al generatore attraverso $R_5$.

Teoria: Circuiti in corrente continuaUn generatore mantiene la corrente grazie a una forza elettromotrice ℰ (lavoro per unità di carica del campo elettromotore non conservativo); con resistenza interna r fornisce V = ℰ − r i. Resistori in serie: R1 + R2; in parallelo: inversi che si sommano. Le leggi di Kirchhoff (nodi e maglie) risolvono qualunque rete; amperometro in serie con resistenza piccola, voltmetro in parallelo con resistenza grande.Circuiti in corrente continua →, Corrente elettrica e legge di OhmLa corrente i = dq/dt è la carica che attraversa una sezione per unità di tempo; la densità di corrente j = n q v_d lega la corrente al moto di deriva delle cariche. La carica si conserva (equazione di continuità). Nei conduttori ohmici j = σE, cioè V = R i con R = ρ ℓ/S; la potenza dissipata per effetto Joule è P = R i².Corrente elettrica e legge di Ohm →.

Dati

$R_1 = 10\ \text{k}\Omega$, $R_2 = 20\ \text{k}\Omega$, $R_3 = 30\ \text{k}\Omega$, $R_4 = 40\ \text{k}\Omega$, $R_5 = 50\ \text{k}\Omega$, $R_6 = 60\ \text{k}\Omega$.

a) Potenza erogata

Si riduce la rete a una sola resistenza equivalente, partendo dal "dentro".

1. Il ramo esterno. $R_2$, $R_3$, $R_4$ sono percorse dalla stessa corrente (sono una dopo l'altra, senza nodi in mezzo): sono in serieStessa corrente: le resistenze si sommano.Circuiti in corrente continua →:

$$R_S = R_2 + R_3 + R_4 = 20 + 30 + 40 = 90\ \text{k}\Omega$$

2. Il ramo esterno con $R_6$. $R_S$ e $R_6$ collegano gli stessi due nodi $A$ e $B$: hanno la stessa tensione, sono in parallelo:

$$R_P = \frac{R_6 R_S}{R_6 + R_S} = \frac{60 \cdot 90}{150} = 36\ \text{k}\Omega$$

(minore di entrambe, come deve essere per un parallelo).

3. Tutto in serie. $R_1$, il blocco $R_P$ e $R_5$ sono attraversati dalla corrente totale:

$$R_{\text{eq}} = R_1 + R_P + R_5 = 10 + 36 + 50 = 96\ \text{k}\Omega$$

Potenza. Il generatore è ideale, quindi la tensione ai capi della rete è $V_0$:

$$\mathcal P = \frac{V_0^2}{R_{\text{eq}}} = \frac{100}{96\,000} = 1{,}04 \cdot 10^{-3}\ \text{W} = 1{,}04\ \text{mW}$$

b) Tensione su $R_3$

Corrente totale:

$$i_1 = \frac{V_0}{R_{\text{eq}}} = \frac{10}{96\,000} = 1{,}04 \cdot 10^{-4}\ \text{A} = 0{,}104\ \text{mA}$$

Come si divide nel parallelo. In $A$ la corrente si divide tra $R_6$ e il ramo esterno; per la legge dei nodi $i_1 = i_6 + i_2$, e i due rami hanno la stessa tensione: $i_6 R_6 = i_2 R_S$. È il partitore di correnteIn un parallelo la corrente si divide in proporzione inversa alle resistenze: i1 = i R2/(R1 + R2).Circuiti in corrente continua →:

$$i_2 = i_1\,\frac{R_6}{R_6 + R_S} = i_1 \cdot \frac{60}{150} = \frac25\,i_1 = 0{,}0417\ \text{mA}, \qquad i_6 = \frac35\,i_1 = 0{,}0625\ \text{mA}$$

Passa più corrente in $R_6$, che è il ramo con meno resistenza.

$$V_3 = R_3\,i_2 = 30\,000 \cdot 4{,}17 \cdot 10^{-5} = 1{,}25\ \text{V}$$

Controllo. La tensione sul parallelo è $R_P\,i_1 = 36\,000 \cdot 1{,}04 \cdot 10^{-4} = 3{,}75\ \text{V}$, e lungo il ramo esterno si divide in $0{,}83 + 1{,}25 + 1{,}67\ \text{V}$ (proporzionale a $20$, $30$, $40$) ✓. Le tensioni su $R_1$ e $R_5$ sono $1{,}04$ e $5{,}21\ \text{V}$: in totale $1{,}04 + 3{,}75 + 5{,}21 = 10\ \text{V}$ ✓.

c) Energia dissipata in $R_4$ con tensione che cala linearmente

La tensione nel tempo: $V(t) = V_0\,(1 - t/T)$ per $0 \le t \le T$. La rete è fatta solo di resistori, quindi tutte le correnti seguono la tensione istante per istante (non c'è nessun condensatore che "ritardi"):

$$i_2(t) = \frac25\,\frac{V(t)}{R_{\text{eq}}}$$

Potenza istantanea in $R_4$ (effetto JouleP = R i²: la potenza dissipata in una resistenza va col quadrato della corrente.Corrente elettrica e legge di Ohm →):

$$\mathcal P_4(t) = R_4\,i_2^2(t) = \frac{4}{25}\,\frac{R_4}{R_{\text{eq}}^2}\,V_0^2\left(1 - \frac tT\right)^2$$

Energia: si integra la potenza nel tempo. Con la sostituzione $s = 1 - t/T$ ($dt = -T\,ds$):

$$\int_0^T \left(1 - \frac tT\right)^2 dt = T\int_0^1 s^2\,ds = \frac T3$$

$$U_d = \frac{4}{25}\,\frac{R_4}{R_{\text{eq}}^2}\,V_0^2\,\frac T3 = 0{,}16 \cdot \frac{40\,000}{(96\,000)^2} \cdot 100 \cdot 4 = 2{,}78 \cdot 10^{-4}\ \text{J} = 0{,}278\ \text{mJ}$$

Perché non basta usare la tensione media. La tensione media è $V_0/2$, ma la potenza va col quadrato: la media di $(1 - t/T)^2$ è $1/3$, non $(1/2)^2 = 1/4$. Usando la tensione media si sottostimerebbe l'energia del 25%.

Verifica numerica

from scipy.integrate import quad
R = {i: 10e3*i for i in range(1, 7)}
V0, T = 10, 12
RS = R[2] + R[3] + R[4]
RP = R[6]*RS/(R[6] + RS)
Req = R[1] + RP + R[5]
i1 = V0/Req
i2 = i1*R[6]/(R[6] + RS)
print(Req, V0**2/Req, i2*R[3])             # 96 kΩ, 1.04 mW, 1.25 V
P4 = lambda t: R[4]*(i2*(1 - t/T))**2
print(quad(P4, 0, T)[0])                   # 2.78e-4 J

Risultati

Errori comuni

• Mettere $R_6$ in serie con le altre: collega gli stessi due nodi del ramo esterno, quindi è in parallelo.
• Usare la corrente totale per $R_3$: in $R_3$ passa solo la parte di corrente del ramo esterno.
• Calcolare l'energia con la tensione media: la potenza dipende dal quadrato della tensione, bisogna integrare.