Esercizio 10carica lanciata lungo l'asse di un anello

Testo (I appello, 26 gennaio 2021, problema 1). Si prenda un anello di carica lineare $\lambda = 10^{-4}\ \text{C/m}$ e raggio $R = 20\ \text{cm}$. Il suo asse viene orientato verso la coordinata $z$ con il centro dell'anello nell'origine. Una carica $q = -10^{-8}\ \text{C}$ e massa $m = 1\ \text{g}$ viene lanciata all'istante $t_0$ con velocità $v_0 = 8\ \text{m/s}$ dal punto di coordinata $z_0 = -0{,}1\ \text{m}$ verso il centro dell'anello.

1. Qual è la coordinata massima $z_{\max}$ raggiunta dalla carica?
2. Mostrare che nel limite $z \ll R$ il moto è approssimativamente armonico. Derivare la pulsazione $\omega$. Giustificare perché il risultato è corretto solo se $v_0 \ll \sqrt{\lambda |q| / (\varepsilon_0 m)}$.
3. Un piano infinito (non conduttore) con densità di carica $\sigma$ viene successivamente sistemato ortogonalmente all'asse $z$ sul semiasse positivo. Determinare la densità di carica necessaria affinché il campo elettrico totale agente sulla particella all'istante $t_0$ sia nullo in $z_0$.

Teoria: Campo di distribuzioni continue - filo, anello e discoCampo e potenziale di filo (finito e indefinito), anello e disco uniformemente carichi, calcolati integrando i contributi dq e sfruttando la simmetria; il piano indefinito è il limite del disco, con campo uniforme σ/2ε0.Campo di distribuzioni continue - filo, anello e disco →, Lavoro elettrico e potenziale elettrostaticoLa forza elettrostatica è conservativa: il suo lavoro dipende solo dagli estremi e si scrive come differenza di energia potenziale. Il potenziale V è l'energia potenziale per unità di carica; per una carica puntiforme V = kq/r, e il campo è E = −grad V, perpendicolare alle superfici equipotenziali.Lavoro elettrico e potenziale elettrostatico →.

Campo e potenziale dell'anello sull'asse

La carica totale dell'anello è $Q = \lambda \cdot 2\pi R = 10^{-4} \cdot 2\pi \cdot 0{,}2 = 1{,}26 \cdot 10^{-4}\ \text{C}$, positiva. Sull'asse valgono (anello caricoTutti i punti dell'anello distano √(z²+R²) dal punto sull'asse: il potenziale è kQ/√(z²+R²); del campo resta solo la componente lungo l'asse, kQz/(z²+R²)^(3/2).Campo di distribuzioni continue - filo, anello e disco →):

$$V(z) = \frac{kQ}{\sqrt{z^2 + R^2}} = \frac{\lambda R}{2\varepsilon_0\sqrt{z^2 + R^2}}, \qquad E_z(z) = \frac{kQz}{(z^2 + R^2)^{3/2}} = \frac{\lambda R\,z}{2\varepsilon_0 (z^2 + R^2)^{3/2}}$$

(si è usato $kQ = \frac{\lambda\,2\pi R}{4\pi\varepsilon_0} = \frac{\lambda R}{2\varepsilon_0}$). Il potenziale è massimo al centro e cala allontanandosi; il campo punta via dall'anello da entrambi i lati.

Cosa fa la carica negativa. L'energia potenziale è $U = qV$ con $q < 0$: è minima al centro dell'anello, dove $V$ è massimo. La carica è attratta verso il centro da entrambi i lati, come una pallina in una buca: lanciata da $z_0 < 0$ verso il centro, accelera fino a $z = 0$, prosegue dall'altra parte rallentando, si ferma in $z_{\max} > 0$ e torna indietro.

1) Coordinata massima

Si conserva l'energia meccanica tra $z_0$ (velocità $v_0$) e $z_{\max}$ (velocità nulla, punto di inversione):

$$\tfrac12 m v_0^2 + qV(z_0) = qV(z_{\max})$$

Dividendo per $q\frac{\lambda R}{2\varepsilon_0}$ e isolando il termine con $z_{\max}$:

$$\frac{1}{\sqrt{z_{\max}^2 + R^2}} = \frac{1}{\sqrt{z_0^2 + R^2}} + \frac{\varepsilon_0 m v_0^2}{q\lambda R}$$

Attenzione al segno: $q$ è negativa, quindi l'ultimo termine è negativo, e $1/\sqrt{z_{\max}^2 + R^2}$ è più piccolo di $1/\sqrt{z_0^2+R^2}$: la carica arriva più lontano dal centro di dove è partita, come deve essere (parte con energia cinetica). Numericamente:

$$\frac{1}{\sqrt{0{,}01 + 0{,}04}} = \frac{1}{0{,}2236} = 4{,}472\ \text{m}^{-1}$$ $$\frac{\varepsilon_0 m v_0^2}{q\lambda R} = \frac{8{,}854 \cdot 10^{-12} \cdot 10^{-3} \cdot 64}{(-10^{-8}) \cdot 10^{-4} \cdot 0{,}2} = -2{,}833\ \text{m}^{-1}$$

$$\sqrt{z_{\max}^2 + R^2} = \frac{1}{4{,}472 - 2{,}833} = \frac{1}{1{,}639} = 0{,}610\ \text{m} \quad\Longrightarrow\quad z_{\max} = \sqrt{0{,}610^2 - 0{,}04} = 0{,}576\ \text{m}$$

$$z_{\max} = 57{,}6\ \text{cm}$$

La carica supera il centro e risale fino a $57{,}6\ \text{cm}$ dall'altra parte: un'oscillazione molto ampia rispetto al raggio dell'anello.

2) Piccole oscillazioni

Equazione del moto. Lungo l'asse agisce solo $F_z = qE_z$:

$$m\ddot z = q\,\frac{\lambda R\,z}{2\varepsilon_0(z^2 + R^2)^{3/2}} \quad\Longrightarrow\quad \ddot z + \frac{|q|\lambda R}{2\varepsilon_0 m}\,\frac{z}{(z^2 + R^2)^{3/2}} = 0$$

(si è scritto $q = -|q|$ per far comparire il segno esplicitamente: la forza è opposta a $z$, cioè di richiamo verso il centro).

Approssimazione $|z| \ll R$. Si trascura $z^2$ rispetto a $R^2$: $(z^2 + R^2)^{3/2} \approx R^3$. L'equazione diventa

$$\ddot z + \frac{|q|\lambda}{2\varepsilon_0 m R^2}\,z = 0$$

che è l'equazione dell'oscillatore armonicoEquazione z'' + ω² z = 0: la soluzione è z(t) = A cos(ωt + φ), un'oscillazione sinusoidale di pulsazione ω e periodo 2π/ω. $\ddot z + \omega^2 z = 0$, con

$$\omega = \sqrt{\frac{|q|\lambda}{2\varepsilon_0 m R^2}} = \sqrt{\frac{10^{-8} \cdot 10^{-4}}{2 \cdot 8{,}854 \cdot 10^{-12} \cdot 10^{-3} \cdot 0{,}04}} = \sqrt{1412}\ \text{s}^{-1} = 37{,}6\ \text{rad/s}$$

(periodo $T = 2\pi/\omega = 0{,}167\ \text{s}$). Vicino al centro la forza è proporzionale allo spostamento, come per una molla: per questo il moto è armonico.

Perché serve $v_0$ piccola. L'approssimazione vale solo se la carica resta sempre vicino al centro, cioè se l'ampiezza dell'oscillazione è piccola rispetto a $R$. L'ampiezza dipende dall'energia: se la carica ha abbastanza energia cinetica da arrivare lontano dal centro (o addirittura all'infinito) il moto non è più armonico. La velocità che basterebbe per sfuggire all'anello partendo da $z_0$ si trova imponendo che arrivi all'infinito ($V = 0$) con velocità nulla:

$$\tfrac12 m v_f^2 + qV(z_0) = 0 \quad\Longrightarrow\quad v_f^2 = \frac{|q|\lambda R}{m\varepsilon_0\sqrt{z_0^2 + R^2}} \approx \frac{|q|\lambda}{m\varepsilon_0} \quad (z_0 \ll R)$$

Le piccole oscillazioni richiedono $v_0 \ll v_f \approx \sqrt{|q|\lambda/(\varepsilon_0 m)}$, che è la condizione del testo.

Con i numeri del testo la condizione non è soddisfatta: $\sqrt{|q|\lambda/(\varepsilon_0 m)} = 10{,}6\ \text{m/s}$ (la velocità di fuga esatta da $z_0$ è $10{,}05\ \text{m/s}$) e $v_0 = 8\ \text{m/s}$ non è affatto "molto minore". Infatti al punto 1 l'ampiezza è risultata $57{,}6\ \text{cm}$, quasi tre volte $R$: il moto è periodico (la carica non sfugge, perché $8 < 10{,}05$) ma non armonico, e il suo periodo è diverso da $0{,}167\ \text{s}$.

3) Piano che annulla il campo in $z_0$

Campo dell'anello in $z_0$. Con $z_0 = -0{,}1\ \text{m}$:

$$E_{z,\text{anello}}(z_0) = \frac{\lambda R\,z_0}{2\varepsilon_0(z_0^2 + R^2)^{3/2}} = \frac{10^{-4} \cdot 0{,}2 \cdot (-0{,}1)}{2 \cdot 8{,}854 \cdot 10^{-12} \cdot 0{,}05^{3/2}} = -1{,}01 \cdot 10^7\ \text{V/m}$$

Punta verso $z$ negativo, cioè via dall'anello (anello positivo).

Campo del piano. Un piano indefinito isolante produce un campo di modulo $\dfrac{|\sigma|}{2\varepsilon_0}$, uniforme, perpendicolare al piano (piano indefinitoLimite del disco per R → ∞: campo σ/2ε0, uguale a ogni distanza, uscente dal piano se σ > 0.Campo di distribuzioni continue - filo, anello e disco →). Il piano sta sul semiasse positivo, quindi $z_0$ è alla sua sinistra; serve un campo verso $z$ positivo, cioè diretto verso il piano: il piano deve essere carico negativamente (il campo entra nelle cariche negative).

$$\frac{|\sigma|}{2\varepsilon_0} = |E_{z,\text{anello}}(z_0)| \quad\Longrightarrow\quad \sigma = -\frac{\lambda R\,|z_0|}{(z_0^2 + R^2)^{3/2}} = -\frac{10^{-4} \cdot 0{,}2 \cdot 0{,}1}{0{,}05^{3/2}} = -1{,}79 \cdot 10^{-4}\ \text{C/m}^2$$

Il risultato non dipende da dove si mette il piano sul semiasse positivo: il campo di un piano indefinito non dipende dalla distanza.

Nota sulla soluzione ufficiale. La soluzione del prof scrive il campo del piano come $\sigma/\varepsilon_0$ e trova $-8{,}94 \cdot 10^{-5}\ \text{C/m}^2$, ma aggiunge di aver accettato anche $\sigma/2\varepsilon_0$, che dà $179\ \mu\text{C/m}^2$. Per un piano non conduttore (come dice il testo) il campo è $\sigma/2\varepsilon_0$, quindi la risposta corretta è $-1{,}79 \cdot 10^{-4}\ \text{C/m}^2$. La formula $\sigma/\varepsilon_0$ vale appena fuori da un conduttore (teorema di CoulombAppena fuori da un conduttore il campo è σ/ε0, perché tutto il flusso esce da un solo lato.Conduttori in equilibrio elettrostatico →).

Verifica numerica

import numpy as np
from scipy.optimize import brentq
eps0 = 8.854e-12
lam, R, q, m, v0, z0 = 1e-4, 0.2, -1e-8, 1e-3, 8, -0.1
V = lambda z: lam*R/(2*eps0*np.sqrt(z**2 + R**2))
E0 = 0.5*m*v0**2 + q*V(z0)
print(brentq(lambda z: q*V(z) - E0, 0, 10))          # 0.576 m
print(np.sqrt(abs(q)*lam/(2*eps0*m*R**2)))            # 37.6 rad/s
print(np.sqrt(abs(q)*lam*R/(m*eps0*np.sqrt(z0**2 + R**2))))   # 10.05 m/s
Ez = lam*R*z0/(2*eps0*(z0**2 + R**2)**1.5)
print(Ez, -2*eps0*abs(Ez))                            # -1.01e7 V/m, -1.79e-4 C/m²

Risultati

Errori comuni

• Perdere il segno di $q$ nella conservazione dell'energia: la carica negativa ha energia potenziale minima dove il potenziale è massimo.
• Dare $\omega$ in hertz: la pulsazione si misura in rad/s; la frequenza è $\omega/2\pi = 6{,}0\ \text{Hz}$.
• Usare $\sigma/\varepsilon_0$ per un piano isolante: quel valore è per la superficie di un conduttore.